Grundlagen der Physik 2 Schwingungen und Wärmelehre 19. 04

Grundlagen der Physik 2
Schwingungen und Wärmelehre
19. 04. 2007
Othmar Marti
[email protected]
Experimentelle Physik
Universität Ulm
(c) Ulm University – p. 1/
Nachklausur Grundlagen 1
Die Nachklausur findet am
20.4. von 10:00 bis 12:00
im H12 statt.
Erlaubte Materialien sind: 3 Blatt (6
Seiten) A4 eigenhändig beschrieben (kein
Computer, keine Schreibmaschine und
keine Kopie).
(c) Ulm University – p. 2/
Literatur
Gerthsen D. Meschede. Gerthsen Physik. Springer
Verlag.
Tipler Paul A. Tipler und Gene Mosca. Physik. Spektrum
Verlag.
Giancoli Douglas C. Giancoli. Physik. Pearson Studium.
Halliday David Halliday, Robert Resnick, and Jearl
Walker. Physik. Wiley-VCH GmbH.
Bronstein-Semendjajew I.N. Bronštein, K.A.
Semendjajew, G. Musiol, and H. Mühlig. Taschenbuch der
Mathematik. Verlag Harri Deutsch.
Arfken-Weber George B. Arfken and Hans J. Weber.
Mathematical Methods for Physicists. Academic Press.
(c) Ulm University – p. 3/
Harmonischer Oszillator
Ein harmonischer Oszillator ist ein (physikalisches) System,
das durch eine Differentialgleichung des Typs
d2
2
x(t)
+
ω
x(t) = 0
2
dt
beschrieben wird.
Lösungen dieser Gleichung haben die Form
x(t) = A cos (ω t) + B sin (ω t)
oder
x(t) = X cos (ω t + φ)
Dazu kommen die Anfangsbedingungen
x(t)|t=0 = x0
d x(t) = v0
dt t=0
(c) Ulm University – p. 4/
Äquivalenz der Lösungen
Mit dem Additionstheorem für den Cosinus
cos (α + β) = cos (α) cos (β) − sin (α) sin (β)
bekommt man
X cos (ω t + φ) = X cos (ω t) cos (φ)
= {X cos (φ)} cos (ω t)
− X sin (ω t) sin (φ)
− {X sin (φ)} sin (ω t)
und vergleichen dies mit
x(t) = A cos (ω t)
+ B sin (ω t)
Da sin und cos orthogonale Funktionen sind folgt
A = X cos (φ)
und
B = −X sin (φ)
(c) Ulm University – p. 5/
Energie und harmonischer Oszillator
Jeder Oszillator ist ein Objekt, das periodisch Energie zwischen zwei Formen umwandelt.
1. Energieform
2. Energieform
Lageenergie der Feder
kinetische Energie
Pendel
Lageenergie im Gravitationsfeld
kinetische Energie
Schwingkreis
Energie im magnetischen Feld
Energie im elektrischen Feld
Feder-Masse-System
Die Energie oszilliert mit der Frequenz 2ω. Wird ein
harmonischer Oszillator über die Energie angetrieben, muss
die treibende Energiequelle mit 2ω oszillieren.
(c) Ulm University – p. 6/
Mathematisches Pendel
Bewegungsgleichung im Schwerefeld
m ℓ φ̈ + m g sin(φ) = 0
Bei einem sehr langen Pendel hätte man
2
m ℓ φ̈ +
G m mE R sin φ
3/2
(R2 + ℓ2 − 2Rℓ cos(φ))
=0
Wenn φ sehr klein ist, bekommt man
m ℓ φ̈ + m g φ = 0
(c) Ulm University – p. 7/
Masse-Federpendel im Schwerefeld
Bewegungsgleichung
d2 x
m 2 = −kx + mg
dt
Die Ruhelage ist durch
0 = −kx0 + mg gegeben.
Also ist
mg
x0 =
k
Schwingendes System im
Schwerefeld
und
x(t) = xhomogen (t) + x0
(c) Ulm University – p. 8/