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Mathematik I
Skript
Vorlesung
Inhaltsverzeichnis
1. Grundbegriffe zu Mengen, Zahlen und Funktionen ........................ 6
1.1
Mengen ..................................................................................................... 6
1.1.1
Definition ............................................................................................................. 6
1.1.2
Wichtige Mengen von Zahlen .............................................................................. 6
1.1.3
Mathematische Aussagen ..................................................................................... 6
1.1.4
Verbindungen ....................................................................................................... 6
1.1.5
Beschreibung von Mengen ................................................................................... 7
1.1.6
Relation zwischen Mengen .................................................................................. 7
1.1.7
Operationen von Mengen ..................................................................................... 8
1.1.8
Rechenregeln für Mengen .................................................................................... 8
1.1.9
Produktmengen ..................................................................................................... 9
1.2
1.3
Funktionsbegriff ....................................................................................... 9
Natürliche Zahlen, reelle Zahlen, vollständige Induktion ...................... 10
1.3.1
Prinzip der vollständigen Induktion ................................................................... 11
1.3.2
Beispiel Gauß’sche Summenformel ................................................................... 11
1.3.3
Bernoullische Ungleichung ................................................................................ 11
1.3.4
Definition Binomialkoeffizient .......................................................................... 11
1.3.5
Binomischer Satz................................................................................................ 12
1.3.6
Pascalsches Dreieck ........................................................................................... 12
1.3.7
Axiome ............................................................................................................... 13
1.3.8
Anordnungsaxiome ............................................................................................ 13
1.3.9
Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen ........................................................ 13
1.3.10 Fundamentale Ungleichungen ............................................................................ 14
1.3.11 Obere und untere Schranken, Supremum, Infimum ........................................... 14
1.4
Zahlensysteme ........................................................................................ 15
1.4.1
1.5
Das Horner-Schema ........................................................................................... 15
Komplexe Zahlen ℂ ................................................................................ 16
1.5.1
Rechnen mit komplexen Zahlen ......................................................................... 17
1.5.2
Rechenoperationen ............................................................................................. 17
1.5.3
Gesetze für konjugiert komplexe Zahlen ........................................................... 18
1.5.4
Potenzen und n-te Wurzeln komplexer Zahlen .................................................. 18
1.5.5
Trigonometrische Darstellung von z in Polarkoordinaten ................................. 19
1.5.6
Anwendung der Eulerschen Formel ................................................................... 19
1.5.7
Geometrische Bedeutung der Multiplikation ..................................................... 20
2
1.5.8
1.6
Überlagerungen .................................................................................................. 20
Komplexe Zahlen in der Wechselstromtechnik ..................................... 21
1.6.1
Komplexe Größen .............................................................................................. 21
1.6.2
Rechnen mit Komplexen .................................................................................... 22
1.6.3
Bedeutung des Realteils und Imaginärteils von I und U .................................... 23
1.7
Elementare Funktionen ........................................................................... 23
1.7.1
Grundbegriffe ..................................................................................................... 23
1.7.2
Rationale Funktionen ......................................................................................... 25
1.7.3
Trigonometrische Funktionen ............................................................................ 26
1.7.4
Arcus-Funktionen ............................................................................................... 27
1.7.5
Exponentialfunktion und Logarithmus ............................................................... 28
1.7.6
Hyperbel- und Areafunktionen........................................................................... 30
2. Lineare Algebra ............................................................................. 32
2.1
Die Vektorräume ℝ𝒏 und ℂ𝒏 ................................................................. 32
2.1.1
Definition und Rechenoperationen ..................................................................... 32
2.1.2
Das Vektorprodukt ............................................................................................. 35
2.1.3
Spatprodukt ........................................................................................................ 38
2.1.4
Lineare Unabhängigkeit ..................................................................................... 39
2.1.5
Geraden im Raum ℝ𝟐 ........................................................................................ 40
2.1.6
Geraden und Ebenen im ℝ𝟑 ............................................................................... 41
2.2
Matrizen .................................................................................................. 45
2.2.1
Definition und elementare Rechenoperationen .................................................. 45
2.2.2
Determinanten .................................................................................................... 49
2.2.3
Die Cramersche Regel ........................................................................................ 51
2.2.4
Lineare Unterräume, Basis, Dimension ............................................................. 52
2.2.5
Rang einer Matrix, inverse Matrizen.................................................................. 54
2.3
Lineare Gleichungssysteme .................................................................... 57
2.3.1
Der Gaußsche Algorithmus ................................................................................ 57
2.4
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen ........................................ 60
2.5
Der Fall symmetrischer Matrizen ........................................................... 61
2.6
Kurven und Flächen 2. Ordnung – Hauptachsentransformation ............ 63
3. Differentialrechnung ...................................................................... 70
3.1
Zahlenfolgen und Grenzwerte ................................................................ 70
3.2
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen ............................................ 72
3.3
Differentiation einer Funktion ................................................................ 76
3
3.3.1
Ableitung und Differential ................................................................................. 76
3.3.2
Differentiationsregeln ......................................................................................... 78
3.3.3
Der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen .......................................... 79
3.3.4
Ableitungen höherer Ordnung ............................................................................ 80
3.3.5
Die l’Hospitalsche Regel .................................................................................... 80
3.3.6
Satz von Taylor .................................................................................................. 81
3.4
Anwendungen der Differentialrechnung ................................................ 85
3.4.1
Newtonverfahren ................................................................................................ 85
3.4.2
Kurvendiskussion ............................................................................................... 86
4. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen ......................... 90
4.1
Das unbestimmte Integral ....................................................................... 90
4.2
4.3
Das bestimmte Integral ........................................................................... 91
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung........................... 94
4.4
Integration rationaler Funktionen ........................................................... 95
4.5
Uneigentliche Integrale ........................................................................... 98
4.5.1
Integrale unbeschränkter Funktionen ................................................................. 98
4.5.2
Integrale über unbeschränkten Intervallen ......................................................... 99
4.5.3
Kombination beider Typen............................................................................... 100
4.6
Mathematische Anwendungen der Integration ..................................... 100
4.6.1
Flächen zwischen Graphen von Funktionen .................................................... 100
4.6.2
Flächen von Sektoren ....................................................................................... 101
4.6.3
Volumina von Rotationskörpern ...................................................................... 102
4.6.4
Längenberechnung von Kurvenstücken ........................................................... 103
4.6.5
Oberfläche von Rotationskörpern .................................................................... 104
4.6.6
Numerische Integration .................................................................................... 104
5. Unendliche Reihen ...................................................................... 106
5.1
Reihen mit konstanten Gliedern ........................................................... 106
5.1.1
Grundbegriffe ................................................................................................... 106
5.1.2
Konvergenzkriterien ......................................................................................... 107
5.2
Grundbegriffe von Funktionenreihen und –folgen ............................... 109
5.3
Potenzreihen.......................................................................................... 110
5.4
Fourierreihen......................................................................................... 114
6. Integraltransformation ................................................................. 120
6.1
Fouriertransformation ........................................................................... 120
6.1.1
Einführung ........................................................................................................ 120
4
6.1.2
6.2
Eigenschaften der Fouriertransformation ......................................................... 122
Laplacetransformation .......................................................................... 123
6.2.1
Einführung ........................................................................................................ 123
6.2.2
Eigenschaften der Laplacetransformation ........................................................ 124
6.2.3
Liste der Transformationsgleichungen ............................................................. 127
7. Gewöhnliche Differentialgleichungen ........................................ 129
7.1
Einführung ............................................................................................ 129
7.2
Elementare Lösungsmethoden für (nichtlineare) DGL 1. Ordnung ..... 130
7.2.1
Trennung der Veränderlichen ........................................................................... 130
7.2.2
Exakte Differentialgleichungen ........................................................................ 131
7.3
Geometrische Interpolation, Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen
131
7.4
Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung ....................................... 132
7.5 Nichtlineare Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme 1.
Ordnung ......................................................................................................... 134
7.5.1
Einführung ........................................................................................................ 134
7.5.2 Elementare Lösungsmethoden für spezielle nichtlineare Differentialgleichungen
2. Ordnung ...................................................................................................................... 135
7.6
Nichtlineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ... 136
7.6.1
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung .......................................... 136
7.6.2
Anwendungen auf Gleichungen 2. Ordnung .................................................... 138
7.6.3
Mechanische und elektrische Schwingungsprobleme ...................................... 140
7.6.4
Anwendung der Laplacetransformation auf lineare Differentialgleichungen .. 141
7.7
Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
143
7.7.1
Formulierung, Eliminationsmethode ................................................................ 143
7.7.2
Die Matrixmethode .......................................................................................... 144
7.8
Rand- und Eigenwertprobleme ............................................................. 146
7.8.1
Randprobleme .................................................................................................. 146
7.8.2
Eigenwertprobleme .......................................................................................... 147
7.9
Lineare Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten ............. 148
7.9.1
Formulierung und Lösungsverhalten ............................................................... 148
7.9.2
Homogene lineare Systeme 1. Ordnung ........................................................... 149
7.9.3
Inhomogene lineare Systeme 1. Ordnung ........................................................ 150
5
1.
Grundbegriffe zu Mengen, Zahlen und
Funktionen
1.1
Mengen
1.1.1
Definition
Eine Menge M ist jede Zusammenfassung von bestimmten, wohl unterschiedenen Objekten m
unserer Anschauung oder Denkens (welche Elemente der Menge genannt werden) zu einem
Ganzen. (Naiver Mengenbegriff)
1.1.2
Wichtige Mengen von Zahlen
ℕ = natürliche Zahlen (keine 0), ℕ0 = ℤ+ (mit 0)
ℤ = Ganze Zahlen
ℚ = rationale Zahlen (Zahlen sind mit einem Bruch darstellbar)
ℝ = reelle Zahlen
ℂ = komplexe Zahlen
Sei M eine Menge
𝑥 ∈ 𝑀 = 𝑥 Element von M
𝑥 ∉ 𝑀 = 𝑥 kein Element von M
1.1.3
Mathematische Aussagen
Gedankliche Gebilde in Form eines Aussagesatzes, die stets genau einen und nicht mehr als
einen Wahrheitswert (wahr (w), falsch (f)) annehmen.
In unseren Sprachgebrauch werden wir ⟹ (Implikation) und ⟺ (Äquivalenz) wie folgt
anwenden:
(𝐴) ⟹ (𝐵)

wenn (A) gilt, gilt auch (B)

(B) ist notwendige Bedingung für (A)

(A) ist hinreichende Bedingung für (B)

z.B. (A) = Ich schreibe eine 2 in der Prüfung → (B) = Ich bestehe
(𝐴) ⟺ (𝐵)

ist notwendig und hinreichend für (B)
1.1.4
Verbindungen
(𝐴) ⟹ (𝐵), Implikation ist genau dann falsch, wenn (A) wahr ist und (B) falsch
6
B
w f
A
w w f
f w w
(𝐴) ⟺ (𝐵), Äquivalenz ist genau dann wahr, wenn beide ((A) und (B)) entweder wahr oder
falsch sind
(𝐴) ∧ (𝐵), Konjunktion (Und) ist genau dann wahr, wenn (A) und (B) wahr sind
(𝐴) ∨ (𝐵), Alternative (Disjunktion, Oder) ist falsch, wenn (A) und (B) falsch sind
XOR (Entweder-Oder, ausschließendes Oder) gibt es hier nicht
̅̅̅̅̅, (𝐴), Negation von (A) ist wahr, wenn (A) falsch
(𝐴)
Beispiel
(𝑥 ∈ 𝐴)
𝑥 ∉ 𝐴 ⟺ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑥∈ℕ⟹𝑥∈ℝ
𝑥2 = 2 ⟹ 𝑥 ∉ ℚ
1.1.5
Beschreibung von Mengen
A = {1, 2}
{a, b}
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 0} positiv reelle Zahlen
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} abgeschlossenes Intervall
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} halboffenes Intervall
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 < 𝑥 < 𝑏} offenes Intervall
(𝑎, ∞) = {𝑥 ∈ ℝ|𝑎 < 𝑥}
Senkrechter Strich („|“) bedeutet „Mit der Eigenschaft“.
Die leere Menge ∅ enthält kein Element z. B. {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 2 = −1} = ∅
1.1.6
Relation zwischen Mengen
𝐴 ⊂ 𝐵 , Inklusion (⊂), A enthalten in B, jedes Element von A in B, (𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐵)
A
B
𝐴 = 𝐵, wenn jedes Element von A in B und umgekehrt
A heißt echte Teilmenge von B, wenn 𝐴 ⊂ 𝐵 und 𝐴 ≠ 𝐵 gilt
7
1.1.7
Operationen von Mengen
Definition
Durchschnitt (Schnittmenge) von A und B
A
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
B
Vereinigungsmenge von A und B
A
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 ∨ 𝑥 ∈ 𝐵}
B
Differenzmenge
A
𝐴\𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴|𝑥 ∉ 𝐵}
B
Sei 𝐴 ⊂ 𝑀, dann heißt: 𝐶𝑀 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝑀|𝑥 ∉ 𝐴} = 𝑀\𝐴
Komplement von A bezüglich M
M
A
Wenn klar ist, in welchen Raum M wir arbeiten, so schreibt man kürzer 𝐴 ≔ 𝐶𝑀 𝐴
Beispiel: 𝑀 = ℝ, [𝑎, ∞) [𝑎, ∞) = (−∞, 𝑎)
A und B heißen disjunkt, wenn 𝐴 ∧ 𝐵 = ∅
1.1.8
Rechenregeln für Mengen
Assoziativgesetze
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
Distributivgesetze
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
8
Morgansche Regeln
𝐴∪𝐵 =𝐴∩𝐵
𝐴∩𝐵 =𝐴∪𝐵
Beweis: für alle Mengen M gilt ∅ ⊂ 𝑀
indirekter Schluss: 𝐴 → 𝐵 ⟺ 𝐵 → 𝐴
Beweis: Wir nehmen das Gegenteil an:
Es gibt eine Menge M, so dass ∅ ⊄ 𝑀 → muss ein Element existieren, welches nicht in M
liegt aber in ∅. Wenn aber ein Element in ∅ existiert, ist es keine leere Menge. Widerspruch
→ es gilt ∅ ⊂ 𝑀, ∀𝑀 (für alle M)
Beispiel: ∃𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 2 = 2 (∃- es existiert) → 𝑥1 = √2, 𝑥2 = −√2
∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 4 ≥ 0
1.1.9
Produktmengen
a, b seien beliebige Elemente. Dann heißt (a, b) geordnetes Paar. Die Produktmenge zweier
Mengen A und B ist die Menge A×B aller geordneter Paare (a, b) mit 𝑎 ∈ 𝐴 und 𝑏 ∈ 𝐵. Wird
auch als kartesisches Produkt bezeichnet.
Beispiel: A = {3, 4}, B = {*, ♥}
A×B = {(3, *), (3, ♥), (4, *), (4, ♥)}
Beispiel: A = [1, 2], B = [0, 2]
𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ [1,2], 𝑦 ∈ [0,2]}
y
2
0
1 2
x
Verallgemeinerung
Definition: Gegeben seien n Mengen A1, A2, … An
𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛 = {(𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 )|𝑎𝑖 ∈ 𝐴𝑖 } mit i = 1, …, n
(a1, a2, …, an) = geordnete n-Tupel
𝑛
Kurzschreibweise: 𝑋 𝐴𝑖 = 𝐴1 × 𝐴2 × … × 𝐴𝑛
𝑖=1
1.2
Funktionsbegriff
Definition
Es seien A und B zwei beliebige Mengen. Wird durch eine Vorschrift f jedem Element 𝑎 ∈ 𝐴
genau ein Element 𝑏 ∈ 𝐵 zugeordnet, so heißt f eine Abbildung oder Funktion von A in B.
9
Es kann sein, dass mehrere Punkte zum Urbild eines
Punktes gehören.
f
A
B
Schreibweise: f: A → B, b = f(a)
b = Bild
a = Urbild
A = Definitionsbereich von f, A = D(f)
range: 𝑅(𝑓) = {𝑏 ∈ 𝐵|∃𝑎 ∈ 𝐴: 𝑏 = 𝑓(𝑎)} heißt Wertebereich von f
A = R, B = R, f = sin, a → b = sin(a), f ist eine Funktion
Gehören A und B zur Menge der reellen (komplexen) Zahlen, so spricht man von
„Funktionen“. Ist dies nicht der Fall, so spricht man von Abbildungen.
Definition: Sei f: A→B, dann heißt f surjektiv, wenn R(f) = B
f
A
B
Wenn jedem Punkt (Element) in B mindestens ein Wert
aus A zugeordnet wird und keiner ohne Partner bleibt.
Definition: Sei f: A→B, dann heißt f injektiv (eineindeutig, umkehrbar eindeutig), wenn zu
jedem Bildelement 𝑏 ∈ 𝑅(𝑓) genau ein Urbild 𝑎 ∈ 𝐴 gehört.
f
A
B
Eine Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Beispiel: f(x) = x3, aber nicht x2 oder sin 𝑥
1.3
Natürliche
Induktion
Zahlen,
reelle
Zahlen,
vollständige
1, 2, … natürliche Zahlen
𝑚
𝑚 ∈ ℤ 𝑛 ∈ ℕ rationale Zahlen
𝑛
Dezimaldarstellung: 𝑝 + 𝑞, 𝑝 ∈ ℕ, 𝑞 = 0, …
Rationale Zahlen besitzen eine endliche oder periodisch unendliche Dezimalbruchdarstellung.
1
endliche Dezimaldarstellung: 2 = 0,5
1
unendliche Dezimaldarstellung: = 0,333 … = 0, 3̅
3
10
Umkehrung: 0,b1b2…bn = 0,b1b2…bnb1b2…bn hat folgende Bruchdarstellung
𝑏1 … 𝑏𝑛
𝑐=
9 … 9 ← n Stück
10𝑛 𝑐 = 𝑐 − 𝑏1 … 𝑏𝑛
Irrationale Zahlen haben eine unendliche nichtperiodische Dezimalbruchdarstellung.
Reelle Zahlen bestehen aus rationalen und irrationalen Zahlen.
Definition
Die Menge ℕ ist die kleinste Menge reeller Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
i)
1∈ℕ
ii) mit 𝑛 ∈ ℕ ist auch 𝑛 + 1 ∈ ℕ
1.3.1
Prinzip der vollständigen Induktion
A(n) sei eine von n abhängige Aussage, die für jedes 𝑛 ∈ ℕ als richtig bewiesen werden soll.
Voraussetzung:

A(1) ist wahr

ist 𝑛 ∈ ℕ und A(n) wahr, dann ist auch A(n+1) wahr
Unter diesen Voraussetzungen ist A(n) für alle 𝑛 ∈ ℕ wahr.
1.3.2
𝑛
∑𝑘 =
𝑘=1
Beispiel Gauß’sche Summenformel
𝑛(𝑛 + 1)
2
für A(1)
für A(n)
für A(n+1)
1 ⋅ (1 + 1)
𝑛(𝑛 + 1)
𝑛(𝑛 + 1)
1=
= 1 1 + ⋯+ 𝑛 =
1 + ⋯ + 𝑛 + (𝑛 + 1) =
+𝑛+1
2
2
2
𝑛(𝑛 + 1) + 2(𝑛 + 1) (𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
=
=
2
2
1.3.3
Bernoullische Ungleichung
für n = 0, 1, … und 𝑥 ≥ −1 gilt (1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥
Beweis:
für n = 0 → (1 + 𝑥)0 = 1 = 1 + 0
(1 + 𝑥)𝑛 ≥ 1 + 𝑛𝑥
|⋅ (1 + 𝑥)
sei
𝑛+1
(1 + 𝑥)
≥ (1 + 𝑛𝑥)(1 + 𝑥) = 1 + 𝑛𝑥 + 𝑥 + 𝑛𝑥
⏟2 ≥ 1 + (𝑛 + 1)𝑥
≥0
1.3.4
Definition Binomialkoeffizient
Es sei 𝛼 ∈ ℝ, 𝑘 ∈ ℕ
11
𝑘
(𝛼 + 1 − 𝑖)
𝛼(𝛼 − 1) … (𝛼 − 𝑘 + 1)
𝛼
( )≔
=∏
𝑘
1⋅ 2⋅ …⋅𝑘
𝑖
𝑖=1
gleiche Anzahl von Faktoren in Zähler und Nenner
𝛼
( )≔1
0
1.3.5
Binomischer Satz
Für beliebige Zahlen a, b und jedes 𝑛 ∈ ℕ gilt
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ ( ) 𝑎𝑖 𝑏 𝑛−𝑖 = ( ) 𝑎0 𝑏 𝑛 + ( ) 𝑎1 𝑏 𝑛−1 + ⋯ + ( ) 𝑎𝑛 𝑏 0
𝑖
0
𝑛
1
𝑖=1
1
1
Beweis über vollständige Induktion: (𝑎 + 𝑏)1 = ( ) 𝑎0 𝑏 + ( ) 𝑎𝑏 0 = 𝑎 + 𝑏
0
1
Zwei Formeln für Binomialkoeffizienten
𝛼
𝛼
𝛼+1
( )+(
)=(
)
𝑘+1
𝑘
𝑘+1
𝑛!
𝑛
𝑛
( )=
=(
) mit 𝑘 ≤ 𝑛 und 𝑘, 𝑛 ∈ ℤ+
𝑘
𝑛−𝑘
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
1.3.6
Pascalsches Dreieck
1
1
1
1
1
2
3
1
3
1
Definition
Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, wenn eine Bijektion f:A→B existiert
Beispiel: Sind ℕ und ℤ gleichmächtig? Ja
1 2 3
0 1 -1
4 5 …
2 -2 …
Beispiel: sind [0, 1] und [0, 2] gleichmächtig?
f(x) = 2x, f:[0, 1]→[0, 2]
1
2
Definition
Eine Menge A heißt abzählbar, wenn sie zu ℕ gleichmäßig ist.
Sind [0, 1] oder ℝ abzählbar? Nein! Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, die
Menge der irrationalen Zahlen nicht.
12
Definition
Eine Menge ℝ heißt Menge der reellen Zahlen, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind:
(A1) … (A13)
1.3.7
Axiome
(A1) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Kommutativität)
(A2) (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) (Assoziativität)
(A3) Es gibt ein Element 0 ∈ ℝ (neutrales Element bezüglich +) mit 𝑎 + 0 = 𝑎 und ∀𝑎 ∈ ℝ
(A4) ∀𝑎 ∈ ℝ∃(−𝑎) ∈ ℝ, so dass 𝑎 + (−𝑎) = 0 (inverses Element für Addition)
(A5) 𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 (Kommutativität)
(A6) (𝑎𝑏)𝑐 = 𝑎(𝑏𝑐) (Assoziativität)
(A7) Es gibt ein Element 1 ∈ ℝ (neutrales Element bezüglich •), so dass 1 ≠ 0 und 𝑎 ⋅ 1 = 𝑎
mit ∀𝑎 ∈ ℝ
(A8) ∀𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, ∃𝑎−1 ∈ ℝ (multiplikativ inverses Element), so dass 𝑎 ⋅ 𝑎−1 = 1
(A9) 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 (Distributivität)
1.3.8
Anordnungsaxiome
In ℝ ist eine Beziehung „<“ definiert, a < b erfüllt:
(A10) Für je zwei 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ gilt genau eine der drei Beziehungen a < b, a = b oder b < a
(A11) 𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐 ⟹ 𝑎 < 𝑐 (Transitivität)
(A12) Wenn a < b so gilt:

𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 ∀𝑐 ∈ ℝ

𝑎 ⋅ 𝑐 < 𝑏 ⋅ 𝑐 ∀𝑐 > 0
Für „kleiner oder gleich“ schreiben wir „≤“, analog für „größer oder gleich“ steht „≥“.
1.3.9
Rechnen mit Ungleichungen und Beträgen
𝑎 < 𝑏 ⟶ −𝑎 > −𝑏
Beweis: Wir addieren 𝑐 = −𝑏 − 𝑎 zur Ungleichung 𝑎 < 𝑏
𝑎 − 𝑏 − 𝑎 < 𝑏 − 𝑏 − 𝑎 ⟶ −𝑏 < −𝑎
Folgerung: multipliziert man mit (-1), so kehrt sich die Ungleichung um
𝑎 <𝑐∧𝑏 <𝑑 ⟶ 𝑎+𝑏 <𝑐+𝑑
Beweis:
𝑎 < 𝑐 |+𝑏 ⟶ 𝑎 + 𝑏 < 𝑐 + 𝑏
𝑏 < 𝑑 |+𝑐 ⟶ 𝑏 + 𝑐 < 𝑑 + 𝑐
𝑎+𝑏 <𝑐+𝑏 =𝑏+𝑐 <𝑑+𝑐
Folgerung: gleichgerichtete Ungleichungen dürfen addiert werden
Definition: Absoluter Betrag
𝑎, wenn 𝑎 ≥ 0
Es sei 𝑎 ∈ ℝ |𝑎| ≔ {
−𝑎, wenn 𝑎 < 0
13
Beispiel:
𝑎 = 3 ⟶ |𝑎| = 3, da 𝑎 ≥ 0
𝑎 = −4 ⟶ |𝑎| = −(−4), da 𝑎 < 0
Beispiel: Bestimmen sie alle 𝑥 ∈ ℝ, für die gilt |3 − 2𝑥| < 5
Lösung: Fallunterscheidung

Fall 1:
3
für 3 − 2𝑥 ≥ 0 erhält man 3 ≥ 2𝑥 ⟶ 2 ≥ 𝑥 und
3 − 2𝑥 < 5 ⟶ 3 − 5 < 2𝑥 ⟶ −1 < 𝑥
3
Wenn 𝑥 ≤ 2, so erfüllen alle x mit 𝑥 > −1 obige Betragsungleichung. D.h. alle x, für
3

die 𝑥 ∈ (−1, 2] gilt, erfüllen die Ungleichung.
Fall 2:
3
für 3 − 2𝑥 < 0 erhält man 3 < 2𝑥 ⟶ 2 < 𝑥 und −(3 − 2𝑥) < 5 ⟶ 2𝑥 < 8 ⟶ 𝑥 < 4
3
Alle x, für die 𝑥 ∈ (2 , 4) gilt, erfüllen die Ungleichung.
Folglich ist insgesamt das Intervall (-1, 4) Lösung der Ungleichung.
1.3.10 Fundamentale Ungleichungen
Dreiecksungleichung: für alle 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ gilt |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
Beweis: ±𝑎 ≤ |𝑎|, ±𝑏 ≤ |𝑏|
+(𝑎 + 𝑏) ≤ |𝑎| + |𝑏| und −(𝑎 + 𝑏) ≤ |𝑎| + |𝑏| ⟶ |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
Folgerung: ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏|
|𝑎| = ⏟
|𝑎 − 𝑏 + 𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑏| + |𝑏| ⟶ |𝑎| − |𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑏|
Anwendung der Dreiecksgleichung
|𝑏| = |𝑏 − 𝑎 + 𝑎| ≤ |𝑏 − 𝑎| + |𝑎| = |𝑎 − 𝑏| + |𝑎| ⟶ |𝑏| − |𝑎| ≤ |𝑎 − 𝑏|
⟶ ||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏|
1.3.11 Obere und untere Schranken, Supremum, Infimum
Definition:
Sei 𝐴 ⊂ ℝ und gibt es ein 𝑏 ∈ ℝ, so dass 𝑎 ≤ 𝑏 ∀𝑎 ∈ 𝐴, so heißt b obere Schranke für A.
Beispiel: A = [0, 2), b = 3 ist obere Schranke für A, da für ∀𝑥 ∈ 𝐴 gilt 𝑥 ≤ 𝑏
Gibt es ein 𝑐 ∈ ℝ, so dass 𝑐 ≤ 𝑎 ∀𝑎 ∈ 𝐴, so heißt c untere Schranke für A.
Definition:
𝐴 ⊂ ℝ heißt nach oben (unten) beschränkt, wenn eine obere (untere) Schranke für A existiert.
Eine nach oben und unten beschränkte Menge heißt beschränkt.
Definition:
Besitzt A eine kleinste obere (größte untere) Schranke, so heißt diese Supremum (Infimum).
Bezeichnung: sup 𝐴 (Supremum), inf 𝐴 (Infimum)
Beispiel: A = (-1, 1), sup 𝐴 = 1, inf 𝐴 = −1, {-1} und {1} ∉ 𝐴
14
Definition:
Besitzt A ein Supremum gilt sup 𝐴 ∈ 𝐴, so heißt dieses auch Maximum von A, max 𝐴.
Analog heißt das Infimum Minimum, wenn inf 𝐴 ∈ 𝐴, wir schreiben min 𝐴.
Beispiel: A = [-1, 1]; −1 = min 𝐴, +1 = max 𝐴
(A13) Vollständigkeitsaxiom
Jede nichtleere nach oben geöffnete Menge aus ℝ besitzt ein Supremum (aus ℝ).
Die Menge der rationalen Zahlen erfüllt (A13) nicht.
Beispiel: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℚ|𝑥 ≥ 0 𝑥 2 < 2}
A ist nach oben beschränkt (durch 1,5). In ℚ hat A kein Supremum, das muss √2 sein. Es gilt
√2 ∉ ℚ.
1.4
Zahlensysteme
𝑧 ∈ ℤ+ , 𝑧 = 𝑎𝑛 ⋅ 10𝑛 + 𝑎𝑛−1 ⋅ 10𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 ⋅ 101 + 𝑎0 ⋅ 100 ,
wobei 𝑎0 , … , 𝑎𝑛 ∈ {0,1, … ,9}. Das ist die Darstellung einer nichtnegativen ganzen Zahl im
Dezimalsystem.
Dualsystem ist eine Darstellung einer Zahl in folgender Weise:
17 = 1 ⋅ 24 + 1 ⋅ 20 oder allgemein 𝑧 = 𝑎𝑛 2𝑛 + 𝑎𝑛−1 2𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 21 + 𝑎0 , wobei 𝑎𝑘 ∈
{0,1}
Weitere Systeme: Hexadezimalsystem
1.4.1
Das Horner-Schema
Definition:
Eine Funktion 𝑓: ℝ ⟶ ℝ der Form 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 mit
gegebenen reellen Koeffizienten a0, a1, …, an und 𝑎𝑛 ≠ 0 heißt Polynom n-ten Grades.
Beispiel: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 3 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 1, höchste Potenz ist 3, somit ist Polynom dritten Grades
Wie kann f mit möglichst wenig Operationen bei gegebenen x ausgerechnet werden?
3𝑥 3 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 ⟶ 5 Multiplikationen, 3 Additionen
𝑥(3𝑥 2 − 𝑥 + 2) + 1 = 𝑥(𝑥(3𝑥 − 1) + 2) + 1 ⟶ 3 Multiplikationen, 3 Additionen → besser
Horner-Schema am Beispiel:
3
x=3
•
-1
2
1
+
+
+
= 9
3
8
24
26
78
79 = f(3)
15
Allgemein:
an
an-1
an-2
+
+
= an•x
x
a1 a 0
(an•x+an-1)•x
an•x+an-1
• an
…
…
= f(n)
Komplexe Zahlen ℂ
1.5
x2 = -1 ist nicht in ℝ lösbar.
Wir führen eine imaginäre Zahl j (zur Unterscheidung von der Stromstärke I, außerhalb der
Elektrotechnik meist i statt j) ein, die nicht auf der reellen Achse liegt und für die 𝑗 2 = −1
gilt. Mit j erfüllt ebenfalls (-j) die Gleichung x2 = -1.
2
(−𝑗)2 = ((−1) ⋅ 𝑗) = (−1)2 ⋅ 𝑗 2 = 1 ⋅ (−1) = −1
Wir lösen jetzt 𝑧 2 = −𝑏 2 ; 𝑏 ≠ 0 ⟶ 𝑧 = ±𝑗𝑏
imaginäre Achse
bj
b>0
j
0
1
reelle Achse
𝑥 2 − 10𝑥 + 34 = 0
(𝑥 − 5)2 + 9 = 0
(𝑥 − 5)2 = −9
𝑥 − 5 = ±3√−1 = ±𝑗3 ⟶ 𝑥1 = 5 + 𝑗3; 𝑥2 = 5 − 𝑗3
Probe: (5 + 𝑗3)2 − 10(5 + 𝑗3) + 34 = 25 + 𝑗30 + 9𝑗 2 − 50 − 𝑗30 + 34 = 9𝑗 2 + 9
3j
a+jb
bj
j
1
5
a
Definition:
Komplexe Zahlen sind Elemente der Form 𝑎 + 𝑗𝑏 mit 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Sie werden als Punkte der
komplexen Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt mit den Koordinaten (a,
b). a heißt Realteil, b heißt Imaginärteil von 𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏 . 𝑎 = Re 𝑧 , 𝑏 = Im 𝑧 . Die Menge der
komplexen Zahlen wird mit ℂ bezeichnet.
Bemerkung: 𝑧 = Re 𝑧 + 𝑗 Im 𝑧 , sowohl Re 𝑧 als auch Im 𝑧 sind reell.
16
1.5.1
Rechnen mit komplexen Zahlen
Definition: |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 heißt Betrag von z. Betrag von z = Abstand vom Ursprung.
z=a+jb
bj
|z|
a
Beispiel: 𝑧 = 2 + 𝑗, Re 𝑧 = 2, Im 𝑧 = 1, |𝑧| = √5
Definition: Gleichheit
𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 , 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2
𝑧1 = 𝑧2 ⟺ 𝑎1 = 𝑎2 und 𝑏1 = 𝑏2
Definition: Konjugierte komplexe Zahl
Sei 𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏, dann heißt 𝑧̅ = 𝑎 − 𝑗𝑏 die zu z konjugiert komplexe Zahl.
z
Spiegelung
an x-Achse
z
1.5.2
Rechenoperationen
Subtraktion/Addition: (𝑎 + 𝑗𝑏) ± (𝑐 + 𝑗𝑑) = 𝑎 ± 𝑐 + 𝑗(𝑏 ± 𝑑)
Multiplikation: (𝑎 + 𝑗𝑏) ⋅ (𝑐 + 𝑗𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑗(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
Division:
𝑎 + 𝑗𝑏 (𝑎 + 𝑗𝑏)(𝑐 − 𝑗𝑑) (𝑎 + 𝑗𝑏)(𝑐 − 𝑗𝑑)
wobei 𝑐 + 𝑗𝑑 ≠ 0
=
=
𝑐 + 𝑗𝑑 (𝑐 + 𝑗𝑑)(𝑐 − 𝑗𝑑)
𝑐 2 + 𝑑2
Bemerkung zur Addition:
j•Im
z=z1+z2
z1 wird um z2 nach
z2 oben verschoben
z2
z1
Re
Scheinleitwert in Wechselstromtechnik
17
R1
L1
L2
R2
C
Y
Z
1
1
𝑌=
+
𝑅1 + 𝑗𝜔𝐿1 𝑅 + 1
2
𝑗𝜔𝐶
Scheinwiderstand: 𝑍 =
Umrechnung:
1
+ 𝑗𝜔𝐿2
𝑌
1
𝑅2 −
𝑅1 − 𝑗𝜔𝐿1
𝑗𝜔𝐶
𝑌= 2
+
𝑅1 + 𝜔 2 𝐿21 𝑅 2 + 1
2
𝜔2𝐶2
Bemerkung: 𝑧 ⋅ 𝑧̅ = |𝑧|2 , z.B. (𝑎 + 𝑗𝑏)(𝑎 − 𝑗𝑏) = 𝑎2 + 𝑏 2
1
𝑧̅
𝑧̅
=
= 2
𝑧 𝑧 ⋅ 𝑧̅ |𝑧|
Rechenoperationen ±,⋅, ∶ wie bei ℝ
1.5.3
Gesetze für konjugiert komplexe Zahlen
𝑧
𝑧
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑧1 ± 𝑧2 = 𝑧1 ± 𝑧2 , −𝑧 = −𝑧, 𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 , (𝑧1 ) = 𝑧1
2
2
Beweis der dritten Formel:
(𝑎 + 𝑗𝑏) ⋅ (𝑐 + 𝑗𝑑) = (𝑎 − 𝑗𝑏)(𝑐 − 𝑗𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑗 2 𝑏𝑑 − 𝑗(𝑏𝑐 + 𝑎𝑑) = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 − 𝑗(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
(𝑎 + 𝑗𝑏)(𝑐 + 𝑗𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑗 2 𝑏𝑑 + 𝑗(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐) = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 − 𝑗(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
Potenz: 𝑧 𝑛 = 𝑧 ⋅ 𝑧 ⋅ … ⋅ 𝑧 n-mal
|𝑧 |
𝑧
Rechnen mit |z|: |𝑧1 ⋅ 𝑧2 | = |𝑧1 | ⋅ |𝑧2 |, |𝑧1 | = |𝑧1 |, |𝑧 𝑛 | = |𝑧|𝑛
2
1.5.4
2
Potenzen und n-te Wurzeln komplexer Zahlen
Es gilt die berühmte Eulersche Formel
𝑒 𝑗𝜑 = cos 𝜑 + 𝑗 sin 𝜑, 𝑒 ∈ ℝ (Periode 2π)
𝑥2
𝑥3
Begründung: 𝑒 𝑥 = 1 + 𝑥 + 2! + 3! + ⋯
(𝑗𝜑)2
(𝑗𝜑)𝑛
𝜑2 𝜑4 𝜑6
𝜑3 𝜑5
𝑒 𝑗𝜑 = 1 + (𝑗𝜑) +
+⋯+
=1−
+
−
+ ⋯ + 𝑗 (𝜑 −
+
+⋯)
⏟ 2!
2!
𝑛!
4!
6!
3!
5!
⏟
cos 𝜑
18
sin 𝜑
1.5.5
Trigonometrische Darstellung von z in Polarkoordinaten
Im
b
r
z=a+jb
z|
=|
φ
Re
𝑟 = |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2
𝜑 ≔ arg 𝑧 „Argument von z“
Das Argument ist nicht eindeutig: Wir können ein Vielfaches
von 2π addieren oder abziehen: 𝜑 ± 2𝑘𝜋 𝑘 ∈ ℕ ist ebenfalls
Argument von z.
„Hauptargument“ 𝜑 = arg 𝑧 − 𝜋 < 𝜑 ≤ +𝜋
a
Umrechnung von/in trigonometrische Darstellung
a)
r und φ seien gegeben 𝑎 = 𝑟 cos 𝜑 = Re 𝑧
𝑏 = 𝑟 sin 𝜑 = Im 𝑧
𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏 = 𝑟(cos 𝜑 + 𝑗 sin 𝜑) = |𝑧|(cos 𝜑 + 𝑗 sin 𝜑)
𝜋
Beispiel: 𝑟 = √2 𝜑 = 4
𝜋
1
𝑎 = 𝑟 cos 𝜑 = √2 cos = √2 ⋅ ⋅ √2 = 1
4
2
𝜋
1
𝑏 = 𝑟 sin 𝜑 = √2 sin = √2 ⋅ ⋅ √2 = 1
4
2
𝑧 = 1+𝑗
b)
𝑎
arccos 𝑟 , wenn 𝑏 > 0
𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏, a und b gegeben → 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏 2 , 𝜑 = {
𝑎
− arccos 𝑟 , wenn 𝑏 < 0
0
𝜋
Beispiel: 𝑧 = −𝑗, 𝑟 = √02 + (−1)2 = 1, 𝜑 = − arccos 1 = − arccos 0 = − 2
1.5.6
Anwendung der Eulerschen Formel
a)
Potenzieren
1
1
300
z für 𝑧 = 2 √3 + 𝑗 2
3
1
𝜋
𝜋
1
𝑟 = √4 + 4 = 1, 𝜑 = 6 , denn cos 6 = 2 √3
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
300
𝑧 = cos 3 + 𝑗 sin 6 = 𝑒 𝑗 6 , 𝑧 300 = (𝑒 𝑗 6 )
= 𝑒 𝑗50𝜋 = 𝑒 𝑗⋅25⋅2𝜋 = 𝑒 𝑗0 = 1
b) n-te Einheitswurzeln
Aufgabe: alle Lösungen berechnen
𝑧 𝑛 = 1 𝑛 ∈ ℕ, n fixiert
|𝑧|𝑛 = |𝑧 𝑛 | = |1| ⟶ |𝑧| = 1
𝑧 = cos 𝜑 + 𝑗 sin 𝜑
𝑧 𝑛 = (cos 𝜑 + 𝑗 sin 𝜑)𝑛 = 𝑒 𝑗𝑛𝜑 = 1 = 𝑒 0
Beachten der Mehrdeutigkeit von φ
𝑒 𝑗(𝑛𝜑−2𝑘𝜋) = 𝑒 0 |ln, ∶ 𝑗
2𝑘𝜋
𝑛𝜑 − 2𝑘𝜋 = 0 ⟶ 𝜑 =
𝑛
2𝜋
4𝜋
gleich: 𝑘 = 0 ⟶ 𝜑 = 0, 𝑘 = 1 ⟶ 𝜑 = 𝑛 , 𝑘 = 2 ⟶ 𝜑 = 𝑛 , …, 𝑘 = 𝑛 ⟶ 𝜑 = 2𝜋
19
𝜑=
2𝑘𝜋
𝑘 = 0,1, … 𝑛 sind alles Winkel für die Lösung
𝑛
Satz 1:
Die Gleichung zn = 1 hat n verschiedene komplexe Lösungen (n-te Einheitswurzel)
𝑧 = 𝑒𝑗
2𝑘𝜋
𝑛
2𝑘𝜋
2𝑘𝜋
= cos (
) + 𝑗 sin (
)
𝑛
𝑛
Beispiel: 𝑧 3 = 1
k = 0: 𝑧1 = cos 0 + 𝑗 sin 0 = 1
2𝜋
2𝜋
k = 1: 𝑧2 = cos 3 + 𝑗 sin 3
k = 2: 𝑧3 = cos
…
4𝜋
3
+ 𝑗 sin
4𝜋
3
Allgemeine n-te Wurzel
𝑧 𝑛 = 𝑎 ∈ ℂ und 𝑎 = 𝑟𝑒 𝑗𝜑 ⟶ 𝑧 𝑛 = 𝑟𝑒 𝑗𝜑 mit r > 0
|𝑧 𝑛 | = |𝑟||𝑒 𝑗𝜑 | = |𝑟| ⟶ |𝑧|𝑛 = |𝑟| = 𝑟
|𝑧|𝑛 𝑎
𝑧 𝑛
|𝑧|𝑛 = 𝑎 ⟶
= = 𝑒 𝑗𝜑 ⟶ | 𝑛 | = 𝑒 𝑗𝜑
𝑟
𝑟
√𝑟
𝜑 2𝑘𝜋
)
𝑛
𝑧
𝑛
√
= 𝑧̃ , 𝑧̃ = 𝑒 𝑗𝜑 , 𝑧̃ = 𝑒 𝑗( 𝑛+
𝑟
1.5.7
𝜑 2𝑘𝜋
)
𝑛
⟶ 𝑧 = √𝑟𝑒 𝑗( 𝑛+
𝑛
Geometrische Bedeutung der Multiplikation
𝑧1 = 𝑟1 𝑒 𝑗𝜑1 , 𝑧2 = 𝑟2 𝑒 𝑗𝜑2
𝑧 = 𝑧1 ⋅ 𝑧2 = 𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑗𝜑1 𝑒 𝑗𝜑2 = 𝑟1 𝑟2 𝑒 𝑗(𝜑1 +𝜑2) = 𝑟𝑒 𝑗𝜑
𝑟 = 𝑟1 ⋅ 𝑟2 , 𝜑 = 𝜑1 + 𝜑2
D.h. Multiplikation der Längen der Zeiger und Addition ihrer Winkel zur Re-Achse.
Im
r=
r1 •
r2
φ=φ1+φ2
r2
φ2
r1
φ1
1.5.8
Re
Überlagerungen
Harmonische Schwingung 𝐴(cos(𝜔𝑡 + 𝜑)), 𝐴 ≥ 0, 𝜔 ≥ 0
𝑌1 (𝑡) = 𝐴1 cos(𝜔𝑡 + 𝜑1 ) und 𝑌2 (𝑡) = 𝐴2 cos(𝜔𝑡 + 𝜑2 )
gesucht: Y1 + Y2
Arbeiten im Komplexen, die Gleichungen stellen den Realteil dar.
20
𝑓1 (𝑡) = 𝐴1 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑1 ) und 𝑓2 (𝑡) = 𝐴2 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑2 )
𝑓1 + 𝑓2 = 𝐴1 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑1 ) + 𝐴2 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑2 ) = (𝐴1 𝑒 𝑗𝜑1 + 𝐴2 𝑒 𝑗𝜑2 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝐴𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑)
= 𝐴(cos(𝜔𝑡 + 𝜑) + 𝑗 sin(𝜔𝑡 + 𝜑))
Re(𝑓1 + 𝑓2 ) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜑), φ = Phasenverschiebung
𝜋
Beispiel: A1 = A2 = 1, φ1 = 0, 𝜑2 =
𝜋
2
𝑌1 = cos 𝜔𝑡 und 𝑌2 = cos (𝜔𝑡 + 2 )
𝜋
𝑓1 = 𝑒 𝑗𝜔𝑡 und 𝑓2 = 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+ 2 )
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
𝑓1 + 𝑓2 = (1 + 𝑒 𝑗 2 ) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = (1 + 𝑗)𝑒 𝑗𝜔𝑡 = √2𝑒 𝑗 4 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = √2 (cos (𝜔𝑡 + ) + 𝑗 sin (𝜔𝑡 + ))
4
4
𝜋
Re(𝑓1 + 𝑓2 ) = √2 cos (𝜔𝑡 + )
4
1.6
Komplexe Zahlen in der Wechselstromtechnik
reeller Vorgang
in Technik
Übertragung
ins Komplexe
Rechnen im
Komplexen
reelles
Rechenergebnis
bilden des
Realteils
komplexes
Ergebnis
Bezeichnungen:
̂ cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 ) momentane Spannung
𝑢 = 𝑢(𝑡) = 𝑈
𝑖 = 𝑖(𝑡) = 𝐼̂ cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 ) momentaner Strom
̂ = Maximalwert der Spannung
𝑈
𝐼̂ = Maximalwert des Stroms
t = Zeit, ω = Winkelgeschwindigkeit (Kreisfrequenz) = 2πf
2𝜋
f = Frequenz, 𝑇 = 𝜔 = Schwingungsdauer
Messgeräte zeigen normalerweise den Mittelwert an:
𝑇
1
𝑈 = √ ∫ 𝑢2 (𝑡)𝑑𝑡 ,
𝑇
0
1.6.1
𝑇
1
𝐼 = √ ∫ 𝑖 2 (𝑡)𝑑𝑡
𝑇
0
Komplexe Größen
̂ cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 ) = Re[√2𝑈
̂ (cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 ) + 𝑗 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 ))]
𝑢(𝑡) = √2𝑈
𝑗𝜔𝑡
̂ 𝑒 𝑗(𝜔𝑡+𝜑𝑢 ) ] = Re [√2 𝑈
̂ 𝑒 𝑗𝜑𝑢 ⋅ 𝑒⏟
= Re[√2𝑈
⏟
]
̂
𝑈
Zeitfaktor
21
Analog:
𝑗𝜔𝑡
𝑖(𝑡) = Re [√2 ⏟
𝐼̂𝑒 𝑗𝜑𝑖 ⋅ 𝑒⏟
]
𝐼̂
Zeitfaktor
Definition:
̂=𝑈
̂ 𝑒 𝑗𝜑𝑢 heißt komplexer Effektivwert der Spannung (ruhender Zeiger)
𝑈
𝐼̂ = 𝐼̂𝑒 𝑗𝜑𝑖 heißt komplexer Effektivwert der Stromstärke
𝑒 𝑗𝜔𝑡 heißt Drehzeiger, Zeitzeiger oder Zeitfaktor
̂ ⋅ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
𝑢(𝑡) = √2 Re[𝑈
} U, I zeitunabhängig
𝑖(𝑡) = √2 Re[𝐼̂ ⋅ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 ]
𝜑 = 𝜑𝑢 − 𝜑𝑖 heißt Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung
Alle Zeiger drehen sich mit Winkelgeschwindigkeit ω gegen den Uhrzeigersinn um den
Nullpunkt. Durch geeignete Wahl des Anfangszeitpunktes t = 0 kann man φ u = 0 und φi = φ
erreichen.
1.6.2
Rechnen mit Komplexen
𝑈
𝑈
𝑅 = 𝐼 , Verallgemeinerung: 𝑍 =
𝐼
heißt komplexer Scheinwiderstand
̂ ⋅ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , 𝐼(𝑡) = 𝐼̂ ⋅ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 , |𝑍| heißt Scheinwiderstand
𝑈(𝑡) = 𝑈
𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋, R = Wirkwiderstand (Re 𝑍), X = Blindwiderstand (Im 𝑍)
X > 0 steht für induktiven Widerstand
X < 0 steht für kapazitiven Widerstand
𝑑𝑖
𝑑𝑡
Übergang zum Komplexen
𝑑
𝑑
𝑑
𝑈(𝑡) = 𝐿 𝐼(𝑡) = 𝐿 (𝐼̂𝑒 𝑗𝜔𝑡 ) = 𝐿𝐼̂ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝐿𝐼̂𝑗𝜔𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝑗𝜔𝐿𝐼(𝑡)
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑍 = 𝑗𝜔𝐿, 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 induktiver Blindwiderstand
𝑢=𝐿
bei rein kapazitiven Widerstand:
𝑑𝑢
𝑖=𝐶
𝑑𝑡
Übergang zum Komplexen
𝐼(𝑡) = 𝑗𝜔𝐶 ⋅ 𝑈(𝑡) oder 𝑈(𝑡) =
1
𝑗𝜔𝐶
1
𝐼(𝑡) = −𝑗
1
𝜔𝐶
𝐼(𝑡)
1
𝑍 = −𝑗 𝜔𝐶, 𝑋𝐶 = 𝜔𝐶 kapazitiver Blindwiderstand
Beispiel: Reihenschaltung
R
L
C
1
) = 𝑅 + 𝑗(𝑋𝐿 − 𝑋𝐶 )
𝜔𝐶
geg. 𝑅 = 400Ω, 𝑋𝐿 = 500Ω, 𝑋𝐶 = 200Ω, 𝑈 = 𝑈 = 20𝑉
ges. I, sowie komplexe Effektivwerte der Spannung über den Bauteilen
𝑍 = 𝑅 + 𝑗 (𝜔𝐿 −
22
Berechnung des komplexen Scheinwiderstandes:
𝑍 = 400Ω + j(500 − 200)Ω = (400 + 𝑗300)Ω
400
𝑟 = |𝑍| = 100√42 + 32 Ω = 500Ω, 𝜑 = arccos 500 = 0,6435 (Winkel in rad)
𝑍 = 500𝑒 𝑗⋅0,6435 Ω
𝑈
20
1
1
Strom: 𝐼 = 𝑍 = 500 𝑒 −𝑗⋅0,6435 𝐴 = 25 𝑒 −𝑗⋅0,6435 𝐴 = 25 𝑒 −𝑗𝜑𝑖 𝐴 mit 𝜑𝑖 = −0,6435
Da φi negativ, liegt Kapazitätslast vor.
1
1
(cos 𝜑 + 𝑗 sin 𝜑)𝐴 =
(0,8 − 𝑗0,6)𝐴 = (0,032 − 𝑗0,024)𝐴
𝐼=
25
25
komplexe Effektivwerte:
𝑈𝑅 = 𝑅 ⋅ 𝐼 = (12,8 − 𝑗9,6)𝑉
𝑈𝐿 = 𝑗𝑋𝐿 ⋅ 𝐼 = 𝑗500(0,032 − 𝑗0,024)𝑉 = (12 + 𝑗16)𝑉
𝑈𝐶 = −𝑗𝑋𝐶 ⋅ 𝐼 = (−4,8 − 𝑗6,4)𝑉
Probe: 𝑈𝑅 + 𝑈𝐿 + 𝑈𝐶 = 20𝑉
1.6.3
Bedeutung des Realteils und Imaginärteils von I und U
𝐼 = 𝐼𝑒 𝑗𝜑𝑖 = 𝐼(cos 𝜑𝑖 + 𝑗 sin 𝜑𝑖 ) = 𝐼⏟cos 𝜑𝑖 + 𝑗 𝐼⏟sin 𝜑𝑖
Wirkstrom 𝐼𝑊
Blindstrom 𝐼𝐵
Wechselstromleistung:
Definition: 𝑆 = 𝑈 ⋅ 𝐼 heißt komplexe Scheinleistung (I konjugiert komplex)
𝑆 = 𝑈𝑒 𝑗𝜑𝑢 ⋅ 𝐼𝑒 𝑗𝜑𝑖 = 𝑈 ⋅ 𝐼𝑒 𝑗(𝜑𝑢−𝜑𝑖 ) =
𝑈
⏟
⋅𝐼
𝑒 𝑗𝜑 = 𝑆𝑒 𝑗𝜑
reelle Scheinleistung 𝑆
φ Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung
𝑆= ⏟
𝑆 cos 𝜑 + 𝑗 𝑆⏟sin 𝜑 = 𝑃 + 𝑗𝑄
Wirkleistung 𝑃
Blindleistung 𝑄
1.7
Elementare Funktionen
1.7.1
Grundbegriffe
Eine Funktion sei injektiv. Alle 𝑦 ∈ ℝ(𝑓) existiert dann genau ein Urbild 𝑥 ∈ 𝐴, so dass 𝑦 =
𝑓(𝑥) ist.
Die Funktion 𝑔: 𝑦 ⟶ 𝑥 von ℝ(𝑓) in A heißt Umkehrfunktion. Bezeichnung: 𝑔 = 𝑓 −1
Beispiel:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 , ℝ+ ⟶ ℝ
𝑥 = 3√𝑦 = 𝑓 −1 (𝑦)
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 , ℝ+ ⟶ ℝ
𝑥 = 2√𝑦 = 𝑓 −1 (𝑦)
23
Definition: Eine reelle Funktion einer reellen Veränderlichen heißt auf A

monoton wachsend, wenn aus 𝑥1 > 𝑥2 ⟶ 𝑓(𝑥1 ) ≥ 𝑓(𝑥2 ), z.B. [x] (siehe unten)

streng monoton wachsend, wenn aus 𝑥1 > 𝑥2 ⟶ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ), z.B. x3

monoton fallend, wenn aus 𝑥1 > 𝑥2 ⟶ 𝑓(𝑥1 ) ≤ 𝑓(𝑥2 )

streng monoton fallend, wenn aus 𝑥1 > 𝑥2 ⟶ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 )
Beispiel:
𝑓(𝑥) = [𝑥] (ganzer Teil von x) in ℝ+ , monoton wachsend (nicht streng)
0
1
Jede streng monoton wachsende und jede streng monoton fallende Funktion sind injektiv.
Jede in ihrem Definitionsbereich streng monoton wachsende (fallende) Funktion einer
Veränderlichen hat eine Umkehrfunktion.
Definition:
𝑓: 𝐴 ⟶ ℝ heißt beschränkt, wenn es eine Konstante gibt K > 0, so dass |𝑓(𝑥)| ≤ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝐴
Beispiel:
𝑓(𝑥) = sin 𝑥, da |sin 𝑥| ≤ 1, ∀𝑥 ∈ ℝ
𝑥
𝑓(𝑥) = 1+𝑥 2 , denn:

|𝑥| < 1 ⟶ |𝑓(𝑥)| ≤

|𝑥| ≥ 1 ⟶ |𝑓(𝑥)| ≤
|𝑥|
1+𝑥 2
|𝑥|
1+𝑥 2
1
≤ 1+0 = 1
𝑥2
≤ 1+𝑥 2 ≤ 1
Definition:
Die Funktion 𝑓: ℝ ⟶ ℝ heißt periodisch mit Periode L, wenn 𝑓(𝑥 + 𝐿) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ ℝ
Beispiel: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥, 𝐿 = 2𝜋
Definition:
f heißt gerade Funktion, wenn 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) , z.B. cos 𝑥, Periode 2𝜋
f heißt ungerade Funktion, wenn 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) , z.B. sin 𝑥 (Periode 2𝜋), tan 𝑥 (Periode
𝜋)
Definition: seien f, g Abbildungen 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 und 𝑔: 𝐵 ⟶ 𝐶
Die Abbildung ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)): 𝐴 ⟶ 𝐶 heißt Komposition von f und g. Schreibweise:
ℎ =𝑔∘𝑓
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) ≔ 𝑔(𝑓(𝑥))
1
𝑛
Beispiel: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 = √𝑥 , 𝑔(𝑥) = 𝑥 𝑚
𝑚
𝑚
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) ≔ ( 𝑛√𝑥) = 𝑥 𝑛
24
1.7.2
Rationale Funktionen
Definition:
Eine Funktion der Form
𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 ∑𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖
𝑓(𝑥) =
=
𝑖
𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑥 𝑚 ∑𝑚
𝑖=0 𝑏𝑖 𝑥
mit 𝑏𝑚 ≠ 0 heißt rationale Funktion. Ist der Nennergrad 𝑚 ≥ 1 und der Zähler nicht das
Nullpolynom, so heißt f gebrochen rationale Funktion. f heißt dabei echt gebrochen, wenn
𝑛 < 𝑚. Sonst unecht gebrochen. Spezialfall m = 0, 𝑏0 ≠ 0, dann heißt f Polynom. Daher
heißt Polynom auch ganze rationale Funktion.
Division von Polynomen
p habe den Grad n, q habe den Grad 𝑚 ≤ 𝑛, dann
𝑝(𝑥)
𝑟(𝑥)
= ℎ(𝑥) +
,
𝑞(𝑥)
𝑞(𝑥)
wobei h ein Polynom ist und grad 𝑟 < grad 𝑞
Beispiel:
(4𝑥 5 − 4𝑥 4 − 5𝑥 3 + 4𝑥 2 − 𝑥 + 1): (2𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2) = 2𝑥 2 + 𝑥 − 6 +
2𝑥 3
𝑟(𝑥)
− 3𝑥 2 + 5𝑥 − 2
Horner-Schema:
(𝑐𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑐𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑐1 𝑥 + 𝑐0 )(𝑥 − 𝑥0 )
= 𝑐𝑛−1 𝑥 𝑛 + (𝑐𝑛−2 − 𝑐𝑛−1 𝑥0 )𝑥 𝑛−1 + ⋯ + (𝑐0 − 𝑐1 𝑥0 )𝑥 + (−𝑐0 𝑥0 )
= 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
𝑐𝑛−1 = 𝑎𝑛
𝑐𝑛−2 − 𝑐𝑛−1 𝑥0 = 𝑎𝑛−1
⋮
𝑐0 − 𝑐1 𝑥0 = 𝑎1
−𝑐0 𝑥0 = 𝑎0
an
=
𝑐𝑛−1 = 𝑎𝑛
𝑐𝑛−2 = 𝑎𝑛−1 + 𝑐𝑛−1 𝑥0
⋮
𝑐0 = 𝑎1 + 𝑐1 𝑥0
−𝑐0 𝑥0 = 𝑎0
an-1
an-2
+
+
cn-1x0
cn-2x0
cn-2
cn-3
x0 • cn-1
…
a1
a0
+
+
c1x0
c0x0
… c0
0
Diskussion gebrochen rationale Funktionen
∑𝑛𝑖=0 𝑎𝑖 𝑥 𝑖 𝑝(𝑥)
Sei 𝑓(𝑥) = 𝑚
=
∑𝑖=0 𝑏𝑖 𝑥 𝑖 𝑞(𝑥)
Nullstellen von f: 𝑝(𝑥0 ) = 0 und 𝑞(𝑥0 ) ≠ 0. Wenn 𝑞(𝑥0 ) = 0, dann kann man dadurch
dividieren und vereinfachen.
Polstellen von f: 𝑝(𝑥0 ) ≠ 0 und 𝑞(𝑥0 ) = 0, |𝑓(𝑥)| ⟶ ∞, wenn 𝑥 ⟶ 𝑥0
Beispiel: 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −1
𝑥−1
=
(𝑥−1)(𝑥+1)
(𝑥−1)
= 𝑥 + 1 ⟶ 𝑓 hat eine Nullstelle, aber keine Polstelle
25
Es gilt: 𝑓(𝑥) =
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
= ℎ(𝑥) +
𝑟(𝑥)
, h ist Polynom grad 𝑟 < grad 𝑞
𝑞(𝑥)
𝑟(𝑥)
h(x) dann Asymptote von f: 𝑓(𝑥) − ℎ(𝑥) = 𝑞(𝑥) →
𝑥⟶±∞
0
Polynome: Ist x0 eine Nullstelle 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 , wobei 𝑛 ≥ 1, so
lässt sich f ohne Rest durch (𝑥 − 𝑥0 ) dividieren. Das gilt auch für komplexe Polynome.
Satz: Jedes Polynom n-ten Grades hat höchstens n verschiedene reelle Nullstellen.
Beispiel:
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 1 = (𝑥 2 − 1)(𝑥 2 + 1) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1)
= (𝑥 + 1)(𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑗)(𝑥 − 𝑗)
Satz: Fundamentalsatz der Algebra
Jedes Polynom von Grad 𝑛 ≥ 1 hat mindestens eine komplexe Nullstelle (darf auch reell
sein).
Folgerung:
Jedes Polynom kann in Linearfaktoren 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛 ) zerlegt
werden, wobei x1, …, xn reelle oder komplexe Nullstellen von f sind. Kommt eine Nullstelle
mehrmals vor, so heißt die Anzahl ihre Vielfachheit.
Beispiel: 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 = (𝑥 − 0)4 , x = 0 ist vielfache Nullstelle
Folgerung: 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞 hat Nullstellen x1, x2
⟶ (𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) = 𝑥 2 − (𝑥1 + 𝑥2 )𝑥 + 𝑥1 𝑥2
Koeffizientenregel: 𝑝 = −(𝑥1 + 𝑥2 ), 𝑞 = 𝑥1 𝑥2
1.7.3
Trigonometrische Funktionen
𝑥 = cos 𝜑
tan 𝜑 =
sin 𝜑
cos 𝜑
𝑦 = sin 𝜑
= Anstieg einer Geraden cot 𝜑 =
sin2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1
cos 𝜑
sin 𝜑
cos 2𝑥 = cos 2 𝑥 − sin2 𝑥
sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥
Additionstheoreme:
sin(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 sin 𝑦 + sin 𝑥 cos 𝑦
sin 𝑥 + sin 𝑦 = 2 sin
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
cos
2
2
cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦
cos 𝑥 + cos 𝑦 = 2 cos
26
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
cos
2
2
Eckwerte:
0°
30°
𝜋
0
6
1
1
√0
√1
2
2
1
1
√4
√3
2
2
sin
cos
1.7.4
45°
𝜋
4
1
√2
2
1
√2
2
60°
𝜋
3
1
√3
2
1
√1
2
90°
𝜋
2
1
√4
2
1
√0
2
Arcus-Funktionen
Umkehrfunktionen zu den Winkelfunktionen
𝜋 𝜋
𝑓(𝑥) = sin 𝑥 ist streng monoton wachsend auf [− 2 , 2 ]. Auf diesem Intervall ist sin 𝑥
injektiv und wir können von der Existenz der inversen Funktion ausgehen.
𝑓 −1 (𝑥) = arcsin 𝑥
Mittleres Bild: 𝑥 = arcsin 𝑦 sieht genauso aus wie sin 𝑥. Hier ist y die unabhängige Variable.
Rechtes Bild: Graph ist Spiegelung an der y = x Geraden. Definitionsbereich der Funktion ist
𝜋 𝜋
[-1, 1] und Wertebereich [− 2 , 2 ].
y = sin x
y
1
y = arcsin x
π
2
1
π
2
π
2
x
π
2
x = arcsin y
-1
π
2
-1
1
x
π
2
-1
𝑓(𝑥) = cos 𝑥 ist streng monoton fallend auf [0, 𝜋], ∃𝑓 −1 (𝑥): [1,1] ⟶ [0, 𝜋]
𝑓 −1 (𝑥) = arccos 𝑥
y = arccos x
y = cos x
π
1
π
π
2
π
2
x
-1
-1
1
𝜋 𝜋
x
𝑓(𝑥) = tan 𝑥 , monoton auf (− 2 , 2 ), 𝑓 −1 (𝑥) = arctan 𝑥
𝜋
Asymptoten 𝑦 = ± 2
27
𝜋 𝜋
auf (−∞, ∞) ⟶ (− 2 , 2 ),
y = tan x
y = arctan x
π
2
π
2
x
π
2
x
π
2
Asymptote
𝑓(𝑥) = cot 𝑥 ist definiert auf (0, π) und bildet ab auf (−∞, ∞), 𝑓 −1 (𝑥) = arccot 𝑥 ist
definiert auf (−∞, ∞) mit Werten (0, π), Asymptoten sind y = 0 und y = π
y = cot x
y = arccot x
Asymptote
π
π
2
π
π
2
x
x
1.7.5
Exponentialfunktion und Logarithmus
𝑦 = 𝑎 𝑥 mit a > 0
𝑚
𝑛
wenn 𝑥 ∈ ℕ und 𝑥 = 𝑛 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ ⟶ 𝑎 𝑥 = √𝑎𝑚
wenn 𝑚 ∈ ℤ ∖ ℕ und 𝑥 =
𝑚
𝑛
1
𝑛
𝑛 ∈ ℕ ⟶ 𝑎 𝑥 = √𝑎−𝑚 vorausgesetzt 𝑥 ∈ ℝ ∖ ℤ
𝑎 𝑥 = sup 𝑎𝑟 𝑟 ∈ ℚ 𝑟 < 𝑥
Jede Exponentialfunktion 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 ist streng monoton wachsend für a > 1 und streng
monoton fallend, falls 0 < a < 1.
y = ax
y = ax
a>1
0<a<1
1
1
x
x
Es gilt:
𝑎 𝑥+𝑦 = 𝑎 𝑥 ⋅ 𝑎 𝑦
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
(𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥⋅𝑦
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
𝑎
(𝑥 𝑦 )
≠ (𝑎 𝑥 )𝑦
∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
a heißt Basis der Exponentialfunktion
e = Eulersche Zahl = 2,718281828…
28
Umkehrfunktion von 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ist natürlicher Logarithmus 𝑓 −1 (𝑥) = ln 𝑥 ist definiert auf
(0, ∞)
y = ex
y = ln x
1
1
x
x
Da ln 𝑥 Umkehrfunktion von 𝑒 𝑥 ist, gilt: 𝑥 = 𝑒 ln 𝑥 und 𝑦 = ln(𝑒 𝑦 )
Es gilt:
ln(𝑥𝑦) = ln 𝑥 + ln 𝑦
𝑥
ln ( ) = ln 𝑥 − ln 𝑦
𝑦
ln(𝑥 𝛼 ) = 𝛼 ln 𝑥
Beweis für ln(𝑥𝑦)
=⏟
ln 𝑥 + ln 𝑦
⏟
𝑎
𝑎 = ln 𝑏 ⟺ 𝑒 𝑎 = 𝑒 ln 𝑏 = 𝑏
= 𝑒 ln 𝑥+ln 𝑦
𝑥𝑦 = 𝑒 ln 𝑥 ⋅ 𝑒 ln 𝑦
𝑥𝑦 = 𝑥 ⋅ 𝑦
ln(𝑥𝑦)
→
𝑒
ln 𝑏
Zusammenhang von 𝑎 𝑥 und 𝑒 𝑥
𝑥
𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥⋅ln 𝑎 = (𝑒 ln 𝑎 )
Logarithmen zu beliebigen Basen. Die Umkehrfunktion zur streng monoton wachsenden
Funktion 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , a > 1 heißt Logarithmus zur Basis a.
𝑦 = log 𝑎 𝑥 ⟺ 𝑥 = 𝑎 𝑦
𝑥 = 𝑎log𝑎 𝑥
𝑦 = log 𝑎 (𝑎 𝑦 )
𝑎 𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑎
log 𝑎 𝑥 =
ln 𝑥
ln 𝑎
∀𝑥 > 0
log𝑎 𝑥
𝑥 = 𝑒 ln 𝑥 und 𝑥 = 𝑎log𝑎 𝑥 = (𝑒 ln 𝑎 )
= 𝑒 ln 𝑎⋅log𝑎 𝑥
Gleichsetzen (x = x) und ln auf beiden Seiten ⟶ ln 𝑥 = ln 𝑎 ⋅ log 𝑎 𝑥
ln 3
Beispiel: log16 3 = ln 16 = 0,4
Definition:
ld(𝑥) = log 2 𝑥 Logarithmus dualis
log(𝑥) = log10 𝑥 Zehner Logarithmus
29
1.7.6
Hyperbel- und Areafunktionen
Definition:
sinh 𝑥 =
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥
2
sinus hyperbolicus
cosh 𝑥 =
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
2
cosinus hyperbolicus
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥
tanh 𝑥 = 𝑥
𝑒 + 𝑒 −𝑥
tangens hyperbolicus
coth 𝑥 =
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥
cotangens hyperbolicus
cosh 𝑥 ist eine gerade Funktion, die anderen ungerade.
y
y
cothx
coshx
1
1
sinhx
x
x
tanhx
-1
i)
sinh 𝑥 + cosh 𝑥 = 𝑒 𝑥
ii)
cosh2 𝑥 − sinh2 𝑥 = 1
iii)
cosh(𝑥 + 𝑦) = cosh 𝑥 cosh 𝑦 + sinh 𝑥 sinh 𝑦
iv)
sinh(𝑥 + 𝑦) = cosh 𝑥 sinh 𝑦 + sinh 𝑥 cosh 𝑦
Beweis ii):
𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 2 𝑒 2𝑥 + 2𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 + 𝑒 −2𝑥
(
) =
2
4
−
𝑒 𝑥 − 𝑒 −𝑥 2 𝑒 2𝑥 − 2𝑒 𝑥 𝑒 −𝑥 + 𝑒 −2𝑥
(
) =
2
4
2+2
=
=1
4
Beispiel:
Durchhängende Seile (z.B. Hochspannungsleitungen) werden beschrieben durch
𝑥
𝑦 = (𝑎 cosh 𝑎) + 𝑏. Dabei hängen die Konstanten a und b von der Länge und Elastizität ab.
Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen:
sinh−1(𝑥) = arsinh 𝑥 𝑥 ∈ ℝ
Area sinus hyperbolicus
cosh−1(𝑥) = arcosh 𝑥 𝑥 ≥ 1
Area cosinus hyperbolicus
30
tanh−1(𝑥) = artanh 𝑥 |𝑥| < 1 Area tangens hyperbolicus
coth−1 (𝑥) = arcoth 𝑥 |𝑥| > 1
Area cotangens hyperbolicus
Wir berechnen 𝐬𝐢𝐧𝐡−𝟏 (𝒙). Es sei 𝑦 = arsinh 𝑥 oder 𝑥 = sinh 𝑦:
𝑒 𝑦 − 𝑒 −𝑦
|wir definieren 𝑒 𝑦 = 𝑧
𝑥 = sinh 𝑦 =
2
1
𝑧−𝑧
1
𝑥=
⟶ 2𝑥 = 𝑧 − ⟶ 2𝑥𝑧 = 𝑧 2 − 1 ⟶ 𝑧 = 𝑥 ± √𝑥 2 + 1 ⟶ 𝑒 𝑦 = 𝑥 ± √𝑥 2 + 1
2
𝑧
Minus entfällt, da 𝑒 𝑥 > 0 für ∀𝑦 ∈ ℝ1
𝑦 = arsinh 𝑥 = ln (𝑥 + √𝑥 2 + 1)
arcosh 𝑥 = ± ln (𝑥 + √𝑥 2 − 1) 𝑥 ≥ 1 (Minus für fallenden Zweig von cosh 𝑥)
Wir berechnen 𝒚 = 𝐚𝐫𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒙 ⟶ 𝐭𝐚𝐧𝐡 𝒚 = 𝒙
𝑒 𝑦 − 𝑒 −𝑦
|wir definieren 𝑒 𝑦 = 𝑧
𝑥= 𝑦
𝑒 + 𝑒 −𝑦
1
𝑧−𝑧
1
1
1 𝑥
1+𝑥
𝑥=
⟶ 𝑥 (𝑧 + ) = 𝑧 − ⟶ 𝑥𝑧 − 𝑧 = − − ⟶ 𝑧(𝑥 − 1) = −
1
𝑧
𝑧
𝑧 𝑧
𝑧
𝑧+𝑧
⟶ 𝑧2 =
1+𝑥
1+𝑥
1+𝑥
⟶ 𝑧 = ±√
Minus entfällt ⟶ 𝑒 𝑦 = √
1−𝑧
1−𝑥
1−𝑥
1 1+𝑥
𝑦 = artanh 𝑥 = ln
2 1−𝑥
1 𝑥+1
arcoth 𝑥 = ln
2 𝑥−1
mit |𝑥| < 1
mit |𝑥| > 1
31
2.
Lineare Algebra
2.1
Die Vektorräume ℝ𝒏 und ℂ𝒏
2.1.1
Definition und Rechenoperationen
Definition:
Sei 𝑛 ∈ ℕ. Der Raum ℝ𝑛 ist die Menge aller reellen Spaltenvektoren der Dimension n.
𝑥1
𝑥2
𝑥⃗ = ( ⋮ ) 𝑥𝑖 ∈ ℝ ∀𝑖
𝑥𝑛
𝑛
ℂ ist der entsprechende Raum mit komplexen Werten xi.
Beispiel:
1
𝑗
−3
4
𝑥⃗ = ( ) ∈ ℝ , 𝑥⃗ = (1 − 𝑗) ∈ ℂ3
0
3
5
𝑥1
𝑥
Bezeichnungsweise: 𝑛 = 2 ⟶ 𝑥⃗ = (𝑥 ) oder 𝑟⃗ = (𝑦)
2
algebraische Struktur im ℝ𝟒
𝑦1
𝑥1
Definition: Es seien 𝑥⃗ = ( ⋮ ) und 𝑦⃗ = ( ⋮ ) ∈ ℝ4
𝑥4
𝑦4
𝑥1 + 𝑦1
𝑥 +𝑦
i)
𝑥⃗ + 𝑦⃗ = (𝑥2 + 𝑦2 )
3
3
𝑥4 + 𝑦4
𝑐𝑥1
𝑐𝑥2
ii) 𝑐 ∈ ℝ 𝑐 ⋅ 𝑥⃗ = (𝑐𝑥 )
3
𝑐𝑥4
0
iii) ⃗0⃗ = ( ⋮ )
0
iv) −𝑥⃗ = (−1)𝑥⃗
Die Addition ist eine positive assoziative und kommutative Operation. Die Multiplikation ist
kommutativ und distributiv, außerdem gilt 𝑎(𝑏𝑥⃗) = (𝑎𝑏)𝑥⃗ und 1 ⋅ 𝑥⃗ = 𝑥⃗.
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist der Nullvektor ⃗0⃗. Gleichungen der Gestalt
𝑥⃗ + 𝑦⃗ = 𝑎⃗ sind lösbar: 𝑥⃗ = 𝑎⃗ − 𝑦⃗.
Durch die Gültigkeit dieser Gesetze für den ℝ𝑛 wird dieser zu einem „linearen Raum“ über
den Körper ℝ der reellen Zahlen oder „Vektorraum“.
32
Geometrische Interpretation für n = 2, 3
x2
P
x2
x
n=2
x1
x1
𝑃(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥⃗
1
0
𝑒⃗⃗⃗⃗1 = ( ) und 𝑒⃗⃗⃗⃗2 = ( ) sind Einheitsvektoren (Basisvektoren)
0
1
𝑥⃗ kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden:
1
0
𝑥⃗ = 𝑥1 ( ) + 𝑥2 ( )
0
1
Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleiche Länge und Richtung haben.
Koordinatendarstellung
𝑥1
𝑥⃗ = (𝑥2 ) = 𝑥1 ⃗⃗⃗⃗
𝑒1 + 𝑥2 ⃗⃗⃗⃗
𝑒2 + 𝑥3 ⃗⃗⃗⃗
𝑒3
𝑥3
Rechtssysteme
e3
e2
e1
Abstand im ℝ𝒏
Definition: 𝑥⃗ ∈ ℝ𝑛 |𝑥⃗| = √𝑥12 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛2
𝑥1
𝑥2
wobei 𝑥⃗ = ( ⋮ )
𝑥𝑛
Wenn 𝑥⃗ ∈ ℂ𝑛 |𝑥⃗| = √(𝑥1 )2 + (𝑥2 )2 + ⋯ (𝑥𝑛 )2
3
0
Beispiel: 𝑥⃗ = ( ) |𝑥⃗| = √32 + 42 + 12 = √26
4
1
Bemerkung: |𝑥⃗| heißt Länge des Vektors 𝑥⃗
⃗⃗ und 𝒚
⃗⃗
Definition des Abstandes von 𝒙
𝑥1
𝑦1
𝑥2
𝑦2
Mit 𝑥⃗ = ( ⋮ ) und 𝑦⃗ = ( ⋮ ) heißt
𝑥𝑛
𝑦𝑛
|𝑥⃗ − 𝑦⃗| = √(𝑥1 − 𝑦1 )2 + ⋯ (𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 )2
Abstand von 𝑥⃗ und 𝑦⃗.
Der Betrag erfüllt die drei Axiome der Norm
|𝑥⃗| ≥ 0 und |𝑥⃗| = 0 ⟺ 𝑥⃗ = ⃗0⃗
1)
|𝜆𝑥⃗| = |𝜆||𝑥⃗| ∀𝜆 ∈ ℝ
2)
33
|𝑥⃗ + 𝑦⃗| ≤ |𝑥⃗| + |𝑦⃗| Dreiecksungleichung
3)
Wir führen jetzt das Skalarprodukt ein
𝑢1
𝑣1
⋮
𝑢
⃗⃗ = ( ) 𝑣⃗ = ( ⋮ ) 𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ ℝ𝑛
𝑢𝑛
𝑣𝑛
𝑛
Definition: 𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 𝑢1 𝑣1 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑣𝑛 = ∑ 𝑢𝑖 𝑣𝑖
𝑖=1
Beispiel:
1
2
2
1
𝑢
⃗⃗ = 0 ∈ ℝ5 𝑣⃗ = 1 ∈ ℝ5 𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 7
2
0
3
( )
(1 )
𝑛
Bemerkung: wenn 𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ ℂ
𝑛
𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = ∑ 𝑢𝑖 𝑣𝑖
𝑖=1
Rechengesetze:
i)
𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑢
⃗⃗ = |𝑢
⃗⃗|2
ii) 𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ ⋅ 𝑢
⃗⃗
iii) (𝑢
⃗⃗ + 𝑣⃗)𝑤
⃗⃗⃗ = 𝑢
⃗⃗𝑤
⃗⃗⃗ + 𝑣⃗𝑤
⃗⃗⃗
(𝑐𝑢
iv)
⃗⃗)𝑣⃗ = 𝑐(𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗) 𝑐 ∈ ℝ
|𝑢
v)
⃗⃗ + 𝑣⃗|2 = |𝑢
⃗⃗|2 + 2𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ + |𝑣⃗|2
Satz 1: In den Fällen n = 2, 3 gilt
𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = |𝑢
⃗⃗| ⋅ |𝑣⃗| ⋅ cos 𝜑
mit 𝜑 als eingeschlossener Winkel zwischen beiden Vektoren
Beweis:
𝑎 = |𝑢
⃗⃗| 𝑏 = |𝑣⃗|, Kosinussatz 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜑
x2
 
v u

u

v
x1
|𝑣⃗ − 𝑢
⃗⃗|2 = |𝑢
⃗⃗|2 + |𝑣⃗|2 − 2|𝑢
⃗⃗||𝑣⃗| cos 𝜑
2
2
|𝑢
|𝑣
|𝑢
|𝑣
⃗⃗| + ⃗| − 2𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = ⃗⃗| + ⃗| − 2|𝑢
⃗⃗||𝑣⃗| cos 𝜑
𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = |𝑢
⃗⃗||𝑣⃗| cos 𝜑
2
2
Bemerkung: Stehen zwei Vektoren senkrecht aufeinander dann 𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 0 𝑢
⃗⃗ ⊥ 𝑣⃗ und cos 𝜑 =
𝜋
cos 2 = cos 90° = 0
34
Wenn 𝑢
⃗⃗ ⋅ 𝑣⃗ = 0 dann 𝑢
⃗⃗ = 0 oder 𝑣⃗ = 0 oder 𝑢
⃗⃗ ⊥ 𝑣⃗
Folgerung:

u
0

v
φ
 

u
0

u cos 
φ

v  u
v
v
𝜆𝑣⃗ ⊥ 𝜆𝑣⃗ − 𝑢
⃗⃗ ⟶ 𝜆𝑣⃗ ⋅ (𝜆𝑣⃗ − 𝑢
⃗⃗) = 0 |: 𝜆 vorausgesetzt 𝜆 ≠ 0
2
𝜆|𝑣⃗| = 𝑣⃗ ⋅ 𝑢
⃗⃗ = |𝑣⃗||𝑢
⃗⃗| cos 𝜑 ⟶ 𝜆|𝑣⃗| = |𝑢
⃗⃗| cos 𝜑
Folgerung:
z

e
e3
γ
β
α
e1
y
e2
x
𝑒𝑥
𝑒⃗ = (𝑒𝑦 ) sei Einheitsvektor, d.h. |𝑒⃗| = 1, dann geben ex, ey, und ez jeweils den Kosinus
𝑒𝑧
zwischen 𝑒⃗ und ⃗⃗⃗⃗,
𝑒1 ⃗⃗⃗⃗
𝑒2 und ⃗⃗⃗⃗
𝑒3 an. 𝑒𝑥 = cos 𝛼 𝑒𝑦 = cos 𝛽 𝑒𝑧 = cos 𝛾
𝑒𝑥
1
(𝑒𝑦 ) ⋅ (0)
𝑒⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗
𝑒1
𝑒
0 =𝑒
cos 𝛼 =
= 𝑧
𝑥
|𝑒⃗| ⋅ |𝑒⃗⃗⃗⃗|
1⋅1
1
1 = |𝑒⃗| = √𝑒𝑥2 + 𝑒𝑦2 + 𝑒𝑧2 = √cos 2 𝛼 + cos2 𝛽 + cos 2 𝛾
Definition:
Zwei Vektoren 𝑢
⃗⃗ ∈ ℝ𝑛 und 𝑣⃗ ∈ ℝ𝑛 heißen parallel, wenn ∃𝜆 ∈ ℝ: 𝑢
⃗⃗ = 𝜆𝑣⃗, 𝑢
⃗⃗ = ⃗0⃗, 𝑣⃗ ≠ ⃗0⃗
Bezeichnung: 𝑢
⃗⃗ ∥ 𝑣⃗
1
−2
⃗⃗
Beispiel: ⃗𝑢⃗ = (2) , ⃗𝑣⃗ = (−4) ⟶ ⃗𝑢⃗ ⋅ (−2) = 𝑣
3
−6
2.1.2
Das Vektorprodukt
im Raum ℝ3
𝑎1
𝑏1
⃗⃗
𝑎
Definition: 𝑎⃗ = ( 2 ) 𝑏 = (𝑏2 ) ∈ ℝ3
𝑎3
𝑏3
35
𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = (𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 ) heißt Vektorprodukt oder Kreuzprodukt von 𝑎⃗ und 𝑏⃗⃗
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
Rechenregeln:
Antikommutativität 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = −𝑏⃗⃗ × 𝑎⃗
ii)
Distributivität
𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗) = 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ + 𝑎⃗ × 𝑐⃗
iii) Assoziativgesetz
(𝜆𝑎⃗) × 𝑏⃗⃗ = 𝑎⃗ × (𝜆𝑏⃗⃗) = (𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗)𝜆 ∀𝜆 ∈ ℝ
Bemerkung:
𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ × 𝑐⃗) ≠ (𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗) × 𝑐⃗
i)
Eigenschaften:
iv) 𝑐⃗ = 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ ist orthogonal zu 𝑎⃗ und 𝑏⃗⃗
Beweis:
𝑎1
𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2
⃗⃗
𝑎
𝑎
𝑏
−
𝑎
𝑏
(𝑎⃗ × 𝑏) ⋅ 𝑎⃗ = ( 3 1
1 3 ) ⋅ ( 2)
𝑎3
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
= 𝑎1 𝑎2 𝑏3 − 𝑎1 𝑎3 𝑏2 + 𝑎2 𝑎3 𝑏1 − 𝑎2 𝑎1 𝑏3 + 𝑎3 𝑎1 𝑏2 − 𝑎3 𝑎2 𝑏1
=0
v)
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = ⃗0⃗ ⟺ 𝑎⃗ ∥ 𝑏⃗⃗ oder 𝑎⃗ = ⃗0⃗ oder 𝑏⃗⃗ = ⃗0⃗
Es
sei
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ = ⃗⃗
0
und
𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ ≠ ⃗⃗
0 ⟶ 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 = 0,
𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 = 0,
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 = 0
Annahme: 𝑎1 ≠ 0 (a1 oder a2 oder a3 ≠ 0)
𝑏1
𝑏1
𝑏2 = 𝑎2 𝜆 =
⟶ 𝑏2 = 𝜆𝑎2 , 𝑏1 = 𝜆𝑎1 , 𝑏3 = 𝜆𝑎3
𝑎1
𝑎1
𝑎1
𝑏1
𝜆𝑎1
𝑎
(𝑏2 ) = (𝜆𝑎2 ) = 𝜆 ( 2 )
𝑎3
𝑏3
𝜆𝑎3
vi)
|𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗| ist gleich dem Flächeninhalt des von 𝑎⃗ und 𝑏⃗⃗ aufgespannten Parallelogramms.
(Beweis aus Sinussatz)
 
a b

a

b
Bemerkung: 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ bilden ein Rechtssystem
𝑎 𝑏
Definition: |
| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐, wobei a, b, c, d ∈ ℝ, heißt zweiseitige Determinante
𝑐 𝑑
3 5
Beispiel: |
| = 3 ⋅ 1 − 5 ⋅ 2 = −7
2 1
Definition: dreiseitige Determinante
𝑎11
|𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎
𝑎23 | = 𝑎13 | 21
𝑎31
𝑎33
𝑎22
𝑎11
−
𝑎
|
|
23
𝑎32
𝑎31
𝑎12
𝑎11
+
𝑎
|
|
33
𝑎32
𝑎21
36
𝑎12
𝑎22 |
Es wird eine Zeile oder Spalte ausgewählt (in diesem Beispiel die dritte Spalte), dessen
Elemente mit ihrer jeweiligen Unterdeterminante multipliziert werden. Die Unterdeterminante
des jeweiligen Elementes wird gebildet, indem symbolisch die Zeile und Spalte, in denen sich
das Element befindet, gestrichen werden. Die verbliebenen Elemente bilden die
Unterdeterminante. Für das Element a13 wird z.B. die erste Zeile und die dritte Zeile
gestrichen, übrig bleiben die Elemente a21, a22, a31 und a32. Zusätzlich muss man noch die
Regel beachten, dass wenn die Summe aus Zeilen- und Spaltenindex ungerade ist, das
Produkt aus Element und Unterdeterminante mit Minus multipliziert werden müssen. Bei
gerader Summe aus Zeilen- und Spaltenindex ist dies nicht nötig. Deshalb ist dies bei a23 (2 +
3 = 5 = ungerade) nötig, bei a13 (1 + 3 = 4 = gerade) hingegen nicht. Abschließend wird alles
addiert.
Beispiel:
1 3 1
2 1
1 3
1 3
|2 1 0| = 1 ⋅ |
|−0⋅|
|+2⋅|
| = −1 − 10 = −11
3 1
3 1
2 1
3 1 2
𝑎1 𝑏1 𝑖⃗
1
0
0
⃗⃗
⃗⃗
𝑎
𝑏
𝑗
⃗
𝑎⃗ × 𝑏 = | 2
| , 𝑤𝑜𝑏𝑒𝑖 𝑖⃗ = (0) , 𝑗⃗ = (1) , 𝑘 = (0)
2
⃗⃗
0
0
1
𝑎3 𝑏3 𝑘
⃗⃗
= (𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 )𝑖⃗ − (𝑎1 𝑏3 − 𝑎3 𝑏1 )𝑗⃗ + (𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 )𝑘
𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2
= ( 𝑎1 𝑏3 − 𝑎3 𝑏1 )
𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1
Sarrussche Regel (nur für Determinanten 3. Ordnung)
Die oberen zwei Zeilen der Determinante werden unten nochmals wiederholt.
+
a1
a2
a3
a1
a2
b1 𝑖⃗
b2 𝑗⃗
b3 𝑘⃗⃗
b1 𝑖⃗
b2 𝑗⃗
+⟶ 𝑎1 𝑏2 𝑘⃗⃗ + 𝑎2 𝑏3 𝑖⃗ + 𝑎3 𝑏1 𝑗⃗
−⟶ −𝑎3 𝑏2 𝑖⃗ + 𝑎1 𝑏3 𝑗⃗ + 𝑎2 𝑏1 𝑘⃗⃗
Anwendungen in der Mathematik
Konstruktion von Vektoren, die senkrecht auf zwei gegebenen stehen:
𝑐⃗ = 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ , 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗
Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms.
Anwendungen in der Physik

F
A

r
P
starrer Körper
⃗⃗⃗ = 𝑟⃗ × 𝐹⃗ heißt Moment der Kraft 𝐹⃗ in P bezüglich A
𝑀
37
Kraft in einen elektrischen Leiter in einem magnetischen Feld

B
I

e
In geraden elektrischen Leitern fließe der Strom I. Befindet sich in einem Magnetfeld der
⃗⃗. Dann wirkt auf ein Leiterstück der Länge s die Kraft
konstanten magnetischen Feldstärke 𝐵
⃗⃗.
𝐹⃗ = 𝐼 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑒⃗ × 𝐵
Graßmannsche Entwicklungssatz
𝑎⃗ × (𝑏⃗⃗ × 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ⋅ 𝑐⃗) ⋅ 𝑏⃗⃗ − (𝑎⃗ ⋅ 𝑏⃗⃗) ⋅ 𝑐⃗
Jacobiidentität
(𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) × 𝑐⃗ + (𝑏⃗⃗ × 𝑐⃗) × 𝑎⃗ + (𝑐⃗ × 𝑎⃗) × 𝑏⃗⃗ = 0
2.1.3
Spatprodukt
in ℝ3
Definition: Der Ausdruck [𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗] = (𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗) ⋅ 𝑐⃗ heißt Spatprodukt. Ist eine reelle Zahl.
1
2
−2
Beispiel: 𝑎⃗ = (1), 𝑏⃗⃗ = (−1), 𝑐⃗ = ( 0 )
1
2
1
1 2
𝑖⃗
−2
3
−2
⃗⃗
⃗⃗
1
−1
𝑗
⃗
[𝑎⃗, 𝑏, 𝑐⃗] = (𝑎⃗ × 𝑏) ⋅ 𝑐⃗ = |
| ⋅ ( 0 ) = ( 0 ) ⋅ ( 0 ) = −9
1
−3
1
⃗⃗
1 2 𝑘
Eigenschaften:
𝑎1
𝑐1
𝑏1
i)
𝑎⃗ = (𝑎2 ), 𝑏⃗⃗ = (𝑏2 ), 𝑐⃗ = (𝑐2 )
𝑎3
𝑐3
𝑏3
𝑎1
⃗⃗
[𝑎⃗, 𝑏, 𝑐⃗] = |𝑎2
𝑎3
ii)
𝑏1
𝑏2
𝑏3
𝑐1
𝑐2 |
𝑐3
Der Betrag des Spatproduktes ist gleich dem Rauminhalt des von 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ aufgespannten
Spats.

c

b

a
𝑉 = |[𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗]|
38
Rechenregeln:
iii) [𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗] = [𝑏⃗⃗, 𝑐⃗, 𝑎⃗] = [𝑐⃗, 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗], nur diese Reihenfolgen, Variablen nicht beliebig
austauschbar
iv) [𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗] = −[𝑏⃗⃗, 𝑎⃗, 𝑐⃗] = −[𝑎⃗, 𝑐⃗, 𝑏⃗⃗] = −[𝑐⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑎⃗]
v) Sind zwei Faktoren gleich, verschwindet Spatprodukt [𝑎⃗, 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗] = 0
vi) gilt 𝛼𝑎⃗ + 𝛽𝑏⃗⃗ + 𝛾𝑐⃗ = 0 mit gewissen Zahlen 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ, dann gilt [𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗] = 0
Anwendungen
Berechnung des Volumens eines Prismas
1
𝑉𝑃 = |[𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗]|
2

c

b

a
Berechnung des Volumens eines Tetraeders
1
𝑉𝑇 = |[𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗]|
6
c

b

a
1
1
0
Beispiel: (0) , (1) ,
0
0
4
1
4
1
(2)
2.1.4
1 0
1|
⟶ 𝑉𝑇 = 6 |0 1
0 0
1
4
1|
4|
1
1
1
1
= 6 (0 + 0 + 2) = 12
2
Lineare Unabhängigkeit
Definition:
Es seien ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎1 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎2 … , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑘 k beliebige Vektoren des ℝ𝑛 . Eine der Form 𝜆1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎1 + 𝜆2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎2 + ⋯ + 𝜆𝑘 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑘
mit 𝜆𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1, … , 𝑘 heißt Linearkombination der Vektoren ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎1 … , ⃗⃗⃗⃗⃗.
𝑎𝑘 Die Vektoren
𝑎1 … , ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎𝑘 heißen linear abhängig, wenn mindestens einer der Vektoren als Linearkombination
der anderen dargestellt werden kann. Andernfalls heißen sie linear unabhängig.
Zwei Vektoren 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ sind linear abhängig, wenn 𝑎⃗ = 𝜆𝑏⃗⃗ oder 𝑏⃗⃗ = 𝜇𝑎⃗.
𝑎⃗ und 𝑏⃗⃗ sind linear unabhängig, genau dann, wenn sie nicht parallel sind.
In ℝ3 sind drei Vektoren linear abhängig, wenn 𝑎⃗ = 𝜆𝑏⃗⃗ + 𝜇𝑐⃗ oder 𝑏⃗⃗ = 𝛾𝑎⃗ + 𝛿𝑐⃗ oder 𝑐⃗ =
𝜃𝑎⃗ + 𝜀𝑏⃗⃗. Die drei Vektoren heißen dann komplanar. Sie liegen in einer Ebene.
3 Vektoren 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ , 𝑐⃗ ∈ ℝ3 sind genau dann linear unabhängig, wenn sie nicht in einer Ebene
liegen. Das ist gleichbedeutend mit [𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗] ≠ 0 (Spatprodukt).
39
Bemerkung: 𝑛 + 1 Vektoren sind im ℝ𝑛 stets linear abhängig.
𝑛
Satz: Die Vektoren ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎1 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑎2 … , 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
sind genau dann linear unabhängig, wenn die
𝑚 ∈ℝ
⃗
⃗
Gleichung 𝜆1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎1 + 𝜆2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚 = 0 nur durch 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑚 = 0 erfüllt werden
kann. Sie sind linear abhängig, wenn mindestens ein 𝜆𝑖 ungleich Null gewählt werden kann.
Beweis:
a) Das System sei linear abhängig. Für ein i gilt:
𝑎𝑖 = 𝜆1 ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎1 + ⋯ + 𝜆𝑖−1 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑚
𝑖−1 + 𝜆𝑖+1 𝑎
𝑖+1 + ⋯ + 𝜆𝑚 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
0 = 𝜆1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎1 + ⋯ + 𝜆𝑖−1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑖−1
−1
𝑎𝑖
+ 𝜆𝑖+1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑖+1 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⏟ ⋅ ⃗⃗⃗⃗
𝑚
dieser Koeffizient ist ≠0
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗𝑖 = 𝜆1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎
𝑎1 + 𝜆2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎 2 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚 = 0 für gewisse 𝜆𝑖 , wobei ein 𝜆𝑖 ≠ 0 ⟶
−𝜆𝑖 ⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑖 = 𝜆1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎1 + ⋯ + 𝜆𝑖−1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑖−1 + 𝜆𝑖+1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑎𝑖+1 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚
𝜆1
𝜆𝑚
𝑎𝑖 = − ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑎 − ⋯−
𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝜆𝑖 1
𝜆𝑖 𝑚
⟶ 𝑎⃗ lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.
b)
Geraden im Raum ℝ𝟐
2.1.5
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛
a)
Parameterform einer Geraden
y

S 
r
G
r0
x
𝑥0
𝑥
𝑆𝑥
Stützvektor ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 = (𝑦 ), variabler Punkt auf Gerade 𝑟⃗ = (𝑦), Richtungsvektor 𝑆⃗ = (𝑆 )
0
𝑦
𝑥
𝑥0
𝑆𝑥
⟶ (𝑦) = (𝑦 ) + 𝜆 (𝑆 )
0
b)
𝑦
Parameterfreie Form einer Geraden
y

r

n
 
r  n
φ
G
x
𝑛⃗⃗ = Normalenvektor mit Betrag = 1
𝜑 = Abstand, senkrecht auf Gerade G
𝑟⃗ − 𝜑𝑛⃗⃗ ⊥ 𝑛⃗⃗ |⋅ 𝑛⃗⃗
40
𝑟⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗ − 𝜑𝑛⃗⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗ = 0 𝑛⃗⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗ = (𝑛⃗⃗)2 = 1
𝑟⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗ = 𝜑 Hessesche Normalform einer Geraden
𝑛𝑥
𝑥
𝑟⃗ = (𝑦) 𝑛⃗⃗ = (𝑛 ) ⟶ 𝑥𝑛𝑥 + 𝑦𝑛𝑦 = 𝜑
𝑦
Bemerkung: Wegen |𝑛⃗⃗| = 1 gilt 𝑛𝑥2 + 𝑛𝑦2 = 1
Negatives φ ist zugelassen, da man nicht entscheiden kann, ob 𝑛⃗⃗ oder −𝑛⃗⃗ besser ist.
Beispiel: gegeben sei die Gerade 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, wobei 𝑎2 + 𝑏 2 ≠ 0. Wir normieren die
Gleichung, indem wir durch √𝑎2 + 𝑏 2 dividieren:
𝑎
𝑏
𝑐
𝑥+
𝑦=
√𝑎2 + 𝑏 2
√𝑎2 + 𝑏 2
√𝑎2 + 𝑏 2
𝑎
Ist der Vektor (
𝑎
⟶ 𝑛⃗⃗ =
√𝑎2 +𝑏2
𝑏
𝑎2
𝑏2
𝑎2 +𝑏2
) ein Einheitsvektor? Ja: 𝑎2 +𝑏2 + 𝑎2 +𝑏2 = 𝑎2 +𝑏2 = 1
√𝑎2 +𝑏2
√𝑎2 + 𝑏 2
𝑏
(√𝑎2 + 𝑏 2 )
Berechnung eines Normalenvektors aus einem Richtungsvektor
𝑥
𝑥
−𝑦
−𝑦
𝑣⃗ = (𝑦) 𝑣⃗ 𝑅 = ( ) 𝑣⃗ ⊥ 𝑣⃗ 𝑅 𝑣⃗ ⋅ 𝑣⃗ 𝑅 = (𝑦) ⋅ ( ) = −𝑦𝑥 + 𝑦𝑥 = 0
𝑥
𝑥
Definition:
𝑅
𝑅
⃗𝑣⃗ heißt rechtwinkliges Komplement zu 𝑣
⃗⃗. 𝑣
⃗⃗ geht aus 𝑣
⃗⃗ durch Drehung im mathematisch
positiven Sinn (gegen Uhrzeigersinn) hervor.
−4
3
Beispiel: Zu bestimmen ist der Abstand der Geraden 𝑟⃗ = ( ) + 𝜆 ( ) von Nullpunkt.
5
1
Überführung der Parameterdarstellung in die Hessesche Normalform:
−5
−5
( )
( )
−4
3
−4
𝑟0 = ( ) 𝑆⃗ = ( ) 𝑛⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗
= −4
5
1
√25 + 16
√41
1 −5
1
19
19
3
(−15 − 4) = −
( )⋅( )=
= 𝜑 ⟶ |𝜑| =
= Abstand vom Ursprung
1
√41 −4
√41
√41
√41
2.1.6
Geraden und Ebenen im ℝ𝟑
Parameterform der Geraden
𝑥0
𝑆𝑥
𝑥
⃗
𝑦
𝑆
Stützvektor ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 = ( 0 ), variabler Punkt auf Gerade 𝑟⃗ = (𝑦), Richtungsvektor 𝑆 = ( 𝑦 )
𝑧0
𝑧
𝑆𝑧
𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆𝑆⃗ 𝜆 ∈ ℝ
41
Lot fällt von einem Punkt auf eine Gerade im ℝ3

S
r*  r1
r*
r0
0
𝑟⃗⃗⃗∗ − ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 ⊥ 𝑆⃗
𝑟∗ = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆1 𝑆⃗ für gewisse 𝜆1 ∈ ℝ
r1
P
⃗⃗ = 0
⃗⃗⃗⃗∗ − ⃗⃗⃗⃗⃗)
(𝑟
𝑟1 ⋅ 𝑆
⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗)
⃗⃗ = 0
⃗⃗⃗⃗⃗0 + 𝜆1 𝑆
(𝑟
𝑟1 ⋅ 𝑆
(⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟0 − ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑟1 ⋅ ⃗𝑆⃗ + 𝜆1 ⃗𝑆⃗ ⋅ ⃗𝑆⃗ = 0
⃗⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗⃗)
(𝑟
𝑟0 ⋅ ⃗𝑆⃗
𝜆1 =
2
⃗⃗|
|𝑆
𝑟∗ = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆1 𝑆⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 +
(𝑟⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗)
𝑟0 ⋅ 𝑆⃗
2
|𝑆⃗|
⋅ 𝑆⃗
Abstand von ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 zur Geraden: |𝑟⃗⃗⃗∗ − ⃗⃗⃗⃗|
𝑟1
Abstand zweier Geraden im Raum ℝ𝟑
a)
Geraden sind parallel
𝐺1 : 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆𝑆⃗
𝐺2 : 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 + 𝜇𝑆⃗
Wir fällen das Lot von ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 auf 𝐺1
b)
wenn sie sich nicht schneiden (und nicht parallel sind), heißen sie windschief
S1

c
G1
r1
z
0
G2
y
r2
⃗⃗⃗⃗1
𝐺1 : 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 + 𝜆𝑆
⃗⃗⃗⃗2
𝐺2 : 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟2 + 𝜇𝑆
x
S2
Lot steht senkrecht auf ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆1 , ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆2
⃗⃗⃗⃗1 × 𝑆
⃗⃗⃗⃗2
𝑐⃗ = 𝑆
ist Richtungsvektor von G.
⃗⃗⃗⃗1 ) − (𝑟⃗⃗⃗⃗2 + 𝜇𝑆
⃗⃗⃗⃗2 ) = 𝜈 ⋅ 𝑐⃗ (3 dimensional = 3 Gleichungen für drei Unbekannte λ, μ, ν
(𝑟⃗⃗⃗⃗1 + 𝜆𝑆
1
Beispiel: Lot eines Punktes 𝑃 = (1) auf die Gerade G
1
42
2
𝑟⃗ = 𝜆 (1) ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 = ⃗⃗
0
0
⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗−
𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑟 ⋅𝑆
Fußpunkt des Lotes: ⃗⃗⃗⃗
𝑟∗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆1 ⃗𝑆⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟0 + 1 20 ⋅ ⃗𝑆⃗
⃗⃗|
|𝑆
2
1
(1) ⋅ (1)
2
2
0 ⋅ (1) = 3 ⋅ (1)
⃗⃗⃗⃗
𝑟∗ = ⃗0⃗ + 12
5
2 + 12
0
0
6
2
1
1
1
5
3
1
1
1
Abstand: |⃗⃗⃗⃗
𝑟∗ − ⃗⃗⃗⃗⃗|
𝑟1 = |5 (1) − (1)| = |( 3 ) − (1)| = 5 |(−2)| = 5 √1 + 4 + 25 = 5 √30
5
0
1
1
−5
0
Beispiel: Abstand von zwei Geraden
−1
2
𝐺1 : 𝑟⃗ = (0) + 𝜆 ( 5 )
0
1
8
8
𝐺2 : 𝑟⃗ = (7) + 𝜇 (−2) ⟶ Kreuzprodukt
1
1
−1 8 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑦 | = 5𝑒⃗⃗⃗⃗⃗𝑥 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆1 × 𝑆2 = | 5 −2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑦 − 38𝑒
⃗⃗⃗⃗𝑧
0
1 ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑧
−1
8
5
2
8
(0) + 𝜆 ( 5 ) − (7) − 𝜇 (−2) = 𝜈 ( 1 )
0
1
−38
1
1
−1
8
6
5
𝜆 ( 5 ) − 𝜇 (−2) − 𝜈 ( 1 ) = (7)
0
1
0
−38
1)
2)
3)
−𝜆 − 8𝜇 − 5𝜈 = 6
−37
5𝜆 + 2𝜇 − 𝜈 = 7} umformen 𝜈 =
1470
−𝜇 + 38𝜈 = 0
37
𝑑 = |𝜈 ⋅ 𝑐⃗| =
√1470
Definition: Ebene
Es seien ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟0 , 𝑎⃗ und 𝑏⃗⃗ Vektoren des ℝ3 , wobei 𝑎⃗ und 𝑏⃗⃗ nicht kollinear sind. Dann beschreibt
𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆𝑎⃗ + 𝜇𝑏⃗⃗ 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ eine Ebene im ℝ3 .
Ebene wird durch Richtungsvektoren 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ und den Ortsvektor ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟0 aufgespannt.
Gegeben sind 3 Punkte durch ihre Ortsvektoren ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑟0 ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑟1 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟2 . Dann sind 𝑎⃗ = ⃗⃗𝑟⃗1⃗ − ⃗⃗𝑟⃗0⃗ und 𝑏⃗⃗ =
𝑟2 − ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑟0 Richtungsvektoren.
Hessesche Normalform der Ebene
𝑟⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗ = 𝜑 Abstand der Ebene vom Nullpunkt
43
⃗𝑛⃗ = Einheitsnormalenvektor zur Ebene: 𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 ⊥ 𝑛⃗⃗ ⟶ (𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗)
𝑟0 ⋅ 𝑛⃗⃗ = 0 mit ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 als Lot von 0
auf die Ebene (𝑟⃗ − 𝜑 ⋅ 𝑛⃗⃗) ⋅ 𝑛⃗⃗ = 0 ⟶ 𝑟⃗ ⋅ 𝑛⃗⃗ − 𝜑|𝑛⃗⃗|2 = 0
0

n

r
φ
𝑛𝑥
𝑥
gegeben sei 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 𝑑 𝑟⃗ = (𝑦) 𝑛⃗⃗ = (𝑛𝑦 )
𝑛𝑧
𝑧
2
2
2
𝑥𝑛𝑥 + 𝑦𝑛𝑦 + 𝑧𝑛𝑧 = 𝜑 wobei √𝑛𝑥 + 𝑛𝑦 + 𝑛𝑧 = 1
𝑎
𝑏
𝑧
𝑑
𝑥+
𝑦+
𝑧=
⏟
⏟
⏟
⏟
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
√𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2
𝑛𝑥
𝑛𝑦
𝑛𝑧
Lot auf eine Ebene
𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆𝑎⃗ + 𝜇𝑏⃗⃗ Lot von ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 aus
r1
r*
0
Lot hat Richtung 𝑐⃗ = 𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗
𝑟∗ zeigt zum Fußpunkt des Lotes
⃗⃗⃗
𝑟1 − ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑟∗ = 𝜈𝑐⃗ für gewisse 𝜈 ∈ ℝ
𝑟1 − ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
𝑟0 − 𝜆𝑎⃗ − 𝜇𝑏⃗⃗ = 𝜈𝑐⃗
𝜆𝑎⃗ + 𝜇𝑏⃗⃗ + 𝜈𝑐⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟1 − ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 Das ist ein Gleichungssystem
𝑟∗ = ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆𝑎⃗ + 𝜇𝑏⃗⃗ ist dann bekannt
𝑑 = |𝑟⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗|
𝑟∗ ist dann berechnet
Lot auf Ebene in Hessesche Normalform

n
r1
0
𝑟⃗⃗⃗⃗1 + 𝜈𝑛⃗⃗ liegt in Ebene E
[𝑟⃗ − (𝑟⃗⃗⃗⃗1 + 𝜈𝑛⃗⃗)] ⋅ 𝑛⃗⃗ = 0
𝑟⃗𝑛⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗𝑛
𝑟1 ⃗⃗ + 𝜈|𝑛⃗⃗|2 = 0
44
𝜑
𝜑 − ⃗⃗⃗⃗𝑛
𝑟1 ⃗⃗ + 𝜈 = 0
𝜈 = 𝜑 − ⃗⃗⃗⃗𝑛
𝑟1 ⃗⃗
|𝜈| = |𝜑 − ⃗⃗⃗⃗𝑛
𝑟1 ⃗⃗|
Schnittgerade zweier Ebenen
𝐸1 :
𝐸2 :
𝑟⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛1 = 𝜑1
} ⃗⃗⃗⃗⃗,
𝑛 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛 sind nicht parallel
𝑟⃗ ⋅ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑛2 = 𝜑2 1 2
Richtungsvektor der Schnittgeraden ist 𝑆⃗ = 𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗1 × 𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗2
Ortsvektor ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 der Schnittgeraden ist eine spezielle Lösung des Gleichungssystems:
𝑛1𝑥 𝑥 + 𝑛1𝑦 𝑦 + 𝑛1𝑧 𝑧 = 𝜑1
𝑛2𝑥 𝑥 + 𝑛2𝑦 𝑦 + 𝑛2𝑧 𝑧 = 𝜑2
1. Versuch: 𝑧 = 0 ⟶ dann x, y ausrechnen, falls es nicht klappt
2. Versuch: 𝑥 = 0 ⟶ dann y, z ausrechnen, falls es nicht klappt
3. Versuch: 𝑦 = 0 ⟶ dann x, z ausrechnen
Normalvektor aus Parameterform
𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 + 𝜆𝑎⃗ + 𝜇𝑏⃗⃗
𝑛⃗⃗ =
𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗
|𝑎⃗ × 𝑏⃗⃗|
𝜑 = ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 ⋅ 𝑛⃗⃗ mit ⃗⃗⃗⃗
𝑟0 als beliebigen Punkt der Ebene (z.B. Ortsvektor)
Schnittpunkt Ebene mit Gerade
Geradengleichung in Ebenengleichung einsetzen, Parameter berechnen, Erhalten des
Schnittpunktes.
2.2
Matrizen
2.2.1
Definition und elementare Rechenoperationen
𝑎11 𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
} a’s und b’s gegeben
⋮
𝑎𝑛1 𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Definition:
Unter einer Matrix A vom Format (m, n) oder 𝑚 × 𝑛 (kein Vektorprodukt) verstehen wir 𝐴 =
𝑎11 𝑎12 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛
( ⋮
⋮
⋱
⋮ ) mit m Zeilen und n Spalten. 𝑎𝑖𝑗 heißt Element der Matrix A.
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
45
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑖=1,…,𝑚 = (𝑎𝑖𝑗 )
𝑗=1,…,𝑛
2 1
Beispiel: 𝐴 = (
0 −1
𝑚,𝑛
= (𝑎𝑖𝑗 )
𝑚×𝑛
3
) ⟶ 2 × 3 Matrix
2
Definition:
Eine 𝑛 × 𝑛 Matrix heißt quadratisch. Sie hat eine Hauptdiagonale. Eine Matrix die nur aus
𝑎𝑖𝑗 = 0 besteht, heißt Nullmatrix.
Definition: Kroneckersymbol 𝛿𝑖𝑗 = {
𝐴 = (𝛿𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
1
0
= 0
⋮
0
(
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 𝛿𝑖𝑗 )𝑛×𝑛
0
1
0
⋮
0
𝑎11
0
=(
⋮
0
0
0
1
⋮
0
⋯
⋯
⋯
⋱
⋯
0
𝑎22
⋮
0
0 𝑖≠𝑗
1 𝑖=𝑗
0
0
0 heißt Einheitsmatrix, Bezeichnung: I oder E
⋮
1)
⋯ 0
⋯ 0
) Diagonalmatrix
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑛𝑛
Zwei 𝑚 × 𝑛-Matrizen 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 und 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 heißen gleich, wenn 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ∀𝑖, 𝑗.
Elementare Rechenoperationen
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )
𝑚×𝑛
und 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )
𝑚×𝑛
𝐴 ± 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑖𝑗 )
𝑚×𝑛
𝜆𝐴 = (𝜆𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛
Definition:
Sei 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 dann heißt 𝐴𝑇 = (𝑎̃𝑖𝑗 )𝑚×𝑛 mit 𝑎̃𝑖𝑗 ≔ 𝑎𝑗𝑖
1 2
Beispiel: 𝐴 = (
0 1
die zu A transponierte Matrix.
1 0
3
) ⟶ 𝐴𝑇 = (2 1)
2
3 2
Es gilt:
(𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴
(𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵 𝑇
(𝜆𝐴)𝑇 = 𝜆𝐴𝑇
Eine Matrix vom Typ (1, n) heißt Zeilenvektor, eine Matrix vom Typ (m, 1) heißt
Spaltenvektor.
1
Beispiel: (1, 2, 3) Zeilenvektor, ( ) Spaltenvektor
2
46
Vereinbarung:
𝑎1
Spaltenvektorschreibweise 𝑎 = ( ⋮ ), Zeilenvektorschreibweise 𝑎̂ = (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 )
𝑎𝑛
Multiplikation von Matrizen
Definition:
Es seien 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑚,𝑝 und 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )𝑝,𝑛 Matrizen vom Typ (m, p) und (p, n). Dann ist das
Produkt 𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )𝑚,𝑛 definiert durch 𝑐𝑖𝑗 = ∑𝑝𝑙=1 𝑎𝑖𝑙 ⋅ 𝑏𝑙𝑗
. Zeilenanzahl der einen
Matrix und Spaltenanzahl der anderen (beide = p) müssen übereinstimmen, sonst ist
Multiplikation nicht möglich.
1 3
Beispiel: 𝐴 = (
2 4
6
0
) 𝐵 = (5
9
7
6 5 7
A B  1 3 0

 
2
4
9


 6 1 


 5 10 


7 8 


−1
10 )
8
Raketenmethode: eine Spalte der rechten Matrix steigt wie eine Rakete hoch und klappt dann
auf die Zeile der linken Matrix um, mit der die Spalte multipliziert werden soll. Anschließend
werden die Elemente wie beim Skalarprodukt paarweise multipliziert und die Produkte
addiert. Dies wird so lange wiederholt, bis alle möglichen Kombinationen aus einer Zeile der
linken mit einer Spalte der rechten Matrix ausgerechnet wurden.
=(
6 ⋅ 1 + 5 ⋅ 3 + 7 ⋅ 0 −1 ⋅ 1 + 10 ⋅ 3 + 8 ⋅ 0
21
)=(
95
6 ⋅ 2 + 5 ⋅ 4 + 7 ⋅ 9 −1 ⋅ 2 + 10 ⋅ 4 + 8 ⋅ 9
Falksches Schema
6
-1
5 10
7
8
1 3 0 21 29
𝐴⋅𝐵 =
2 4 9 95 110
Die kreuzenden Bahnen werden multipliziert.
47
29
)
110
Rechenregeln
i)
ii)
iii)
iv)
𝜆(𝐴 ⋅ 𝐵) = (𝜆𝐴) ⋅ 𝐵 = 𝐴 ⋅ (𝜆𝐵)
} Assoziativgesetze
𝐴 ⋅ (𝐵 ⋅ 𝐶) = (𝐴 ⋅ 𝐵) ⋅ 𝐶
𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
} Distributivgesetze
(𝐵 + 𝐶)𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴
(𝐴𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 𝐵 𝑇
𝐴 ⋅ 0 = 0 𝐴 ⋅ 𝐸 = 𝐴 = 𝐸 ⋅ 𝐴 mit E als Einheitsmatrix
Beweis iii)
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) 𝐵 = (𝑏𝑘𝑙 )
𝐴𝑇 = (𝑎𝑗𝑖 ) = (𝑎̃𝑖𝑗 ) 𝑎̃𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖
𝐵 𝑇 = (𝑏𝑙𝑘 ) = (𝑏̃𝑘𝑙 ) 𝑏̃𝑘𝑙 = 𝑏𝑙𝑘
𝐵 𝑇 𝐴𝑇 = ∑ 𝑏̃𝑘𝑙 ⋅ 𝑎̃𝑙𝑗 = (𝑐̃𝑘𝑗 )
𝑙
𝐴𝐵 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑙 = (𝑑𝑖𝑙 )
𝑗
(𝐴𝐵)𝑇
= (𝑑̃𝑖𝑙 ) wobei 𝑑̃𝑖𝑙 = 𝑑𝑙𝑖
𝑑̃𝑖𝑙 = 𝑑𝑙𝑖 = ∑ 𝑎𝑙𝑗 ⋅ 𝑏𝑗𝑖
𝑗
𝑐̃𝑖𝑙 = ∑ 𝑏̃𝑙𝑞 ⋅ 𝑎̃𝑞𝑖 = ∑ 𝑏𝑞𝑖 ⋅ 𝑎𝑙𝑞
𝑞
𝑞
Rechenregeln
Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ
1
1
1 2 3
1 2 3
(
) (5) geht, (5) (
) geht nicht
3 1 0
3 1 0
6
6
1 0
𝐴=(
)
1 0
1
𝐴⋅𝐵 =(
1
1 1
𝐵=(
)
0 0
2
1
)≠𝐵⋅𝐴=(
0
1
0
)
0
Produkte mit Vektoren
a)
A sei vom Typ (m, n) 𝑥 ∈ ℝ𝑛
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑥1
𝑎11 𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛
𝑏1
⋱
⋮ )⋅( ⋮ )=(
⋮
𝐴𝑥 = ( ⋮
)=( ⋮ )
𝑎𝑚1 ⋯ 𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛
𝑎𝑚1 𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛
𝑏𝑚
𝐴𝑥 = 𝑏
b)
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ𝑛 𝑥 𝑇 ist ein Zeilenvektor
𝑛
𝑦1
𝑇
𝑥 ⋅ 𝑦 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) ( ⋮ ) = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝑥 ⋅ 𝑦 Skalarprodukt
𝑦𝑛
𝑖=1
48
𝑥1
𝑥1 𝑦1
𝑥 ⋅ 𝑦 = ( ⋮ ) (𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ) = ( ⋮
𝑥𝑛
𝑥𝑛 𝑦1
𝑇
⋯
⋱
⋯
𝑥1 𝑦𝑛
⋮ )
𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑛×𝑛
Mehrfache Produkte
Zwei Matrizen 𝐴: (𝑚, 𝑙), 𝐵: (𝑙, 𝑛), 𝑥 ∈ ℝ𝑛
𝐴 (𝐵𝑥)
= (𝐴 ∘ 𝐵)𝑥
⏟
⏟ ∈ℝ𝑙
∈ℝ𝑚
B ist Abbildung von ℝ𝑛 ⟶ ℝ𝑙 , A ist Abbildung von ℝ𝑙 ⟶ ℝ𝑚 , 𝐴 ∘ 𝐵 ist Abbildung von
ℝ𝑙 ⟶ ℝ𝑚 (? oder ℝ𝑛 ⟶ ℝ𝑚 ?). Es gilt 𝐴 ∘ 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐵
2.2.2
Determinanten
nur für quadratische 𝐴 = 𝑎𝑛,𝑛
𝑎11 𝑎12
|𝑎
| = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
21 𝑎22
𝑎11
𝑎
| 21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝑎13
𝑎23 | = 𝑎11 (𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32 ) − 𝑎12 (𝑎21 𝑎33 − 𝑎23 𝑎31 ) + 𝑎13 (𝑎21 𝑎32 − 𝑎22 𝑎31 )
𝑎33
Die zweiten Indizes durchlaufen alle möglichen Umordnungen der Zahlen 1 und 2 bzw. 1, 2
und 3, d.h. alle Permutationen.
Definition:
Es sei (p1, …, pn) eine Permutation von (1, …, n). Gibt es ein 𝑖 ≤ 𝑗, so dass 𝑝𝑖 > 𝑝𝑗 , so liegt
eine Inversion vor. Eine Permutation heißt gerade (oder ungerade), wenn die Anzahl der
Inversionen gerade (oder ungerade) ist.
Beispiel:
(3, 2, 1) = 3 vor 2, 2 vor 1, 3 vor 1 → ungerade Permutation
(3, 1, 2) = 3 vor 1, 3 vor 2 → gerade Permutation
Das Minuszeichen steht vor ungeraden Permutationen
Definition: sgn(𝑝1 , … , 𝑝𝑛 ) = {
1
wenn (𝑝1 , … , 𝑝𝑛 ) gerade
−1 wenn (𝑝1 , … , 𝑝𝑛 ) ungerade
Definition:
Sei 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛×𝑛 eine quadratische Matrix. Als Determinante von A bezeichnet man den
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
⋱
⋮ | = ∑ sgn(𝑝1 , … , 𝑝𝑛 ) ⋅ 𝑎1𝑝1 … 𝑎𝑛𝑝𝑛 mit (𝑝1 , … , 𝑝𝑛 ) ∈ 𝑝𝑛
Ausdruck det 𝐴 = | ⋮
𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛
alle möglichen Permutationen.
Satz: Für 𝐝𝐞𝐭 𝑨 gelten folgende Rechenregeln
49
𝑎𝑖1
Sei 𝐴 = (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ) mit 𝑎𝑖 = ( ⋮ ) als Spaltenvektor
𝑎𝑖𝑛
1 0 ⋯ 0
0 1 ⋯ 0
i)
det 𝐸 = 1 mit Einheitsmatrix 𝐸 = (
)
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
0 0 ⋯ 1
ii) det (𝑎1 , … , 𝜆𝑎𝑖 , … , 𝑎𝑛 ) = 𝜆 det (𝑎1 , … , 𝑎𝑖 , … , 𝑎𝑛 ) eine Spalte wird mit λ multipliziert
iii)
iv)
v)
vi)
det (𝑎1 , … , 𝑎𝑖 , … , 𝑎𝑘 , … , 𝑎𝑛 ) = − det (𝑎1 , … , 𝑎𝑘 , … , 𝑎𝑖 , … , 𝑎𝑛 )
Austausch
zweier
Spalten bewirkt Minuszeichen
det (𝑎1 , … , 𝑎𝑖 + 𝑏, … , 𝑎𝑛 ) = det 𝐴 + det (𝑎1 , … , 𝑏, … , 𝑎𝑛 ), b steht in i-te Spalte
det 𝐴 = det 𝐴𝑇 , beim Transponieren werden Zeilen mit Spalten vertauscht → Gesetze
gelten auch für Zeilen
det (𝑎1 , … , 0, … , 𝑎𝑛 ) = 0
vii) det (𝑎1 , … , 𝑎, … , 𝑎, … , 𝑎𝑛 ) = 0, bei zwei gleichen Spalten (Zeilen) ist Determinante
gleich 0
viii) det 𝐴 = det (𝑎1 , … , 𝑎𝑘 + 𝜆𝑎𝑖 , … , 𝑎𝑛 ) 𝑖 ≠ 𝑘, der Wert der Determinante ändert sich
nicht, wenn man das λ-fache (𝜆 ∈ ℝ) einer Spalte zu einer anderen addiert
1 2+2⋅1
1 2
Beispiel: (
) = −2 (
) = −2
3 4+2⋅3
3 4
Berechnung von Determinanten
Rekursive Methode über den Laplaceschen Entwicklungssatz
Definition:
Die durch Streichung der i-ten Zeile und j-ten Spalte in det 𝐴 entstehende Determinante Dij
wird als die zu aij gehörige Unterdeterminante bezeichnet.
𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝐷𝑖𝑗
1
3
Beispiel: |
6
2
−2 9 −3
1 9
4
1
3
3+2
| 𝑎32 = 8 𝐴32 = (−1)
|3 1
8 −2 1
2 3
1
3 10
−3
3|
10
Satz: Laplacescher Entwicklungssatz
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛,𝑛
Vorzeichen, z.B. 4x4 Matrix: (−1)Zeile+Spalte
+
−
=|
+
−
−
+
−
+
+
−
+
−
−
+
|
−
+
Für jedes 𝑗 ∈ {1, … , 𝑛} gilt:
(nach Spalten) det 𝐴 = 𝑎1𝑗 (−1)1+𝑗 𝐷1𝑗 + 𝑎2𝑗 (−1)2+𝑗 𝐷2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 (−1)𝑛+𝑗 𝐷𝑛𝑗
(nach Zeilen) det 𝐴 = 𝑎𝑖1 (−1)𝑖+1 𝐷𝑖1 + 𝑎𝑖2 (−1)𝑖+2 𝐷𝑖2 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 (−1)𝑖+𝑛 𝐷𝑖𝑛
50
Beispiel:
1
1
|
0
1
0
1
0
1
2
2
0
0
1
2
| = 0 ⋅ (−1)1+3 ⋅ 𝐷31 + 0 ⋅ (−1)2+3 ⋅ 𝐷32 + 0 ⋅ (−1)3+3 ⋅ 𝐷33 + 3 ⋅ (−1)4+3 ⋅ 𝐷34
3
4
= −3 ⋅ 𝐷34
1 0
= −3 ⋅ |1 1
1 1
2
2| = −3 ⋅ (1 ⋅ (−2) + 0 + 1 ⋅ 0) = 6
0
Beispiel:
1 0 0 1 1
⟶ 0 1 1 0 1
|1 2 1 1 1| = 0, Zeile 2 und 5 sind identisch, somit ist Determinante gleich 0
|
|
1 4 1 0 1
⟶ 0 1 1 0 1
1 1 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
2 1 1 1
1 2 1 1
1 2 1 1
=1⋅|
|−1⋅|
|+1⋅|
|
4 1 0 1
1 4 1 1
1 4 1 0
1 1 0 1
0 1 1 1
0 1 1 0
möglichst Spalte/Zeile mit vielen Nullen für leichtere Berechnung wählen
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 1 1
= −1 ⋅ |4 1 1| + 1 ⋅ |4 1 1| − 1 ⋅ |2 1 1| + 1 ⋅ |1 4 1| = 0
1 1 1
1 1 1
1 1 1
0 1 1
2.2.3
Die Cramersche Regel
gegeben: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )𝑛,𝑛
𝑏1
𝑏=( ⋮)
𝑏𝑛
𝑥1
gesucht: 𝑥 = ( ⋮ )
𝑥𝑛
𝐴𝑥 = 𝑏
𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝐷𝑖𝑗
det 𝐴 = 𝑎1𝑘 𝐴1𝑘 + 𝑎2𝑘 𝐴2𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑘 𝐴𝑛𝑘 (für k-te Spalte)
Ersetzen wir die k-te Spalte durch eine andere, 𝑟 − 𝑘, so entsteht eine Determinante mit zwei
gleichen Spalten, also 𝑎1𝑟 𝐴1𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑟 𝐴𝑛𝑘 = 0.
Die 𝐴𝑗𝑘 ändert sich nicht. Nun Multiplikation der oberen Zeile mit xk und der unteren mit xr.
𝑥𝑘 det 𝐴 = (𝑎1𝑘 𝐴1𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑘 𝐴𝑛𝑘 ) ⋅ 𝑥𝑘
→ Addieren
0 = (𝑎1𝑟 𝐴1𝑘 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑟 𝐴𝑛𝑘 ) ⋅ 𝑥𝑟
𝑥𝑘 det 𝐴 = 𝐴1𝑘 (𝑎1𝑘 𝑥𝑘 + ∑ 𝑎1𝑟 𝑥𝑟 ) + ⋯ + 𝐴𝑛𝑘 (𝑎𝑛𝑘 𝑥𝑘 + ∑ 𝑎𝑛𝑟 𝑥𝑟 )
𝑟≠𝑘
𝑟≠𝑘
𝑥𝑘 det 𝐴 = 𝐴1𝑘 𝑏1 + ⋯ + 𝐴𝑛𝑘 𝑏𝑛 wegen 𝐴𝑥 = 𝑏
𝐴1𝑘 𝑏1 + ⋯ + 𝐴𝑛𝑘 𝑏𝑛
𝑥𝑘 =
wenn det 𝐴 ≠ 0
det 𝐴
Folgerung:
Hat 𝐴𝑥 = 𝑏 eine Lösung, so ist xk durch die obige Formel gegeben, wenn det 𝐴 ≠ 0.
Umgekehrt liefert die obige Beziehung eine Lösung 𝑥 von 𝐴𝑥 = 𝑏 falls det 𝐴 ≠ 0.
51
𝐴1𝑘 𝑏1 + ⋯ + 𝐴𝑛𝑘 𝑏𝑛 ist gerade die Determinante, welche entsteht, wenn man in A die k-te
𝑏1
Spalte durch ( ⋮ ) ersetzt.
𝑏𝑛
Satz: Das Gleichungssystem 𝐴𝑥 = 𝑏 mit einer Matrix A, welche det 𝐴 ≠ 0 erfüllt, hat genau
eine Lösung 𝑥.
𝑥𝑘 =
𝑎1,1
|⋯
𝑎𝑛,1
⋯ 𝑎1,𝑘−1
⋱
⋮
⋯ 𝑎𝑛,𝑘−1
𝑏1
⋮
𝑏𝑛
𝑎1,𝑘+1
⋮
𝑎𝑛,𝑘+1
⋯
⋱
⋯
𝑎1,𝑛
⋮ |
𝑎𝑛,𝑛
det 𝐴
2 −1 −1
0
Beispiel: 𝐴 = (−3 12 −2) 𝑏 = ( 7 )
5
4 −6
−5
12 −2
−3 −2
−3 12
det 𝐴 = 2 ⋅ |
|+|
|−|
| = −28
4 −6
5 −6
5
4
für gesuchte Variable den Vektor 𝑏 in die jeweilige Spalte von A einsetzen
0 −1 −1
1
𝑥1 =
| 7 12 −2| = 5
det 𝐴
−5 4 −6
2
0 −1
1
𝑥2 =
|−3 7 −2| = 3
det 𝐴
5 −5 −6
2 −1 0
1
𝑥3 =
|−3 12 7 | = 7
det 𝐴
5
4 −5
5
𝑥 = (3)
7
2.2.4
Lineare Unterräume, Basis, Dimension
Vektoren im Raum ℝ𝑛
Je (n + 1) Vektoren im ℝ𝑛 sind linear abhängig.
Begründung: Die Vektoren seien 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛+1 .
Wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem mit n Gleichungen für n + 1
Unbekannte.
𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛+1 𝑥𝑛+1 = 0
𝐴𝑥 = 0, Matrix A vom Typ (n, n + 1)
Überführung des Gleichungssystems in andere Form durch Multiplizieren und Addieren:
𝑎11
𝑥1
0 𝑎22
irgendwas
(
)⋅( ⋮ )=0
⋮
⋱
𝑥𝑛+1
0
⋯ 0 𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑛,𝑛+1
Wenn 𝑎11 , … , 𝑎𝑛𝑛 ≠ 0 ⟶ 𝑎𝑛,𝑛+1 𝑥𝑛+1 + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 0 ⟶ 𝑥𝑛 = −
52
𝑎𝑛,𝑛+1
𝑎𝑛𝑛
𝑥𝑛+1
𝑥𝑛+1 = 1 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … nacheinander berechnen
𝑎𝑛−1,𝑛−1 𝑥𝑛−1 + 𝑎𝑛−1,𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1,𝑛+1 𝑥𝑛+1 = 0
Wenn einige 𝑎𝑛𝑛 = 0, 𝑎𝑛−1,𝑛−1 = 0, …, 𝑎𝑘𝑘 = 0, dann erhält man 𝑥𝑛+1 = 0, 𝑥𝑛 = 0,
𝑥𝑘−1 = 1
Definition:
Eine nichtleere Menge von Vektoren 𝑈 ⊂ ℝ𝑛 heißt linearer Unterraum ℝ𝑛 , wenn mit 𝑥, 𝑦
auf U auch 𝑥 + 𝑦 und 𝜆𝑥∀𝜆 ∈ ℝ in U liegen.
Beispiel: Geraden durch Ursprung
R2
Beispiel: Im ℝ3 betrachten wir ebenfalls eine Gerade durch den Ursprung oder eine Ebene
durch Ursprung.
Definition:
Die maximal mögliche Zahl m voneinander linear unabhängiger Vektoren eines Unterraumes
U von ℝ𝑛 heißt Dimension von U. 𝑚 = dim 𝑈.
Beispiel: Eine Gerade hat Dimension 1, eine Ebene die Dimension 2.
Definition:
Ist U ein Unterraum der Dimension m und sind 𝑎1 , …, 𝑎𝑚 m linear unabhängige Vektoren
von U, so heißt {𝑎1 , … , 𝑎𝑚 } eine Basis von U.
1)
Unterraum: 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 ⟶ 𝜆𝑥 + 𝜇𝑦 ∈ 𝑈
𝜆, 𝜇 ∈ ℝ ⇒ 0 ∈ U Nullvektor
2)
Die maximal mögliche Anzahl m voneinander linear unabhängiger Vektoren eines
Unterraumes U von ℝ𝑛 heißt Dimension von U, 𝑚 = dim 𝑈
3)
Unterraum U der Dimension m, 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 ∈ 𝑈, seine Dimension ist unabhängig
→{𝑎1 , … , 𝑎𝑚 } Basis von U
𝜆𝑎1 = 0 ⟶ 𝜆 = 0 𝑎1 = 0 keine Basis
Satz: U sei Unterraum der Dimension m mit Basis {𝑎1 , … , 𝑎𝑚 }. Dann lässt sich jedes 𝑥 ∈ 𝑈
als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.
𝑥 = 𝜆1 𝑎1 + ⋯ + 𝜆𝑚 𝑎𝑚 , wobei 𝜆1 , … , 𝜆𝑚 ∈ ℝ eindeutig bestimmt sind
Beweis: 𝑥 muss eine Linearkombination von 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 sein, sonst wäre 𝑥 der (𝑚 + 1)te linear unabhängige Vektor in U und dim 𝑈 > 𝑚
(**) ⟹ 𝑥 = 𝜇1 𝑎1 + ⋯ + 𝜇𝑚 𝑎𝑚
(*)
53
Wir bilden die Differenz von (*) und (**)
0 = (𝜇1 − 𝜆1 ) ⋅ 𝑎1 + ⋯ + (𝜇𝑚 − 𝜆𝑚 ) ⋅ 𝑎𝑚
Aus der linearen Unabhängigkeit folgt 𝜇1 = 𝜆1 , … , 𝜇𝑚 = 𝜆𝑚
Definition:
Es seien 𝑎1 , … , 𝑎𝑘 beliebige Vektoren von ℝ𝑛 , dann heißt
𝑘
𝑛
𝑈 = span {𝑎1 , … , 𝑎𝑘 } = {𝑥 ∈ ℝ : 𝑥 = ∑ 𝜆𝑖 𝑎𝑖 𝜆𝑖 ∈ ℝ}
𝑖=1
der von 𝑎1 , … , 𝑎𝑘 aufgespannter Unterraum.
Beispiel: n = 2
span{a1,a2}=R2
span{a1}
span{a1,a2}
a2
a1
a1
a1
a2
dim = 1
Sind 𝑎1 , … , 𝑎𝑚 linear unabhängig, so gibt dim span {𝑎1 , … , 𝑎𝑚 } = 𝑚
Definition:
Es sei 𝑈 ∈ ℝ𝑛 ein Unterraum (0 ∈ 𝑈) rund 𝑟0 sei ein fester Vektor aus ℝ𝑛 , dann heißt 𝑀 =
𝑟0 + 𝑈 = {𝑥|𝑥 =𝑟0 + 𝑣, 𝑣 ∈ 𝑈} lineare Mannigfaltigkeit.
U
M
r0
2.2.5
Rang einer Matrix, inverse Matrizen
Definition:
Sei A eine Matrix vom Format (m, n), dann heißt die Maximalanzahl linear unabhängiger
Spalten (Zeilen) von A Spaltenrang (Zeilenrang).
Beispiel:
𝑎 𝑏
𝑐
𝐴= 2 2 0
(−1 0 2)
3 5 4
𝑧̂1
𝑧̂2
𝑧̂3
𝑐 = 2(𝑏 − 𝑎)→ Spaltenrang = 2
5
𝑧̂3 = 2𝑧̂2 + 2 𝑧̂1→ Zeilenrang = 2
54
Satz:
Zeilen- und Spaltenrang jeder Matrix sind gleich. Wir sprechen daher vom Rang einer Matrix:
rang 𝐴
Bestimmen des Ranges einer Matrix
5
0
𝐴=(
0
0
5
0
𝐴=(
0
0
5
0
𝐴=(
0
0
5
0
𝐴=(
0
0
5
𝐴 = (0
0
0
1 2
4
3 −1 11
)⟶
5 4
7
2 8 −10
1
1
3
5
1
1
0
5
1
1
0
0
1
1
0
0
Vierte Zeile durch 2 und in zweite Zeile verschieben, Zeile 2 und 3
rücken entsprechend um eine Zeile nach unten.
Dies erleichtert Rechnung und dient der besseren Anschaulichkeit
des Ergebnisses.
2
4
−5
) ⟶ zweite Zeile mal 3 und von dritten Zeile abziehen
−1 11
4
7
2
4
4
−5
) ⟶ zweite Zeile mal 5 und von vierter Zeile abziehen
−13 26
4
7
2
4
4
−5
) ⟶ dritte Zeile durch -13, vierte durch -16, dritte von vierte abziehen
−13 26
−16 32
4
2
4| −5) ⟶ rang 𝐴 = 3, da vierte Zeile linear abhängig von den anderen war
1 −2
0
0
4
Es sei jetzt A eine quadratische Matrix
Definition:
Eine Matrix A vom Typ (n, n) heißt regulär, wenn rang 𝐴 = 𝑛, d.h. wenn A den maximal
möglichen Rang besitzt.
Satz: Eine Matrix ist genau dann regulär, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.
Gibt es eine Matrix X, für die gilt: 𝐴𝑋 = 𝐸 mit E = Einheitsmatrix?
Wenn „ja“, dann heißt X die zu A inverse Matrix und A heißt invertierbar: 𝑋 = 𝐴−1
Unter welchen Bedingungen existiert 𝐴−1? Wie können wir 𝐴−1 berechnen?
𝑋 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 )
𝐴𝑋 = (𝐴𝑥1 , … , 𝐴𝑥𝑛 ) = 𝐸
0
𝐴𝑥1 = 𝑒1
⋮
⋮
mit 𝑒𝑖 = 1 ⟵ mit 1 in i-te Spalte
𝐴𝑥𝑛 = 𝑒𝑛
⋮
(0)
55
Um X zu berechnen, haben wir n lineare Gleichungssysteme für die gesuchten
Spaltenvektoren 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 zu lösen. Ist A regulär, so gilt det 𝐴 ≠ 0 und die Cramersche Regel
zeigt, dass diese Gleichungen genau eine Lösung haben.
Damit existiert 𝑋 = 𝐴−1 und ist eindeutig bestimmt. Ist umgekehrt 𝐴𝑋 = 𝐸 lösbar, so folgt
aus dem Multiplikationssatz det(𝐴𝑋) = det 𝐴 ⋅ det 𝑋 = det 𝐸 = 1. Daher muss gelten
det 𝐴 ≠ 0, det 𝑋 ≠ 0 ⟹ A und X sind regulär.
Satz:
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist. 𝐴−1 ist in diesen
Fall eindeutig bestimmt und ebenfalls regulär. Außerdem gilt 𝐴 ⋅ 𝐴−1 = 𝐴−1 ⋅ 𝐴 = 𝐸 .
Rechenregeln für inverse Matrizen
(𝐴−1 )−1 = 𝐴
1)
(𝐴𝐵 )−1 = 𝐴−1 𝐵 −1
2)
(𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇
3)
Beweis 2)
𝐵 −1 𝐴−1 = 𝐴𝐵 = 𝐵 −1 𝐸𝐵 = 𝐵 −1 𝐵 = 𝐸
𝐴𝐵 = 𝐵 −1 𝐴−1 = 𝐴𝐸𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 = 𝐸
Berechnung von 𝑨−𝟏
a) mit Hilfe von Determinanten
𝐴𝑥 = 𝑏 𝑋 = 𝐴−1 X habe die Spalten 𝑥𝑗 , 𝑥𝑗 sind Lösungen der Gleichung 𝐴𝑥𝑗 = 𝑏𝑗
𝑥1𝑗
𝐴𝑗𝑘
𝐴1𝑘 𝑏1 + ⋯ + 𝐴𝑛𝑘 𝑏𝑛
𝑥𝑗 = ( ⋮ ) ⟶ 𝑥𝑘𝑗 =
=
det 𝐴
det 𝐴
𝑥𝑛𝑗
𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 𝐷𝑖𝑗
Folgerung: Die Elemente xkj der Matrix 𝑋 = 𝐴−1 sind gegeben durch:
𝑥𝑘𝑗
=
𝐴𝑗𝑘
det 𝐴
𝐴−1
d.h.
𝐴11
1
𝐴21
=
(
⋮
det 𝐴
𝐴𝑛1
𝐴12
𝐴22
⋮
𝐴𝑛2
⋯ 𝐴1𝑛 𝑇
⋯ 𝐴2𝑛
)
⋱
⋮
⋯ 𝐴𝑛𝑛
Beispiel 1)
1 1 0
𝐴 = (0 1 2 )
2 1 0
1)
2)
prüfen auf Invertierbarkeit → det 𝐴 = 2 ≠ 0
Dij’s berechnen, i-te Spalte und j-te Zeile wird gestrichen, Unterdeterminante
berechnen. Unterdeterminanten nur mit (−1)𝑖+𝑗 multiplizieren, nicht mit dem Wert auf
aij.
56
1 2
0 2
0 1
𝐴11 = |
| = −2 𝐴12 = − |
| = 4 𝐴13 = |
| = −2
1 0
2 0
2 1
1 0
1 0
1 1
𝐴21 = − |
|=0
𝐴22 = |
|=0
𝐴23 = − |
|=1
1 0
2 0
2 1
1 0
1 1
1 0
𝐴31 = |
| = 2 𝐴32 = − |
| = −2 𝐴33 = |
|=1
1 2
0 2
0 1
−2 4 −2 𝑇 1 −2 0 2
1
𝐴−1 = ( 0
0
1 ) = ( 4 0 −2)
2
2
2 −1 1
−2 1 1
Beispiel 2)
2 −3
5 3
𝐴=(
) det 𝐴 = 1 ⟶ 𝐴−1 = (
)
−3 5
3 2
𝐴 ⋅ 𝐴−1
2
-3
=
5 3 1
3 2 0
-3
5
0
1
b) mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus
(𝐴 ⋮ 𝐸) ⟶ (𝐸 ⋮ 𝐴−1 )
2.3
Lineare Gleichungssysteme
2.3.1
Der Gaußsche Algorithmus
𝑎11 𝑥1 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛
⋮
𝑎𝑚1 𝑥1 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛
= 𝑏1
⋮
⋮
= 𝑏𝑚
Folgende Operationen verändern die Lösungsmenge des Gleichungssystems nicht:
Vertauschen von Gleichungen
Multiplizieren einer Gleichung mit 𝑐 ≠ 0
Addition eines beliebigen Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen des Systems
Idee des Gaußschen Algorithmus:
Transformation des Gleichungssystems mit obigen Operationen auf Trapezgestalt.
Beispiel 1)
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 14
2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑥3 = 3
Von zweiter Zeile die erste abziehen, von dritte das Zweifache der ersten abziehen.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥2 + 2𝑥3 = 8
−3𝑥2 − 𝑥3 = −9
Das Dreifache der zweiten Zeile zur dritten addieren.
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥2 + 2𝑥3 = 8
5𝑥3 = 15
57
𝑥3 = 3
𝑥2 = 2
𝑥1 = 1
grafische Interpretation: Schnittpunkt von drei sich schneidenden Ebenen
Beispiel 2)
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
⟹ von zweiter Zeile die erste Abziehen ⟹ 0 = 1 ⟶ nicht lösbar
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 7
grafische Interpretation: zwei parallele Ebenen
Beispiel 3)
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 = 6
⟹ 1
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 14
𝑥2 + 2𝑥3 = 8
Wir ersetzen eine beliebige Variable durch λ, z.B. 𝜆 = 𝑥3
𝑥1 + 𝑥2 = 6 − 𝜆
⟹ 𝑥1 = −2 + 𝜆
𝑥2 = 8 − 2𝜆
−2
1
−2 + 𝜆
𝑥⃗ = ( 8 − 2𝜆 ) = ( 8 ) + 𝜆 (−2) Geradengleichung
0
1
𝜆
grafische Interpretation: Schnittgerade von zwei sich schneidenden Ebenen
Beispiel 4)
𝑥1 +𝑥2 +𝑥3 = 6
𝑥2 +𝑥1 +𝑥3 = 6
𝑥1
+𝑥3 = 4 ⟶
𝑥1 +𝑥3 = 4
𝑥3 = 3
𝑥3 = 3
Vertauschen von Spalten im Gaußschen Algorithmus nicht erlaubt.
Allgemeines Schema
Die Vorwärtselimination
Man bringt durch eventuelle Zeilenvertauschung eine Zahl ≠ 0 an die erste Stelle der ersten
Spalte und annulliert die darunter stehenden Zahlen durch Subtraktion eines passenden
Vielfachen der neuen ersten Zeile von der zweiten, dritten, …. Auf diese Weise entsteht aus
A|b eine Matrix B|c der Form
𝑃 ∗ ⋯ ∗ ∗ ⋯ ∗ ∗
⋮
(𝐵|𝑐) = ( 0 0 ⋯ 0 ∗ ⋯ ⋮ | ) mit 𝑃 ≠ 0
⋮
⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮
0 ⋯ ⋯ 0 ∗ ⋯ ∗ ∗
𝑃 ∗ ⋯ ∗ ∗ ⋯ ∗ ∗
⋮
0 0 ⋯ 0
=(
| )
⋮
⋮
𝐴1
∗
0
Falls 𝐴1 = 0 die Nullmatrix ist, ist die Elimination beendet. Andernfalls wiederholt man die
obige Prozedur.
58
Es entsteht:
𝑃
0
(𝑀|𝑑) = ⋮
⋮
⋮
(0
∗
⋯
⋯
⋯
⋯
0
⋯
𝑄
⋯
∗
⋯
⋯
∗ ∗
∗ ⋮
⋮ |𝑑𝑟+1 mit 𝑃, 𝑄 ≠ 0
0| ⋮
⋮ ⋮
0 𝑑𝑚 )
Die Lösbarkeitsentscheidung
Das Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn 𝑑𝑟+1 = 𝑑𝑟+2 = ⋯ = 0.
Wir setzen jetzt voraus, dass 𝑑𝑟+1 = ⋯ = 𝑑𝑚 = 0. Wir lassen die (𝑟 + 1)-te bis m-te
Gleichung weg. Wir erzeugen jetzt eine Dreiecksgestalt von M, indem wir die
Diagonalkoeffizienten der Reihe nach untersuchen, ob sie verschieden von Null sind. Ist ein
Diagonalkoeffizient gleich Null, wird die entsprechende Unbekannte xi parametrisiert. Im
Ergebnis entsteht eine Dreiecksstruktur, die leicht aufgelöst werden kann.
Beispiel:
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 6
1 2
𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 8 ⟶ (1 3
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2
1 1
36
1
4|8) ⟶ (0
12
0
2
3 6
1
1
1 | 2 ) ⟶ (0
−1 −2 −4
0
𝑥3 = 2
2 3 6
1 1 | 2 ) ⟶ 𝑥2 = 0
𝑥1 = 0
0 −1 −2
Beispiel:
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 6
1
⟶(
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 2
1
1
2 36
| )⟶(
0
1 12
𝑥3 = 𝜆
2 36
| ) ⟶ 𝑥2 = 4 − 2𝜆 ⟶Gerade
1 24
𝑥1 = −2 + 𝜆
Betrachten 𝑨𝒙 = 𝟎, das homogene Gleichungssystem
Satz:
a)
𝐴𝑥 = 0 hat genau dann als einzige Lösung 𝑥1 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0, wenn rang 𝐴 = 𝑛 (n ist
die Anzahl der Unbekannten).
b)
Die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystem 𝐴𝑥 = 0 enthält n-rang 𝐴 freie
Variable.
c)
Ist die Zahl der Gleichungen kleiner als die Anzahl der Unbekannten (m < n), dann
besitzt 𝐴𝑥 = 0 von Null verschiedene Lösungen.
Betrachten 𝑨𝒙 = 𝒃, das inhomogene Gleichungssystem
Satz:
a)
Lösbarkeitstest 𝐴𝑥 = 𝑏 ist genau dann lösbar, wenn gilt: rang(𝐴|𝑏) = rang 𝐴
b)
Struktur der Lösungsmenge. Ist das System 𝐴𝑥 = 𝑏 lösbar, dann lässt sich die
allgemeine Lösung darstellen in der Form 𝑣 = 𝑣0 + 𝑛 mit der speziellen Lösung 𝑣0 von
𝐴𝑣0 = 𝑏 und der allgemeinen Lösung 𝑛 von 𝐴𝑛 = 0.
c)
Ist 𝐴𝑥 = 𝑏 lösbar, dann enthält die allgemeine Lösung n-rang 𝐴 freie Variable.
𝐴𝑥 = 𝑏, sei 𝑣0 spezielle Lösung von 𝐴𝑣0 = 𝑏
𝐴 (𝑥 − 𝑣0 ) = 𝑏 − 𝑏 = 0 𝐴𝑛 = 0 und 𝑛 sei allgemeine Lösung
59
𝑥 − 𝑣0 = 𝑛 ⟶ 𝑥 = 𝑣0 + 𝑛 ist allgemeine Lösung von 𝐴𝑥 = 𝑏
2.4
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
A sei eine 𝑛 × 𝑛-Matrix. Eine Zahl 𝜆 ∈ ℂ heißt Eigenwert von A und 𝑥 ∈ ℂ𝑛 ein zugehöriger
Eigenvektor, wenn 𝐴𝑥 = 𝜆𝑥 und 𝑥 ≠ 0.
Bemerkung: 𝐴𝑥 − 𝜆𝑥 = (𝐴 − 𝜆𝐸)𝑥 = 0
Da (𝐴 − 𝜆𝐸)𝑥 = 0 eine nichttriviale Lösung haben soll, muss det(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0 gelten.
5 8 (𝐴
Beispiel: 𝐴 = (
)
− 𝜆𝐸)𝑥 = 0
1 3
𝑥1
1 0
5 8
5−𝜆
8
[(
)−𝜆(
)] 𝑥 = (
) ⋅ (𝑥 ) = 0
0 1
2
1 3
1
3−𝜆
5−𝜆
8
det |
| = 0 ⟶ 𝜆1,2 = 4 ± √9 ⟶ 𝜆1 = 7 𝜆2 = 1
1
3−𝜆
𝑥11
1 0
−2 8
4
(𝐴 − 𝜆1 𝐸)𝑥1 = [(5 8) − 7 (
)] 𝑥1 = (
) ⋅ (𝑥 ) = 0 ⟶ 𝑥11 − 4𝑥12 ⟶ 𝑥1 = ( )
0 1
1 −4
1
1 3
12
Lösung von 𝑥1 beliebiger Vektor, der Gleichung erfüllt. Somit ist auch jedes Vielfache von
𝑥1 ⟶ 𝜇𝑥1 ≠ 0 Eigenvektor.
(𝐴 − 𝜆2 𝐸)𝑥2 = [(5 8) − (1
0
1 3
𝑥21
0
4 8
−2
)] 𝑥2 = (
) ⋅ (𝑥 ) = 0 ⟶ 𝑥21 + 2𝑥22 ⟶ 𝑥2 = ( )
1
1 2
1
22
Zum Eigenwert 𝜆1 = 7 gehört der Eigenvektor 𝑥1 = (4). Zum Eigenwert 𝜆2 = 1 gehört der
1
Eigenvektor 𝑥2 = (−2).
1
Die zur Bestimmung der Eigenwerte dienende Gleichung det(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0 heißt
charakteristische Gleichung von A. det(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0 ist ein Polynom n-ten Grades in λ.
𝑃𝐴 (𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐸) heißt charakteristisches Polynom von A. Die Eigenwerte von A sind
die Nullstellen von 𝑃𝐴 (𝜆).
(𝑎11 − 𝜆)
𝑎12
⋯
𝑎1𝑛
(𝑎22 − 𝜆) ⋯
𝑎21
𝑎2𝑛
𝑃𝐴 (𝜆) =
⋮
⋮
⋱
⋮
𝑎𝑛1
⋯
⋯ (𝑎𝑛𝑛 − 𝜆)
Definition:
Ist ein Eigenwert λ von A eine k-fache Nullstelle von 𝑃𝐴 (𝜆), so heißt k algebraische
Vielfachheit von λ. Die Menge aller Eigenvektoren von A bildet einen linearen Unterraum
von ℝ𝑛 oder ℂ𝑛 . Dessen Dimension wird geometrische Vielfachheit von λ genannt.
1 0
Beispiel: 𝐴 = (
) det(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0
0 1
𝜆1,2 = 1 ist Eigenwert der algebraischen Vielfachheit = 2.
𝑥
(𝐴 − 𝜆𝐸)𝑥 = (0 0) (𝑥1 ) = 0 ⟶ (1) und (0) sind Lösungen, geometrische Vielfachheit =
0 0
0
2
1
2.
60
Beispiel:
2 0
𝐴=(
) det(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0
0 1
𝜆1 = 2 und 𝜆2 = 1 sind beides Eigenwerte der algebraischen Vielfachheit = 1.
Eigenvektor zu 𝜆1 = 2
𝑥11
2−2
0
1
(
) (𝑥 ) = 0 ⟶ 𝑥1 = ( ) mit geometrische Vielfachheit = 1.
0
1−2
0
12
(Lösung des Gleichungssystems ergibt für 𝑥12 = 0 und ist unabhängig von 𝑥11 , daher kann es
beliebig gewählt werden.)
Eigenvektor zu 𝜆2 = 1
𝑥21
2−1
0
0
(
) (𝑥 ) = 0 ⟶ 𝑥2 = ( ) mit geometrische Vielfachheit = 1.
0
1−1
22
1
2 1
Beispiel: 𝐴 = (
) ⟶ 𝜆1 = 𝜆2 = 2 mit algebraische Vielfachheit = 2
0 2
𝑥
0 1
1
1
(
) (𝑥 ) = 0 ⟶ 𝑥 = ( ) ist eindimensionaler Unterraum, geometrische Vielfachheit =
0 0
0
2
1.
2.5
Der Fall symmetrischer Matrizen
A sei eine Matrix vom Typ 𝑛 × 𝑛 mit reellen Elementen 𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ. A heißt symmetrisch, wenn
𝐴 = 𝐴𝑇 .
Beispiel:
 1 2 3


A   2 4 5
 3 5 6


Satz: Eine reelle symmetrische Matrix hat folgende Eigenschaften:
i)
Alle Eigenwerte von A sind reell
ii) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind zueinander orthogonal
iii) Algebraische und geometrische Vielfachheit sind für jeden Eigenwert gleich
Beweis i)
𝑥 ⋅ 𝑥̅ = |𝑥|2 ist reell, 𝑥 ≠ 0. Sei x Eigenvektor und λ Eigenwert.
𝜆𝑥 ⋅ 𝑥̅ = 𝐴𝑥 ⋅ 𝑥̅ = 𝑥 ⋅ 𝐴𝑇 𝑥̅ = 𝑥 ⋅ 𝐴𝑥 = 𝑥 ⋅ 𝜆𝑥 = 𝜆|𝑥|2
(𝜆 − 𝜆)|𝑥|2 = 0 Division durch |𝑥|2 ≠ 0
⟶ 𝜆 − 𝜆 = Re 𝜆 + 𝑗 Im 𝜆 − (Re 𝜆 − 𝑗 Im 𝜆) = 2𝑗 Im 𝜆 = 0 ⟶ 𝜆 ∈ ℝ
Beweis ii)
Es seien x1, x2 Eigenvektoren zu den Eigenwerten 𝜆1 ≠ 𝜆2
𝜆1 𝑥1 𝑥2 = (𝐴𝑥1 ) ⋅ 𝑥2 = 𝑥1 ⋅ (𝐴𝑇 𝑥2 ) = 𝑥1 (𝐴𝑥2 ) = 𝑥1 𝜆2 𝑥2 = 𝜆2 𝑥1 𝑥2
(𝜆1 − 𝜆2 ) ⋅ 𝑥1 𝑥2 = 0, da 𝜆1 ≠ 𝜆2 ⟶ 𝑥1 ⋅ 𝑥2 = 0 ⟶ x1 und x2 sind orthogonal
61
Folgerung 1)
Ist A reell und symmetrisch und sind alle n Eigenwerte voneinander verschieden, so bilden
die n Eigenvektoren 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 eine orthogonale Basis des ℝ𝑛 . Ist λ ein k-facher Eigenwert
(algebraische Vielfachheit ist k), so hat der zugehörige Eigenunterraum ebenfalls die
Dimension k. Die entsprechende Basis kann man mit dem Schmidtschen
Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisieren.
Folgerung 2)
Ist A reell und symmetrisch, so kann man stets Eigenvektoren 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 finden, so dass
𝑥1 , … , 𝑥𝑛 eine orthogonale Basis des ℝ𝑛 bilden.
1 3
0
Beispiel: 𝐴 = (3 −2 −1) reell und symmetrisch
0 −1 1
Eigenwerte:
1−𝜆
3
0
3 −1
−2 − 𝜆
−1
det(𝐴 − 𝜆𝐸) = | 3
| − 3|
|
−2 − 𝜆
−1 | = (1 − 𝜆) |
0 1−𝜆
−1
1−𝜆
0
−1
1−𝜆
= (1 − 𝜆)((−2 − 𝜆)(1 − 𝜆) − 1) − 3(3 − 3𝜆) = −𝜆3 + 13𝜆 − 12 = 0
durch Polynomdivision: 𝜆1 = 1 𝜆2 = 3 𝜆3 = −4 → sind voneinander verschieden
𝑥11
1−1
3
0
Eigenvektor von 𝜆1 : (𝐴 − 𝜆1 𝐸)𝑥1 = ( 3
−2 − 1 −1 ) (𝑥12 ) = 0
0
−1
1 − 1 𝑥13
Dritte Zeile ist linear abhängig von der ersten.
Aus erster Zeile folgt: 0 ⋅ 𝑥11 + 3𝑥12 + 0 ⋅ 𝑥13 = 0 ⟶ 𝑥12 = 0
Eingesetzt in dritte Zeile: 3𝑥11 − 3𝑥12 − 𝑥13 = 0 ⟶ 𝑥11 = 1 𝑥13 = 3
1
𝑥1 = (0) ist Eigenvektor
3
−3
−3
Eigenvektor von 𝜆2 ⟶ 𝑥2 = (−2), Eigenvektor von 𝜆3 ⟶ 𝑥3 = ( 5 )
1
1
𝑥1 ⊥ 𝑥2 𝑥1 ⊥ 𝑥3 𝑥2 ⊥ 𝑥3
Wir normieren die Eigenvektoren (Normalvektor → Betrag = 1)
1 1
1 −3
1 −3
2
2
2
√
|𝑥1 | = 1 + 0 + 3 = √10 ⟶ 𝑥1 =
(0) 𝑥2 =
(−2) 𝑥3 =
(5)
√10 3
√14 1
√35 1
Wir fassen die normierten Eigenvektoren in einer Matrix C zusammen:
𝑥1 𝑇
1 0 0
𝐶 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) 𝐶 𝑇 𝐶 = (𝑥2 𝑇 ) ⋅ (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) = (0 1 0) = 𝐸
0 0 1
𝑥3 𝑇
Definition: Eine Matrix C vom Typ 𝑛 × 𝑛 heißt orthogonal, wenn 𝐶 𝑇 𝐶 = 𝐸 ⟶ 𝐶 𝑇 = 𝐶 −1 .
62
1 = det 𝐸 = det(𝐶 𝑇 𝐶)
−1
𝑇
= det 𝐶 𝑇 ⋅ det 𝐶
Folgerung: 𝐶 𝑇= 𝐶 |
𝐶 ⋅ 𝐶 = 𝐸 = (det 𝐶)2
1 = |det 𝐶|
Wir berechnen jetzt 𝐶 𝑇 𝐴𝐶
𝐴𝐶 = 𝐴 (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝐴𝑥1 , … , 𝐴𝑥𝑛 ) = (𝜆1 𝑥1 , … , 𝜆𝑛 𝑥𝑛 )
𝑥1 𝑇
𝜆1 𝑥1 𝑥1
∅
𝜆1
∅
𝐶 𝑇 𝐴𝐶 = (𝑥2 𝑇 ) (𝜆1 𝑥1 , … , 𝜆𝑛 𝑥𝑛 ) = (
)=(
)
⋱
⋱
∅
𝜆𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛
∅
𝜆𝑛
𝑥3 𝑇
𝐶 𝑇 𝐴𝐶 ist eine Diagonalmatrix, auf der Hauptdiagonalen stehen die Eigenwerte.
Satz:
Ist A eine reelle symmetrische Matrix, dann ist die Matrix C der orthonomierten
Eigenvektoren orthogonal. Es gilt 𝐶 𝑇 𝐴𝐶 = diag(𝜆1 , … , 𝜆𝑛 )
Geometrische Bedeutung orthogonaler Matrizen als orthogonale Koordinatentransformation.
Es sei C orthogonale Matrix, {𝑒1 , … , 𝑒𝑛 } orthogonale Basis im ℝ𝑛 . Wir betrachten 𝑏𝑖 = 𝐶𝑒𝑖
𝑖 = 1, … 𝑛. Dann ist auch {𝑏1 , … , 𝑏𝑛 } eine orthogonale Basis.
Beweis:
𝑇
𝑏𝑖 ⋅ 𝑏𝑗 = 𝑏𝑖 𝑇 ⋅ 𝑏𝑗 = (𝐶𝑒𝑖 ) ⋅ 𝐶𝑒𝑗
= 𝑒𝑖 𝑇 𝐶 𝑇 𝐶𝑒𝑗
1 𝑖=𝑗
= 𝑒𝑖 𝑇 𝑒𝑗 = {
0 𝑖≠𝑗
Bemerkung:
cos 𝛼
− sin 𝛼
Man kann für n = 2 zeigen, dass jede 2 × 2 Matrix C die Form 𝐶 = (
Dabei ist α der Drehwinkel.
2.6
Kurven
und
Flächen
Hauptachsentransformation
2.
Die Normalform der Quadriken im ℝ𝟐 (Konstante a, b, p alle ≠ 𝟎)
rang 𝐴 = 1 (Ein Eigenwert = 0)
y
Parabel
𝑥 2 − 2𝑝𝑦 = 0
x
63
sin 𝛼
) hat.
cos 𝛼
Ordnung
–
y
paralleles Geradenpaar 𝑥 2 − 𝑎2 = 0
leere Menge
x
𝑥 2 + 𝑎2 = 0
y
Gerade x = 0
𝑥2 = 0
x
rang 𝐴 = 2 (Alle Eigenwerte ≠ 0)
y
2
2
Ellipse (eventuell Kreis)
𝑥
𝑦
+
−1=0
𝑎2 𝑏 2
leere Menge
𝑥2 𝑦2
+
+1=0
𝑎2 𝑏 2
x
y
2
2
Hyperbel
𝑥
𝑦
− 2−1=0
2
𝑎
𝑏
Punkt
𝑥 2 + 𝑎2 𝑦 2 = 0
x
y
Geradenpaar mit Schnittpunkt 𝑥 2 − 𝑎2 𝑦 2 = 0
x
Die Normalform der Quadriken im ℝ𝟑 (Konstante a, b, c, p alle ≠ 𝟎)
rang 𝐴 = 1 (Zwei Eigenwerte = 0)
z
x
parabolischer Zylinder 𝑥 2 − 2𝑝𝑦 = 0
y
z
paralleles Ebenenpaar
𝑥 2 − 𝑎2 = 0
y
x
leere Menge
2
2
𝑥 +𝑎 =0
64
z
Ebene
𝑥2 = 0
y
x
rang 𝐴 = 2 (Ein Eigenwert = 0)
z
elliptisches Paraboloid
𝑥2 𝑦2
+
− 2𝑝𝑧 = 0
𝑎2 𝑏 2
c
y
x
z
hyperbolisches Paraboloid
𝑥2 𝑦2
−
− 2𝑝𝑧 = 0
𝑎2 𝑏 2
y
x
leere Menge
𝑥2 𝑦2
+
+1=0
𝑎2 𝑏 2
z
elliptischer Zylinder
𝑥2 𝑦2
+
−1=0
𝑎2 𝑏 2
y
x
z
hyperbolischer Zylinder
𝑥2 𝑦2
−
+1=0
𝑎2 𝑏 2
y
x
z
Gerade
𝑥2 𝑦2
+
=0
𝑎2 𝑏 2
y
x
z
Ebenenpaar mit Schnittgerade
𝑥2 𝑦2
−
=0
𝑎2 𝑏 2
y
x
65
rang 𝐴 = 3 (Alle Eigenwerte ≠ 0)
z
c
𝑥2 𝑦2 𝑧2
Ellipsoid (eventuell Kugel)
+
+ −1=0
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
a
b
y
x
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ +1=0
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
leere Menge
z
zweischaliges Hyperboloid
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
− +1=0
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
c
x
y
z
einschaliges Hyperboloid
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
− −1=0
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
x
y
b
a
𝑥2 𝑦2 𝑧2
+
+ =0
𝑎2 𝑏 2 𝑐 2
Punkt
z
a
b
c
2
2
2
𝑥
𝑦
𝑧
+ 2− 2=0
2
𝑎
𝑏
𝑐
Kegel
y
x
Wir betrachten quadratische Gleichungen der Form:
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑦 2 + 2𝑐𝑥𝑦 + 𝑠𝑥 + 𝑡𝑦 + 𝑢 = 0
𝑥
𝑥
𝑥
𝑎 𝑐 𝑥
(𝑥, 𝑦) (⏟
) (𝑦) + (𝑠,
𝑡) (𝑦) + ⏟
𝑢 = (𝑥, 𝑦)𝐴 (𝑦) + 𝑏 𝑇 (𝑦) + 𝑐 = 0
⏟
𝑐 𝑏
𝑐
𝑏
𝐴
Definition: Ein Polynom 2. Grades in den Variablen 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ist eine Funktion der Form:
𝑛
𝑇
𝑛
𝑇
𝑓(𝑥) = 𝑥 𝐴𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 = ∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 + ∑ 𝑏𝑖 𝑥𝑖 + 𝑐
𝑖=1
𝑗=1
𝑖=1
66
Die Menge aller Punkte 𝑥 ∈ ℝ𝑛 mit 𝑓(𝑥) = 0 heißt Hyperfläche zweiter Ordnung oder
Quadrik.
Beispiel: 𝐷 = diag(𝜆1 , … , 𝜆𝑛 )
𝜆1
𝑇
𝑞(𝑥) = 𝑥 𝐷𝑥 = (𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ) (
𝑥1
𝑥1
) ( ⋮ ) = (𝜆1 𝑥1 , … , 𝜆𝑛 𝑥𝑛 ) ( ⋮ ) = 𝜆1 𝑥12 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑥𝑛2
𝑥𝑛
𝜆𝑛 𝑥𝑛
∅
⋱
∅
Wir betrachten 𝑞(𝑥) = 𝑥 𝑇 𝐴𝑥. Der Übergang zu einer anderen Basis 𝐵 = (𝑏1 , … , 𝑏𝑛 )
geschieht mit der Substitution 𝑥 = 𝐵𝑦.
𝑇
𝑞(𝑥) = 𝑞 (𝐵𝑦) = (𝐵𝑦) 𝐴 (𝐵𝑦) = 𝑦 𝑇 (𝐵𝑇 𝐴𝐵)𝑦 = 𝑞̃ (𝑦)
Definition:
Als Hauptachsensystem der quadratischen Form 𝑞(𝑥) = 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 bzw. der symmetrischen
Matrix 𝐴 = 𝐴𝑇 bezeichnet man eine Orthonomalbasis 𝐵 = (𝑏1 , … , 𝑏𝑛 ) des ℝ𝑛 , wenn q im
Koordinatensystem (0, 𝑏1 , … , 𝑏𝑛 ) rein quadratisch ist. Das ist genau dann der Fall, wenn
𝐵 𝑇 𝐴𝐵 Diagonalmatrix ist.
Satz: Hauptachsentransformation
Zu jeder quadratischen Form 𝑞(𝑥) = 𝑥 𝑇 𝐴𝑥 bzw. zu jeder reellen symmetrischen 𝑛 × 𝑛
Matrix gibt es wenigstens ein Hauptachsensystem. Man berechnet es wie folgt.
Zu jeden der verschiedenen Eigenwerte 𝜆𝑖 von A bestimmt man eine Orthonormalbasis
(𝑖)
(𝑖)
(𝑏1 , … , 𝑏𝑘𝑖 ) von (𝐴 − 𝜆𝑖 𝐸)𝑥 = 0 .
zusammengesetzt,
(1)
(1)
(2)
Diese
ergeben
(2)
(𝑟)
Teilbasen
ein
in
angegebener
Reihenfolge
Hauptachsensystem
𝐵=
(𝑟)
(𝑏1 , … , 𝑏𝑘1 , 𝑏1 , … , 𝑏𝑘2 , … , 𝑏1 , … , 𝑏𝑘𝑟 ) für das 𝐵 𝑇 𝐴𝐵 = diag (𝜆
𝜆𝑟 , … , 𝜆𝑟 )
⏟1 , … , 𝜆1 , … , ⏟
𝑘1 −mal
𝑘𝑟 −mal
( Wiederholung von 𝜆𝑖 nur nötig, wenn Eigenwerte mehrmals Vorkommen (siehe k1-mal 𝜆1 ))
gilt und demzufolge:
𝑞(𝑥) = 𝑞 (𝐵𝑦) = 𝜆1 𝑦12 + ⋯ + 𝜆𝑟 𝑦𝑛2 .
Beispiel:
1
1
2 1
𝐴=(
) hat die Eigenwerte 𝜆1 = 5 (5 + √5), 𝜆2 = 2 (5 − √5)
1 3
1
2
1
Eine Lösung von (𝐴 − 𝜆1 𝐸)𝑥 = 0 ist (1 + 1 ), normiert ergibt das 𝑏 =
(
).
√5
√10+2√5 1 + √5
2
2
(−1 − √5) 𝑏 ⊥ 𝑐.
2
𝑥
Die quadratische Form: (𝑥, 𝑦)𝐴 (𝑦) = 2𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2 hat im Koordinatensystem (0, 𝑏, 𝑐)
𝑥
𝑢
1
1
die Darstellung 𝜆1 𝑢2 + 𝜆2 𝑣 2 = 2 (5 + √5)𝑢2 + 2 (5 − √5)𝑣 2 wobei (𝑦) = (𝑏, 𝑐) ( ) =
𝑣
2
−1 − √5 𝑢
(
) ( ).
𝑣
1 + √5
2
Senkrecht dazu 𝑐 =
1
√10+2√5
67
Beispiel: Wir betrachten 𝑞(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 + 6𝑥𝑦 − 2𝑦 2 − 2𝑦𝑧 + 𝑧 2
𝑥 𝑦 𝑧
𝑥
1 3
0
𝐴=
(3 −2 −1) 𝑦
𝑧
0 −1 1
1
Diagonal = Koeffizienten von x2, y2, z2. Andere Werte sind 2 Koeffizienten von xy, xz, yz.
Eigenwerte: 𝜆1 = 1 𝜆2 = 3 𝜆3 = −4
normierte Eigenvektoren:
1
3
−3
1
1
1
𝜆1 ⟶ 𝑏1 =
(0), 𝜆2 ⟶ 𝑏2 =
( 2 ), 𝜆3 ⟶ 𝑏3 = 𝑏1 × 𝑏2 =
(5)
√10
√14
√35
3
−1
1
1
3
3
−
√10 √14
√35
2
5
0
𝐵=
√14
√35
3
1
1
−
(√10
√14 √35 )
Transformation auf Normalform
1. Schritt:
Die Hauptachsentransformation des quadratischen Anteils 𝐵 𝑇 𝐴𝐵 = diag(𝜆1 , … , 𝜆𝑛 ) mit
einem Hauptachsensystem 𝐵 = (𝑏1 , … , 𝑏𝑛 ) von A liefert über eine Substitution 𝑥 = 𝐵𝑦 die
Darstellung der Quadrik im Koordinatensystem (0, 𝑏1 , … , 𝑏𝑛 ) durch
𝜆1 𝑦12 + ⋯ + 𝜆𝑛 𝑦𝑛2 + 𝛾1 𝑦1 + ⋯ 𝛾𝑛 𝑦𝑛 + 𝛽 = 0
2. Schritt:
Mit der anschließenden Substitution
𝑦𝑖
falls 𝜆𝑖 = 0
𝛾𝑖
𝑧𝑖 = {
𝑦𝑖 +
⟵ (quadratische Ergänzung) falls 𝜆𝑖 ≠ 0
2𝜆𝑖
werden die linearen Terme (falls möglich) „wegsubstituiert“. Diese Substitution entspricht
einer Verschiebung des bereits gedrehten Koordinatensystems in einen anderen Ursprung.
𝑧 = 𝑦 + 𝑢, so folgt der Übergang von Koordinaten zu den z-Koordinaten über die
Substitution 𝑥 = 𝐵𝑦 = 𝐵(𝑧 − 𝑢) = 𝐵𝑧 − 𝐵𝑢. Im neuen Koordinatensystem hat die Quadrik
die Gleichung 𝜆1 𝑧12 + ⋯ + 𝜆𝑟 𝑧𝑟2 + 𝜇𝑟+1 𝑧𝑟+1 + ⋯ + 𝜇𝑛 𝑧𝑛 + 𝛾 = 0, wobei 𝜆1 , … , 𝜆𝑛 ≠ 0 und
𝜆𝑟+1 = ⋯ = 𝜆𝑛 = 0.
Beispiel: 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑦 = 1 ⟶ (𝑥 + 1)2 + 𝑦 − 1 = 1
Beispiel: Typ und Normalform für folgende Quadrik
𝑞(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑧 2 + 6𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 − 12𝑥 + 4𝑦 − 10𝑧 − 11 = 0
−1 3 1
1. Schritt) Matrix 𝐴 = ( 3 −1 1) ⟶ Eigenwerte 𝜆1 = 3 𝜆2 = −4 𝜆3 = 0
1
1 1
68
normierte Eigenvektoren = Hauptachsensystem 𝑏1 =
𝑥
𝑥′
(𝑦) = 𝐵 (𝑦′) =
𝑧
𝑧′
1
1
1
√3
1
√2
1
−
√2
√6
1
√3
1
(√3
0
√6
2
−
√6)
𝑥′
1 √2
(𝑦′) =
(√2
√6
𝑧′
√2
1
1
1
(1) 𝑏2 = (−1)
√3
√2
1
0
1
𝑏3 =
𝑥′
√3
𝑥′
1
√3
𝑥′
−√3 1 ) (𝑦′) =
0
−2 𝑧′
−
𝑦′
√2
𝑦′
+
𝑧′
√6
𝑧′
+
√2 √6
𝑥′ 2𝑧′
−
√3 √6 )
√3
(
+
1
(1)
√6
−2
1
Gleichungen für x, y und z in q einsetzen und zusammenfassen
3(𝑥′)2 − 4(𝑦′)2 − 6√3𝑥 ′ − 8√2𝑦 ′ + 2√6𝑧 ′ − 11 = 0
Wie man erkennt, ist der Koeffizient von (𝑥′)2 gleich 𝜆1 = 3, von (𝑦′)2 gleich 𝜆2 = −4 und
von (𝑧′)2 gleich 𝜆3 = 0.
2. Schritt) Durch quadratische Ergänzung ergibt sich die Verschiebung:
2
𝑥 ′′ = 𝑥 ′ − √3 ⟶ 3(𝑥 ′ − √3) = 3(𝑥′)2 − 6√3𝑥 ′ + 9
2
𝑦 ′′ = 𝑦 ′ + √2 ⟶ −4(𝑦 ′ + √2) = −4(𝑦 ′ )2 − 8√2𝑦 ′ − 8
𝑧 ′′ = 𝑧 ′ − √6 ⟶ 2√6(𝑧 ′ − √6) = 2√6𝑧 ′ − 12
⟹ 3(𝑥′′)2 − 4(𝑦′′)2 + 2√6𝑧 ′′ = 0 ⟶ Rang 2, hyperbolischer Paraboloid
Beispiel: 𝑞(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 2 − 𝑦𝑧 − 2𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0
1
0
0
1
1
0
−0,5) ⟶ Eigenwerte: 𝜆1 = 1 𝜆2 = 𝜆3 = −
(0
2
2
0 −0,5
0
1
0
0
1
1
Eigenvektoren: 𝑏1 = (0) 𝑏2 = ( 1 ) 𝑏3 = 𝑏1 × 𝑏2 = (1)
√2
√2
0
−1
1
𝑥
𝑥′
0 0
1 √2
(𝑦 ) = ( 0
1 1) (𝑦′) ⟶ Ausmultiplizieren und in q einsetzen
√2
𝑧
0 −1 1 𝑧′
1
1
(𝑥′)2 + (𝑦′)2 − (𝑧′)2 − 2𝑥 ′ + 3√2𝑦 ′ + 4 = 0
2
2
Koeffizienten der quadratischen Terme sind wieder die Eigenwerte.
Mit quadratischer Ergänzung:
1
1
1
1
2
(𝑥 ′ − 1)2 + (𝑦 ′ + 3√2) − (𝑧′)2 − 6 = (𝑥′′)2 + (𝑦′′)2 − (𝑧′′)2 − 6 = 0
2
2
2
2
Rang = 3, einschaliges Hyperboloid
69
3.
Differentialrechnung
3.1
Zahlenfolgen und Grenzwerte
Definition: Zahlenfolge
Eine Vorschrift die jedem 𝑛 ∈ ℕ genau eine Zahl 𝑎𝑛 ∈ ℝ (bzw. ℂ) zuordnet, heißt reelle
(bzw. komplexe) Zahlenfolge. {𝑎1 , 𝑎2 , … }, {𝑎𝑛 }∞
𝑛=1
Beispiel:
1
1 1 1 1 1
1)
𝑎𝑛 = 𝑛 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , …
2)
𝑎𝑛 = (−1)𝑛 (−1)1 , 1, −1,1, −1, …
3)
𝑎𝑛 = 𝑗 𝑛 𝑗, 1, −𝑗, 1, 𝑗, −1, …
4)
𝑎𝑛 = 1 1,1,1, … stationäre Folge
Definition: Konvergenz, Grenzwert
Eine Zahlenfolge {𝑎𝑛 }∞
𝑛=1 heißt konvergent gegen a, wenn ∀𝜀 > 0∃𝑛0 (𝜀). (𝑎𝑛 − 𝑎) < 𝜀
∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Die Zahl heißt Grenzwert der Folge {𝑎𝑛 }∞
𝑛=1 .
Schreibweise: 𝑎 = lim 𝑎𝑛 oder 𝑎𝑛 ⟶ 𝑎 für 𝑛 ⟶ ∞
𝑛→∞
Umgangssprachlich: Wie klein auch 𝜀 > 0 vorgegeben wird, von einen gewissen Index n0 hat
kein Glied der Folge einen Abstand ≥ 𝜀 zu a.
a-ε
a+ε
Im Reellen
a1
a3
a2
unendlich viele
Werte innerhalb
a1
ε
Im Komplexen
a
a3
a2
1
1
lim = 0 Nullfolge
𝑛 𝑛→∞ 𝑛
1
1
|𝑛 − 0| < 𝜀 für alle 𝑛 ≥ 𝑛0 (𝜀) ⟶ 𝜀 < 𝑛
1
𝑛0 = [ ] + 1
𝜀
[1,567] = 1 = [𝑥] = größte ganze Zahl für die gilt [𝑥] ≤ 𝑥
1
1
1
< [ ] + 1 ⟶ < 𝜀 ∀𝑛 ≥ 𝑛0
𝜀
𝜀
𝑛
Beispiel: 𝑎𝑛 =
Bemerkung: 𝑎𝑛 ⟶ 𝑎 ⟹ 𝑎𝑛 − 𝑎 ⟶ 0
Rechengesetze für Folgen
Wenn 𝑎𝑛 ⟶ 0 für 𝑛 → ∞ und |𝑏𝑛 | < |𝑎𝑛 | ∀𝑛 ∈ ℕ dann gilt 𝑏𝑛 ⟶ 0 für 𝑛 → ∞.
70
Sei 𝑎𝑛 ⟶ 𝑎, 𝑏𝑛 ⟶ 𝑏 für 𝑛 → ∞, dann gilt ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ 𝛼 ⋅ 𝑎𝑛 ± 𝛽 ⋅ 𝑏𝑛 ⟶ 𝛼 ⋅ 𝑎 ± 𝛽 ⋅ 𝑏, d.h.
lim (𝛼 ⋅ 𝑎𝑛 ± 𝛽 ⋅ 𝑏𝑛 ) = 𝛼 lim 𝑎𝑛 ± 𝛽 lim 𝑏𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
Wenn ∃ lim 𝑎𝑛 und ∃ lim 𝑏𝑛 , dann gilt das und ∃ lim (𝛼 ⋅ 𝑎𝑛 ± 𝛽 ⋅ 𝑏𝑛 ).
𝑛→∞
𝑎𝑛 𝑏𝑛 ⟶ 𝑎 ⋅ 𝑏 lim(𝑎𝑛 𝑏𝑛 ) = lim 𝑎𝑛 ⋅ lim 𝑏𝑛
𝑘
𝑎𝑛𝑘 ⟶ 𝑎𝑘
lim (𝑎𝑛 )𝑘 = ( lim 𝑎𝑛 )
𝑛→∞
𝑛→∞
lim 𝑎𝑛
𝑎𝑛
𝑎
𝑎𝑛 𝑛→∞
⟶ falls 𝑏 ≠ 0 lim
=
𝑛→∞ 𝑏𝑛
𝑏𝑛
𝑏
lim 𝑏𝑛
𝑛→∞
Wenn 𝑎𝑛 ⟶ 0 für 𝑛 ⟶ ∞ und {𝑏𝑛 } beschränkt ist, d.h. |𝑏𝑛 | < 𝑐 ∀𝑛, dann ist 𝑎𝑛 ⋅ 𝑏𝑛
Nullfolge. Das Produkt einer Nullfolge mit einer beschränkten Folge ist eine Nullfolge.
1 1
3−𝑛+ 3
3𝑛3 − 𝑛2 + 1
𝑛 = lim 3 = 0
Beispiel: lim 4
= lim
𝑛
2
𝑛→∞ 𝑛 + 𝑛 − 2
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑛
𝑛+ 3− 4
𝑛
𝑛
𝑛
Es sei 𝑐 > 0, dann gilt lim √𝑐 = 1
𝑛→∞
Satz 1: Seien {𝑎𝑛 }, {𝑏𝑛 } reelle und konvergente Zahlenfolgen
i)
Wenn 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ∀𝑛 ≥ 𝑛1 ⟶ lim 𝑎𝑛 ≤ lim 𝑏𝑛
𝑛→∞
ii)
𝑛→∞
Wenn 𝑎𝑛 ⟶ 𝑎 und 𝑏𝑛 ⟶ 𝑏 für 𝑛 ⟶ ∞ sowie 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ∀𝑛 ≥ 𝑛1 , dann gilt auch
𝑐𝑛 ⟶ 𝑎 für 𝑛 ⟶ ∞ (Sandwich).
Bemerkung: 𝑎𝑛 < 𝑏𝑛 ∀𝑛 ≥ 𝑛1 ↛ lim 𝑎𝑛 < lim 𝑏𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
1
Beispiel: 𝑎𝑛 = 0 ∀𝑛 𝑏𝑛 = > 0 ⟶ lim 𝑎𝑛 = lim 𝑏𝑛 = 0
𝑛→∞
𝑛→∞
n
Beispiel: lim (√𝑛 + 1 − √𝑛) Typ "∞ − ∞"
𝑛→∞
= lim
(√𝑛 + 1 − √𝑛)(√𝑛 + 1 + √𝑛)
(√𝑛 + 1 + √𝑛)
𝑛→∞
= lim
𝑛→∞ √𝑛
Beispiel: lim √𝑛(√𝑛 + 1 − √𝑛) = lim √𝑛
𝑛→∞
𝑛+1−1
𝑛→∞
+ 1 + √𝑛
= lim
𝑛→∞ √𝑛
1
+ 1 + √𝑛
≤ lim
1
𝑛→∞ √𝑛
=0
1
(√𝑛 + 1 − √𝑛)(√𝑛 + 1 + √𝑛)
√𝑛
= lim
=
𝑛→∞ √𝑛 + 1 + √𝑛
2
(√𝑛 + 1 + √𝑛)
𝑛
Es gilt: lim √𝑛 = 1
𝑛→∞
𝑛
Beweis: lim √𝑛 − 1 = 0 = 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝑛(𝑛 − 1) 2
𝑛(𝑛 − 1) 2
𝑛 = (𝑎𝑛 + 1)𝑛 = 1 + 𝑛 ⋅ 𝑎𝑛 +
𝑎𝑛 + ⋯ ≥ 1 +
𝑎𝑛
2
2
𝑛(𝑛 − 1) 2
2
⟶𝑛−1≥
𝑎𝑛 ⟶ ≥ 𝑎𝑛2 ≥ 0
2
𝑛
2
⟶ 0 𝑎𝑛2 ⟶ 0 𝑎𝑛 ⟶ 0
𝑛
Definition: Eine Folge {𝑎𝑛 }∞
𝑛=1 heißt monoton wachsend (bzw. fallend) wenn 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 ∀𝑛
(bzw. 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 ). Existiert eine Schranke 𝑐 > 0, so dass |𝑎𝑛 | ≤ 𝑐 ∀𝑛, so heißt {𝑎𝑛 }
beschränkt.
71
Satz 2: Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.
𝑐𝑛
= 0 = 𝑎𝑛
𝑛→∞ 𝑛!
𝑐𝑛
𝑐
𝑐
𝑐
𝑎𝑛+1 = 𝑛! ⋅ 𝑛+1 = 𝑎𝑛 ⋅ 𝑛+1 ⟶ für hinreichend großes n ⟶ 𝑛+1 < 1 ⟶ 𝑎𝑛+1 < 𝑎𝑛
{𝑎𝑛 } ist monoton fallend 𝑎𝑛 ≥ 0. Folge ist beschränkt.
Beispiel: lim
𝑐𝑛
Nach Satz 2 existiert ein Grenzwert lim
=𝑎
𝑛→∞ 𝑛!
𝑐
𝑎𝑛+1 ⟶ 𝑎 𝑎𝑛 ⟶ 𝑎
⟶0 ⟶𝑎=0
𝑛+1
1 𝑛
Betrachten: lim (1 + ) = 𝑒
𝑛→∞
𝑛
∞
1 1
1
Aus Beweis sieht man 𝑒 = 1 + 1 + + + ⋯ = ∑
2! 3!
𝑛!
𝑛=0
Definition:
Eine Folge {𝑎𝑛 }, die nicht konvergiert, heißt divergent. Sie heißt „bestimmend divergent“
gegen +∞ (bzw. −∞), wenn ∀𝑐 > 0 (bzw. ∀𝑐 < 0) 𝑎𝑛 ≥ 𝑐 ∀𝑛 ≥ 𝑛0 (bzw. 𝑎𝑛 ≤ 𝑐 ∀𝑛 ≥
𝑛0 )
lim 𝑎𝑛 = +∞ (bzw. lim 𝑎𝑛 = −∞)
𝑛→∞
𝑛→∞
Beispiel:
𝑎𝑛 = 1 + (−1)𝑛 𝑎1 = 0 𝑎2 = 2 𝑎3 = 0 𝑎4 = 2 … divergent
𝑛!
lim 𝑛 = +∞ 𝑐 > 0 bestimmt divergent
𝑛→∞ 𝑐
3.2
Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen
Definition:
Sei 𝐷 ⊂ ℝ. Ein Punkt x0 heißt Häufungspunkt (HP) der Menge D, wenn eine Folge von
Punkten 𝑥𝑛 ∈ 𝐷, 𝑥𝑛 ≠ 𝑥0 ∀𝑛 existiert mit lim 𝑥𝑛 = 𝑥0 .
𝑛→∞
Beispiel 1: 𝐷 = (0,1]
1
1
für 1: 1 − 𝑛 ∈ 𝐷 𝑛 = 2,3, … lim 1 − 𝑛 = 1
1 1
𝑛→∞
1
1
1
1
für 2: 2 − 𝑛 ∈ 𝐷 𝑛 = 3,4, … lim 2 − 𝑛 = 2
𝑛→∞
Beispiel 2: Jede reelle Zahl ist HP von ℚ
Definition: Grenzwert einer Funktion
𝑓: 𝐷(𝑓) ⟶ ℝ sei eine Funktion einer reellen Veränderlichen, x0 sei HP von 𝐷(𝑓). Man sagt,
dass f im Punkt x0 den Grenzwert a hat, wenn für jede gilt x0 konvergente Folge {𝑥𝑛 }, 𝑥𝑛 ∈
𝐷(𝑓) 𝑥𝑛 ≠ 𝑥0 gilt lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 0 lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 (??Satz verbessern, ergänzen??)
𝑛→∞
𝑥→𝑥0
72
Bemerkung: Es ist nicht gefordert, dass x0 zum Definitionsbereich gehört.
1
Beispiel: 𝑓(𝑥) = 𝑥 ⋅ sin 𝑥
1
In 𝑥0 = 0 ist f nicht definiert, x0 ist aber Häufungspunkt von 𝐷(𝑓) = ℝ ∖ {0} lim 𝑥 sin 𝑥 =
𝑥→0
0.
1 𝑥>0
Beispiel: 𝑓(𝑥) = sgn 𝑥 = { 0 𝑥 = 0
−1 𝑥 < 0
1
1
lim 𝑓(𝑥) existiert nicht, denn lim f ( ) = 1 lim f (− ) = −1
𝑥→0
𝑛→∞
𝑛→∞
n
n
Definition des einseitigen Grenzwertes
Gilt für jede Folge {𝑥𝑛 } mit 𝑥𝑛 ⟶ 𝑥0 , 𝑥𝑛 ∈ 𝐷(𝑓), 𝑥𝑛 > 𝑥0 (bzw. 𝑥𝑛 < 𝑥0 ) die Eigenschaft
lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑎, so heißt a rechtsseitiger (bzw. linksseitiger) Grenzwert in x0.
𝑛→∞
Schreibweise:
𝑎 = lim 𝑓(𝑥) (bzw. 𝑎 = lim 𝑓(𝑥))
𝑥↓𝑥0
𝑥↑𝑥0
oder 𝑎 = lim 𝑓(𝑥) (bzw. 𝑎 = lim 𝑓(𝑥))
𝑥→𝑥0 +0
𝑥→𝑥0 −0
oder 𝑎 = 𝑓(𝑥 + 0) (𝑏𝑧𝑤. 𝑎 = 𝑓(𝑥0 − 0))
Beispiel: 𝑓(𝑥) = sgn 𝑥 𝑥0 = 0 𝑓(−0) = lim sgn 𝑥 = −1 𝑓(+0) = lim sgn 𝑥 = 1
𝑥↑0
𝑥↓0
Ist x0 sowohl Häufungspunkt von 𝐷(𝑓) ∩ {𝑥|𝑥 < 𝑥0 } als auch von 𝐷(𝑓) ∩ {𝑥|𝑥 > 𝑥0 }, so
lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 ⟺ lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) = 𝑎
𝑥→𝑥0
𝑥↑𝑥0
𝑥↓𝑥0
Satz 3: Vorausgesetzt sei die Existenz von lim 𝑓(𝑥) und lim 𝑔(𝑥), dann gilt
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
lim (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim 𝑓(𝑥) ± lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
lim 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = lim 𝑓(𝑥) ⋅ lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
lim 𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) 𝑥→𝑥0
=
, falls lim 𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑥→𝑥0 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑥0
lim 𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑥0
Satz 4: gilt 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ⟶ lim 𝑓(𝑥) ≤ lim 𝑔(𝑥)
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Wenn zusätzlich gilt 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) und lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 𝑎, so folgt auch
𝑥→𝑥0
lim ℎ(𝑥) = 𝑎.
𝑥→𝑥0
73
𝑥→𝑥0
P1
1
P
tan x
sin x
x
0
cos x
Q1
A1 = Fläche des Dreiecks 0Q1P
A2 = Fläche des Sektors 0Q1P
A3 = Fläche des Dreiecks 0Q1P1
𝜋
𝐴1 < 𝐴2 < 𝐴3 0 < 𝑥 <
2
1
𝐴1 = sin 𝑥
2
1
𝑥
𝐴2 = 𝑥 (𝑟 2 𝜋 ⋅ )
2
2𝜋
1
𝐴3 = tan 𝑥
2
𝜋
sin 𝑥 < 𝑥 < tan 𝑥 0 < 𝑥 <
2
sin 𝑥
sin 𝑥
sin 𝑥
𝜋
<1 𝑥<
⟶ cos 𝑥 <
< 1 für 0 < 𝑥 <
𝑥
cos 𝑥
𝑥
2
𝑓(𝑥)
ℎ(𝑥)
𝑥
𝑥 2
𝑥2
2
⏞
⏞𝑥 = 2 sin ( ) < 2 ( ) =
lim cos 𝑥 = 1 denn 0 ≤ 1 − cos
⏟
⟶0
𝑥→0
2
2 𝑔(𝑥) 2
⟶ lim ℎ(𝑥) = 0 ⟶ lim cos 𝑥 = 1
𝑥→0
𝑥→0
sin 𝑥
0
sin 𝑥
𝜋
lim
= 1 vom Typ denn cos
⏟𝑥 <
< ⏟
1 0<𝑥<
⏟
𝑥→0 𝑥
0
𝑥
2
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
ℎ(𝑥)
sin 𝑥
lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 1 ⟶ lim
=1
𝑥→0
𝑥→0
𝑥↓0 𝑥
Linksseitiger Grenzwert:
sin 𝑥
sin(−𝑦)
− sin 𝑦
sin 𝑦
lim
= lim
= lim
= lim
=1
𝑥↑0 𝑥
−𝑦↑0
𝑦↓0 −𝑦
𝑦↓0 𝑦
−𝑦
1
lim(1 + 𝑥)𝑥 = 𝑒
𝑥→0
Definition:
Es sei x0 ein Häufungspunkt von 𝐷(𝑓). Gilt lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = +∞ für alle Folgen {𝑥𝑛 } mit 𝑥𝑛 ∈
𝑛→∞
𝐷(𝑓), 𝑥𝑛 ≠ 𝑥0 , 𝑥𝑛 ⟶ 𝑥0 dann schreiben wir lim 𝑓(𝑥) = +∞. Analog lim 𝑓(𝑥) = −∞. In
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
diesen Fällen heißt x0 Polstelle.
1
Beispiel: 𝑓(𝑥) = 𝑥, Polstelle x = 0
Beispiel: rechtsseitige Polstelle
Definition:
Sei 𝑓: 𝐷(𝑓) ⟶ ℝ und x0 ein fester Punkt aus 𝐷(𝑓). f heißt stetig in x0, wenn ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 =
𝛿(𝜀) > 0, so dass |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )| < 𝜀 ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑓): |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿.
74
𝑓(𝑥0 ) − 𝜀 < 𝑓(𝑥0 ) < 𝑓(𝑥0 ) + 𝜀
f(x) + ε
Die Funktionswerte 𝑓(𝑥) weichen um weniger als ε von 𝑓(𝑥0 )
f(x)
ab, wenn nur x nah genug an x0 liegt. Und dies muss für ein
beliebiges 𝜀 > 0 gelten.
f(x) - ε
x0 - δ x0
x0 + δ
Ist 𝑀 ⊂ 𝐷(𝑓) und f stetig in allen Punkten von M, so heißt f stetig auf M. Ist 𝐷(𝑓) = ℝ und f
überall stetig, so heißt f eine stetige Funktion.
Beispiel 1: 𝑓(𝑥) = 𝑐 ist stetig, da 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) = 0 < 𝜀 ∀𝜀, ∀𝑥
Beispiel 2: 𝑓(𝑥) = 𝑥 ist stetig, |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 )| = |𝑥 − 𝑥0 | < 𝜀 falls |𝑥 − 𝑥0 | < 𝜀, 𝛿(𝜀) = 𝜀
Definition:
x0 sei HP. f ist stetig in x0 genau dann, wenn aus 𝑥𝑛 ∈ 𝐷(𝑓) und 𝑥𝑛 ⟶ 𝑥0 folgt 𝑓(𝑥𝑛 ) ⟶
𝑓(𝑥0 ) für beliebige {𝑥𝑛 } mit 𝑥𝑛 ⟶ 𝑥0 .
Satz 5:
𝑓
i)
sind f und g in x0 stetig, so ist dies durch 𝑓 ± 𝑔, 𝑓 ⋅ 𝑔 und 𝑔 falls 𝑔(𝑥0 ) ≠ 0
ii)
sind f und g stetige Funktionen, so ist es auch die mittelbare Funktion ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Beispiel 3: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
Beispiel 4: alle Polynome mit konstanten Koeffizienten sind stetig
Beispiel 5: alle gebrochen rationale Funktionen sind in ihrem Definitionsgebiet stetig
Beispiel 6: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 |sin 𝑥 − sin 𝑥0 | ≤ |𝑥 − 𝑥0 | < 𝜀 falls |𝑥 − 𝑥0 | < 𝛿 = 𝜀
𝑥 + 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
𝑥 − 𝑥0
|sin 𝑥 − sin 𝑥0 | = 2 |cos
⋅ sin
| ≤ 2 |sin
| ≤ 2|
| = |𝑥 − 𝑥0 |
2
2
2
2
𝜋
Beispiel 7: 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 cos 𝑥 = sin (𝑥 + 2 ) sind stetig
Beispiel 8: tan 𝑥, cot 𝑥 stetig auf Definitionsgebiet
Beispiel 9: ex ist stetig
Unstetige Funktion
1
Beispiel 1: Heaviside Funktion 𝐻(𝑥) = {
0
𝑥≥0
𝑥<0
1 𝑥>0
Beispiel 2: sgn 𝑥 = { 0 𝑥 = 0
−1 𝑥 < 0
1
1
-1
Beispiel 3: Sägezahnfunktion
1
1
𝑥−𝑛 𝑛− <𝑥 <𝑛+
2
2
𝑓(𝑥) = {
1
0
𝑥 =𝑛+
2
1
2
Klassifikation von Unstetigkeitsstellen
f sei unstetig in x0
75
1
2
Fall a)
Die einseitigen Grenzwerte 𝑓(𝑥0 − 0) und 𝑓(𝑥0 + 0) existieren beide und sind endlich.
(Unstetigkeit 1. Art)
𝑓(𝑥0 − 0) = 𝑓(𝑥0 + 0) ≠ 𝑓(𝑥0 )
x0
oder 𝑓(𝑥0 − 0) ≠ 𝑓(𝑥0 + 0)
x0
Fall b)
𝑓(𝑥0 − 0) oder 𝑓(𝑥0 + 0) existieren nicht (oder sind ±∞) (Unstetigkeit 2. Art)
1
z.B. 𝑥, 𝑥0 = 0 Polstelle
Satz: wenn f stetig ist, dann gilt lim 𝑓(𝑥) = 𝑓 ( lim 𝑥) = 𝑓(𝑥0 )
𝑥→𝑥0
𝑥→𝑥0
Beispiel: lim cos x = cos (lim x) = cos 0 = 1
x→0
x→0
Satz 6: Zwischenwertsatz für stetige Funktionen
Ist 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ stetig und y eine beliebige Zahl, die echt zwischen 𝑓(𝑎) und 𝑓(𝑏) liegt (d.h.
𝑓(𝑎) < 𝑦 < 𝑓(𝑏) oder 𝑓(𝑎) > 𝑦 > 𝑓(𝑏)), so gibt es mindestens eine 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) mit 𝑓(𝑥) =
𝑦.
Beweis: Löwenfangmethode
Siehe Quicksearch in Informatik. Immer Halbierung des gesuchten Bereichs.
y
a
x b
Die Umkehrfunktion einer streng monotonen und stetigen Funktion ist auf ihrem
Definitionsgebiet stetig.
𝑛
Folgerung: Stetigkeit von den Arkusfunktionen √𝑥, Logarithmus, Areafunktion
3.3
Differentiation einer Funktion
3.3.1
Ableitung und Differential
Definition:
Eine Funktion f einer reellen Veränderlichen heißt differenzierbar im Punkt 𝑥0 ∈ 𝐷(𝑓), wenn
der Grenzwert
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
lim
= 𝑓′(𝑥0 )
ℎ→0
ℎ
in ℝ existiert. Dabei ist vorausgesetzt, dass f in einer Umgebung von x 0 definiert ist. Die Zahl
𝑓′(𝑥0 ) heißt Ableitung von f an der Stelle x0. Ist f in allen Punkten einer Menge M
differenzierbar, so heißt f differenzierbar auf M. Ist f differenzierbar auf 𝐷(𝑓), so heißt f
differenzierbar.
76
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
𝑐−𝑐
= lim
=0
ℎ→0
ℎ→0 ℎ
ℎ
f ist differenzierbar, 𝑓′(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
Beispiel 1: 𝑓(𝑥) = 𝑐
lim
Beispiel 2: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑛 ∈ ℕ
(𝑥0 + ℎ)𝑛 − (𝑥0 )𝑛
𝑥0𝑛 + 𝑛𝑥0𝑛−1 ℎ + ⋯ + ℎ𝑛 − 𝑥0𝑛
= lim
= lim (𝑛𝑥0𝑛−1 + ⋯ + ℎ𝑛−1 ) = 𝑛𝑥0𝑛−1
ℎ→0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
lim
(𝑥 𝑛 )′ = 𝑛𝑥 𝑛−1
Beispiel 3: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥
lim
sin(𝑥0 + ℎ) − sin 𝑥0
ℎ
ℎ→0
(sin 𝑥)′ = cos 𝑥
= lim
ℎ
ℎ
2 cos (𝑥0 + 2) sin 2
ℎ
ℎ→0
ℎ
ℎ sin 2
= lim cos (𝑥0 + ) ⋅
= cos 𝑥0
ℎ
ℎ→0
2
2
(cos 𝑥)′ = − sin 𝑥
Beispiel 4: (𝑒 𝑥 )′ = 𝑒 𝑥
Das Differential
f(x+dx)
dy
f(x)
x
Δy
𝑑𝑥 = Δ𝑥 = 𝑥1 − 𝑥
Δ𝑦 = 𝑓(𝑥1 ) − 𝑓(𝑥)
𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥
Allgemein: Δ𝑦 ≠ 𝑑𝑦
x+dx
Gleichung der Tangente:
𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥)𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) ⋅ (𝑥1 − 𝑥) + 𝑓(𝑥)
𝑑𝑦 = 𝑦 − 𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ⋅ (𝑥1 − 𝑥)
Die Größe 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥 heißt Differenzial von f an der Stelle x (Differential kann unendlich
groß sein).
Untersuchung des Restgliedes (Δy – dy)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
⟺ lim (𝑓 ′ (𝑥) −
)=0
ℎ→0
ℎ→0
ℎ
ℎ
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥)ℎ + 𝑟(𝑥, ℎ), r = Restglied, Fehler
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑟(𝑥, ℎ)
= 𝑓 ′ (𝑥) +
ℎ
ℎ
𝑟(𝑥, ℎ)
0 = lim
ℎ→0
ℎ
𝑓 ′ (𝑥) = lim
Das Restglied wird von höherer Ordnung o sein als h. 𝑟(𝑥, ℎ) = 𝑜(ℎ) ⟶ o von h.
Folgerung: lim 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 0
ℎ→0
Wenn f differenzierbar ist, ist f stetig!
Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion muss nicht stetig sein.
77
1
Beispiel: 𝑓(𝑥) = {
𝑥 sin 𝑥
𝑥≠0
0
𝑥=0
Beispiel 5: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝜇 𝜇 ∈ ℝ, 𝑥 > 0
𝜇
(𝑥0 + ℎ) −
ℎ→0
ℎ
lim
𝜇
𝑥0
𝜇−1
= 𝑥0
lim
ℎ 𝜇
(1 + 𝑥 ) − 1
0
ℎ
𝑥0
ℎ→0
(𝑥 𝜇 )′ = 𝜇𝑥 𝜇−1
3.3.2
𝜇−1
= 𝜇𝑥0
Differentiationsregeln
(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔)′ = 𝛼𝑓 ′ + 𝛽𝑔′
(𝑓 ⋅ 𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔′
Produktregel
𝑓 ′ 𝑓 ′ 𝑔 − 𝑓𝑔′
( ) =
𝑔
𝑔2
Quotientenregel
sin 𝑥 ′ cos 𝑥 cos 𝑥 − sin 𝑥 (− sin 𝑥)
1
(tan 𝑥)′ = (
) =
=
2
cos 𝑥
cos 𝑥
cos2 𝑥
Sind f und g differenzierbar und 𝑓 ∘ 𝑔 erklärt, dann gilt:
′
(𝑓(𝑔(𝑥))) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) ⋅ 𝑔′(𝑥) Kettenregel
Beispiel:
(𝑎 𝑥 )′ = 𝑎 𝑥 ⋅ ln 𝑎
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑧
=
⋅
𝑑𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥
Ableitung von Umkehrfunktion
𝑦 = 𝑓(𝑥), die Umkehrfunktion soll existieren, f stetig, f differenzierbar.
y
𝑓 −1 (𝑦) = 𝑓 −1 (𝑓(𝑥)) = 𝑥
y  f x 
x  f 1  y 
x
Austausch der Variablen 𝑥 ⟷ 𝑦
𝑦 = 𝑓 −1 (𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟺ 𝑥 = 𝑓(𝑦)
𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥0 )
𝑦 − 𝑦0
1
1
1
=
=
→
=
𝑥 − 𝑥0
𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑦0 ) 𝑓(𝑦) − 𝑓(𝑦0 ) 𝑦→𝑦0 𝑓′(𝑦0 ) 𝑓′(𝑓 −1 (𝑥0 ))
𝑦 − 𝑦0
Wir zeigten:
𝑓 −1 (𝑥)−𝑓 −1 (𝑥0 )
𝑥−𝑥0
→
1
𝑥→𝑥0 𝑓′(𝑓 −1 (𝑥0 ))
Satz 7:
78
Ist f streng monoton und stetig in einer Umgebung des Punktes y0 und es existiere in y0 die
Ableitung 𝑓′(𝑦0 ) ≠ 0, dann ist die Umkehrfunktion 𝑓 −1 im Punkt 𝑥0 = 𝑓(𝑦0 ) differenzierbar
und es gilt:
(𝑓 −1 )′ (𝑥0 ) =
𝑑𝑦
1
1
1
=
=
𝑓′(𝑦0 ) 𝑓′(𝑓 −1 (𝑥0 )) 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
Beispiel: 𝑦 = ln 𝑥 ⟶ 𝑥 = 𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑦)
(ln 𝑥)′ =
(arcsin 𝑥)′ =
Beispiel: 𝑦 = arcsin 𝑥 ⟶ 𝑥 = sin 𝑦
(arccos 𝑥)′ = −
1
√1 − 𝑥 2
(arctan 𝑥)′ =
1
1
1
=
=
(𝑒 𝑥 )′ 𝑒 𝑦 𝑥
1
1
1
1
=
=
=
(sin 𝑦)′ cos 𝑦 √1 − sin2 𝑦 √1 − 𝑥 2
1
1 + 𝑥2
(arccot 𝑥)′ = −
1
1 + 𝑥2
Es gibt stetige Funktionen, die in einem (oder mehrere, auch unendlich viele) Punkte keine
Ableitung besitzen.
Definition: Rechts- und Linksseitige Ableitung
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
(rechtsseitig) (ℎ ↓ 0 = ℎ fällt gegen Null)
ℎ↓0
ℎ
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0 )
(linksseitig) (ℎ ↑ 0 = ℎ steigt gegen Null)
𝑓 ′ (𝑥0 − 0) = lim
ℎ↑0
ℎ
𝑓 ′ (𝑥0 + 0) = lim
Beispiel: 𝑦 = |𝑥| = 𝑓(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥 + 0) = 1 𝑓 ′ (𝑥 − 0) = −1
Implizite Differentiation
𝑥
Beispiel: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 Wir leiten die Gleichung nach x ab: 2𝑥 + 2𝑦𝑦 ′ = 0 ⟶ 𝑦 ′ = − 𝑦
Ableitung der Hyperbel- und Areafunktionen
1
1
(sinh 𝑥)′ = cosh 𝑥 (cosh 𝑥)′ = sinh 𝑥 (tanh 𝑥)′ =
(coth 𝑥)′ = −
cosh2 𝑥
sinh2 𝑥
1
1
(arsinh 𝑥)′ =
(arcosh 𝑥 ′ ) = 2
√1+𝑥2
√𝑥
1
−1
′
𝑥>1
1
(artanh 𝑥)′ =
|𝑥| < 1 (arcoth 𝑥) = − 2
|𝑥| > 1
1−𝑥 2
𝑥 −1
3.3.3
Der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen
Satz 8: Fermat
Ist f auf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar und hat f in 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) ein lokales
Maximum oder Minimum, so gilt 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0. Lokales Minimum x0 mit 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0 ) ∀𝑥 in
kleiner Umgebung von x0. Randpunkte a, b werden im Satz nicht behandelt.
Beweis: Sei z.B.
1)
x0 lokales Minimum 𝑥 > 𝑥0 𝑥 ⟶ 𝑥0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )
𝑥−𝑥0
79
≥ 0 ⟶ 𝑓′(𝑥0 + 0) ≥ 0
𝑥 < 𝑥0 𝑥 ⟶ 𝑥0
2)
Da f differenzierbar ist,
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )
𝑥−𝑥0
gilt 𝑓 ′ (𝑥0
≤ 0 ⟶ 𝑓′(𝑥0 − 0) ≤ 0
+ 0) = 𝑓 ′ (𝑥0 − 0) = 0
Satz 9: von Rolle
Ist 𝑓(𝑥) stetig auf [a, b] und differenzierbar in (a, b) und gilt 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) so existiert ein
𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) mit 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0.
′
𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑓 (𝑥) = 0
′
es existiert 𝑓 (𝑥) = 0
a
b
Satz 10: 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar in (a, b), so gibt es ein 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) und
Parallel
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
= 𝑓′(𝑥0 )
. Anstieg der Tangente = Anstieg der Sekante.
x0
Folgerung: 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥 + 𝜗ℎ)ℎ mit gewissen 𝜗 ∈ (0,1) (Formel von Lagrange)
Verallgemeinerung des 1. Mittelwertsatzes: erfüllt g ebenfalls die Voraussetzungen des 1.
Mittelwertsatzes und gilt 𝑔′(𝑥) ≠ 0 auf (a, b) so ∃𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏).
2. Mittelwertsatz
3.3.4
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑓′(𝑥0 )
=
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) 𝑔′(𝑥0 )
Ableitungen höherer Ordnung
𝑓 ′′ (𝑥) = (𝑓′(𝑥))′ heißt 2. Ableitung von f. Voraussetzung ist es, dass 𝑓′(𝑥) wiederum als
Funktion eine Ableitung besitzt.
𝑓 ′′′ (𝑥) = (𝑓′′(𝑥))′
𝑓 (𝑛) (𝑥) = (𝑓 (𝑛−1) (𝑥)) ′ ⟶
𝑑𝑛 𝑓
𝑑𝑥 𝑛
𝜋
Beispiel: (sin 𝑥)′ = cos 𝑥 = sin (𝑥 + 2 ) (sin 𝑥)′′ = sin(𝑥 + 𝜋)
𝜋
𝜋
(sin 𝑥)(𝑛) = sin (𝑥 + 𝑛 ) (cos 𝑥)(𝑛) = cos (𝑥 + 𝑛 )
2
2
Leibnitzsche Formel
𝑛
(𝑛)
(𝑢 ⋅ 𝑣)
3.3.5
𝑛
= ∑ ( ) 𝑢(𝑢−𝑖) 𝑣 𝑖
𝑖
Beweis über vollständige Induktion
Die l’Hospitalsche Regel
Satz: 𝑓, 𝑔: (𝑎, 𝑏) ⟶ ℝ seien in (a, b) differenzierbar und es gelte lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 0
𝑥↑𝑏
oder lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = +∞
𝑥↑𝑏
𝑥↑𝑏
80
𝑥↑𝑏
Ferner gelte 𝑔′(𝑥) ≠ 0 auf (a, b), dann gilt
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
lim
= lim
𝑥↑𝑏 𝑔(𝑥)
𝑥↑𝑏 𝑔′(𝑥)
falls der rechts stehende Grenzwert existiert.
Erklärung: Anstatt Grenzwert von
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
zu berechnen, kann man den Grenzwert von
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
berechnen.
sin 𝑥
cos 𝑥
0
(vorher Typ , nach Ableitung lösbar)
= lim
=1
0
𝑥→0 𝑥
𝑥→0 1
1 − cos 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
0
Beispiel 2: lim 𝑥
= lim 𝑥
= lim 𝑥 = 1 (vorher Typ 0, nach Ableitung lösbar)
𝑥→0 𝑒 − 1 − 𝑥
𝑥→0 𝑒 − 1
𝑥→0 𝑒
Beispiel 1:
lim
Bemerkung: Der Satz gilt analog für 𝑥 ↓ 𝑎, 𝑥 ↑ +∞, 𝑥 ↓ −∞
Beispiel 3:
𝑒 𝑎𝑥
𝑎𝑒 𝑎𝑥
= lim
= +∞
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 1
𝜇
𝑎 > 0 lim
𝑎
𝑥
𝑒 𝑎𝑥
𝑎𝑒 𝜇
𝜇 > 0 lim 𝜇 = ( lim
) = +∞
𝑥→∞ 𝑥
𝑥→∞ 𝑥
zμ stetige Funktion
Die Exponentialfunktion wächst stärker als jede Potenzfunktion gegen unendlich.
Behandlung unbestimmter Ausdrücke der Form 0 ⋅ ∞, ∞ − ∞
Fall 0 ⋅ ∞, 𝑔 ⟶ 0, 𝑓 ⟶ ∞
𝑔(𝑥) ⋅ 𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥)
=
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)
∞
0
(erst Typ 0 ⋅ ∞, dann ∞ und zuletzt 0)
1
ln 𝑥
1 𝜇
𝑥
Beispiel: lim 𝑥 ⋅ ln 𝑥 = lim −𝜇 = lim
=
lim
𝑥 =0
𝑥↓0
𝑥↓0 𝑥
𝑥→0 −𝜇𝑥 −𝜇−1
𝑥→0 −𝜇
𝑥 𝜇 strebt schneller gegen 0 als Logarithmus gegen −∞
𝜇
Fall ∞ − ∞, 𝑓 ⟶ ∞, 𝑔 ⟶ ∞
1 1
1 1 𝑔−𝑓
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = − =
1 1
1 1
⋅
𝑓 𝑔
𝑓 𝑔
1
1
𝑥 − sin 𝑥
1 − cos 𝑥
sin 𝑥
0
Beispiel: lim (
− ) = lim
= lim
= lim
= =0
𝑥↓0 sin 𝑥
𝑥↓0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
𝑥 sin 𝑥
sin 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥
2 cos 𝑥 − 𝑥 sin 𝑥 2
3.3.6
Satz von Taylor
Ziel ist die Darstellung unbekannter Funktionen mit Hilfe von Polynomen anzunähern.
81
Betrachten des Polynoms 𝑓(𝑥) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑥 𝑛
Beobachtung 𝑓(0) = 𝑐0 , 𝑓′(0) = 𝑐1 , 𝑓′′(0) = 2𝑐2 , …, 𝑓 (𝑛) (0) = 𝑛! 𝑐𝑛
𝑓′′(0) 2
𝑓 (𝑛) (0) 𝑛
′(0)
𝑓(𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓
⋅𝑥+
𝑥 + ⋯+
𝑥
2!
𝑛!
𝑓′(𝑥0 )
𝑓 (𝑛) (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 ) + ⋯ +
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛
analog 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +
1!
𝑛!
Satz: Taylorsche Formel
𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ sei n-mal stetig differenzierbar und 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) existiere im (a, b). Dann gilt für
jedes 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]:
𝑓′(𝑥0 )
𝑓′′(𝑥0 )
𝑓 (𝑛) (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 ) +
(𝑥 − 𝑥0 )2 + … +
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 + 𝑅𝑛 (𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +
1!
2!
𝑛!
und für das Restglied 𝑅𝑛 (𝑥) =
𝑓 (𝑛+1) (𝜉)
(𝑥
(𝑛+1)!
− 𝑥0 )𝑛+1 wobei 𝜉 = 𝑥0 + 𝜗(𝑥 − 𝑥0 ) und 0 <
𝜗 < 1.
Bemerkung:
falls 𝑥0 < 𝑥 𝑥0 < 𝑥0 + 𝜗(𝑥 − 𝑥0 ) < 𝑥
falls 𝑥0 > 𝑥 𝑥0 > 𝑥0 + 𝜗(𝑥 − 𝑥0 ) > 𝑥
𝜗 kann nicht genau bestimmt werden
für 𝑛 = 0: 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +
𝑓 ′ (𝜉)
1!
(𝑥 − 𝑥0 ) ⟶ 𝑓 ′ (𝜉) =
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0 )
𝑥−𝑥0
Mittelwertsatz
Beispiel 1:
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑥0 = 0 𝑓(0) = 1
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓 (𝑛) (𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑓 (𝑛) (0) = 1
1
1
1
𝑒 0+𝜗(𝑥−0)
(𝑥 − 0)𝑛+1
𝑒 𝑥 = 1 + (𝑥 − 0) + (𝑥 − 0)2 + ⋯ + (𝑥 − 0)𝑛 +
(𝑛 + 1)!
1!
2!
𝑛!
𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +
𝑛
𝑥2
2!
+⋯+
𝑥𝑛
𝑛!
𝑒 𝜗𝑥
+ 𝑅𝑛 mit 𝑅𝑛 = (𝑛+1)! 𝑥 𝑛+1 für ein festes aber beliebiges x
𝑘
𝑒𝑥 = ∑
𝑘=0
𝑥
+ 𝑅𝑛 (𝑥)
𝑘!
𝑒 𝜗𝑥 = 𝐾1 konstant bezüglich n
𝑥 𝑛+1
(𝑛+1)!
𝑥⋅…⋅𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝐾2 =konst. bzgl. 𝑛
𝑅𝑛 →
𝑥
𝑥
= 1⋅2⋅…⋅(𝑛+1) ⟶ wähle Konstante 𝑘 ≥ 𝑥 ⟶= ⏟
⋅ ⋅ …⋅𝑘 ⋅⏟
⋅ … ⋅ 𝑛+1
1 2
𝑘+1
𝑛→∞
𝐾1 ⋅ 𝐾2 ⋅ 0 = 0
Ergebnis: Für jede Zahl 𝑥 ∈ ℝ gilt die Taylorreihe:
∞
𝑥
𝑒 =∑
𝑛=0
𝑥𝑛
𝑛!
speziell für 𝑥 = 1:
1 1
1
𝑒 = 1 + 1 + + + ⋯ + + 𝑅𝑛
2 6
𝑛!
1
𝜗⋅1
𝑅𝑛 = 𝑒 ⋅ (𝑛+1)! 𝜗 = 1 (legen wir fest)
82
→0 wenn 𝑛→∞
𝑒
𝑅𝑛 = (𝑛+1)! bei 𝑛 = 4 Fehler =
1
120
Beispiel 2: 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 für alle x differenzierbar
𝑓(𝑥) = sin 𝑥
𝑓(0) = 0
𝑓′(𝑥) = cos 𝑥
𝑓′(0) = 1
𝑓′′(𝑥) = − sin 𝑥
𝑓′′(0) = 0
′′′ (𝑥)
𝑓
= − cos 𝑥 𝑓′′′(0) = −1
⋮
⋮
0
𝑛 = gerade
(𝑛)
𝑓 (0) = {
(−1)𝑚−1 𝑛 = 2𝑚 − 1
1
𝑥3 𝑥5
𝑥 2𝑚−1
𝑚−1
sin 𝑥 = 𝑥 − + ± ⋯ + (−1)
⋅
+ 0 + 𝑅2𝑚
(2𝑚 − 1)!
1!
3! 5!
(−1)𝑚
mit 𝑅2𝑚 =
⋅ 𝑥 2𝑚+1 cos(𝜗𝑥)
(2𝑚 + 1)!
𝑥 2𝑚+1
𝑚
Abschätzung des Restgliedes: |𝑅2𝑚 | = |(−1)
cos 𝜗𝑥| |(2𝑚+1)!|
⏟
⏟
𝑚→∞
0
wie bei 𝑒 𝑥
Ergebnis:
∞
(−1)𝑚−1 2𝑚−1
𝑥3 𝑥5
sin 𝑥 = 𝑥 − + ± ⋯ = ∑
𝑥
(2𝑚 − 1)!
3! 5!
𝑚=1
Wichtige Taylorreihen wie diese sollte man auswendig können.
Beispiel 3: 𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 1) in 𝑥0 = 0
𝑓(𝑥) = ln(𝑥 + 1)
𝑓(0) = 0
′ (𝑥)
−1
𝑓
= (𝑥 + 1)
𝑓 ′ (0) = 1
𝑓 ′′ (𝑥) = −(𝑥 + 1)−2
𝑓 ′′ (0) = −1
𝑓 ′′′ (𝑥) = (−1)(−2)(𝑥 + 1)−3
𝑓 ′′′ (0) = 2
𝑓 (𝑛) (𝑥) = (−1)𝑛−1 (𝑛 − 1)! ⋅ (𝑥 + 1)−𝑛 𝑓 (𝑛) (0) = (−1)𝑛−1 (𝑛 − 1)!
(−1)𝑛−1 (𝑛 − 1)! 𝑛
𝑥 2 2𝑥 3
ln(𝑥 + 1) = 𝑥 − +
− ⋯+
𝑥 + 𝑅𝑛
2!
3!
𝑛!
2
3
𝑛
𝑥
𝑥
𝑥
= 𝑥 − + − ⋯ + (−1)𝑛−1
+ 𝑅𝑛
2
3
𝑛
(−1)𝑛 𝑛!
𝑥 𝑛+1
Berechnung von 𝑅𝑛 = (𝜗𝑥+1)𝑛+1 ⋅ (𝑛+1)!
𝑥 𝑛+1
| ≤ 1 für 𝑥 ∈ [0,1]
(𝜗𝑥 + 1)𝑛+1
1
|𝑅𝑛 | ≤
lim 𝑅 = 0
𝑛 + 1 𝑛→∞ 𝑛
(−1)𝑛−1
1
1
z.B. 𝑥 = 1 ln 2 = 1 − 2 + 3 ± ⋯ + 𝑛 + 𝑅𝑛
|
1
|𝑅𝑛 | ≤
⟶ sehr schlechte Näherung für kleine n
𝑛+1
Ergebnis: für 𝑥 ∈ [−1,1] gilt:
83
∞
(−1)𝑚 2𝑚
𝑥2 𝑥4
cos 𝑥 = 1 − + ± ⋯ = ∑
𝑥
(2𝑚)!
2! 4!
𝑚=0
∞
𝑥2 𝑥3
𝑥𝑛
ln(𝑥 + 1) = 𝑥 − + ± ⋯ = ∑(−1)𝑛−1
2
3
𝑛
𝑛=1
Eingeschränkte Konvergenz der ln-Funktion.
Beweis des Taylorschen Satzes und weitere Formen des Restglieds
Wir gehen nach Burg/Haf/Wille, Band I (Analysis) vor und wählen zunächst eine natürliche
Zahl p aus, 1 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛 + 1, mit der wir eine sehr flexible Form des Restglieds erreichen
können. Wir haben die Taylorsche Formel
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0 ) +
𝑓 ′ (𝑥0 )
𝑓 (𝑛) (𝑥0 )
(𝑥 − 𝑥0 ) + ⋯ +
(𝑥 − 𝑥0 )𝑛 + 𝑅𝑛 (𝑥)
1!
𝑛!
(1)
zu diskutieren. Dabei ist nur zu beweisen, dass 𝑅𝑛 (𝑥) in der im Satz angegebenen Form
dargestellt werden kann, denn ansonsten ist (1) durch Umstellung nach 𝑅𝑛 (𝑥) immer zu
erfüllen.
Wenn wir in (1) die Zahl 𝑥 = 𝑥0 einsetzen, dann ist die Formel mit 𝑅𝑛 (𝑥) = 0 richtig, und
dies stimmt mit der Aussage des Satzes überein. Also können wir im Weiteren voraussetzen
𝑥 ≠ 𝑥0 . Als Ansatz für 𝑅𝑛 (𝑥) wählen wir
𝑅𝑛 (𝑥) = 𝑐(𝑥)(𝑥 − 𝑥0 )𝑝
(2)
mit einer von x abhängigen Konstante c und unserem gewählten p.
Nun wird – und das ist der entscheidende Trick – x0 durch eine Variable z ersetzt, und bei
festem x anstelle von f die Hilfsfunktion
𝑓 ′ (𝑧)
𝑓 (𝑛) (𝑧)
(𝑥
(𝑥 − 𝑧)𝑛 + 𝑐(𝑥)(𝑥 − 𝑧)𝑝
𝐹(𝑧) = 𝑓(𝑧) +
− 𝑧) + ⋯ +
1!
𝑛!
(3)
betrachtet. Sie sehen leicht, dass gilt 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) und 𝐹(𝑥0 ) = 𝑓(𝑥), also 𝐹(𝑥0 ) = 𝐹(𝑥).
Nun können wir den Satz von Rolle anwenden. (Dessen Voraussetzungen sind erfüllt, weil f
entsprechend oft stetig differenzierbar ist und 𝑓 (𝑛+1) noch existiert.) Nach diesem Satz
existiert eine Zwischenstelle 𝜉 zwischen x und x0, so dass
𝐹′ (𝜉) = 0
(4)
gilt. Wenn sie die in (3) definierte Funktion F nach z differenzieren, dann stellen sie zu ihrer
Überraschung fest, dass sich diese Ableitung auf den Ausdruck
𝑓 (𝑛+1) (𝑧)
′ (𝑧)
(𝑥 − 𝑧)𝑛 − 𝑝𝑐(𝑥)(𝑥 − 𝑧)(𝑝−1)
𝐹
=
𝑛!
reduziert. Wir setzen 𝑧 = 𝜉 ein und erhalten wegen der Gleichung (4)
𝑓 (𝑛+1) (𝑧)
(𝑥 − 𝜉)𝑛 − 𝑝𝑐(𝑥)(𝑥 − 𝜉)(𝑝−1)
𝑛!
𝑓 (𝑛+1) (𝜉)
(𝑥 − 𝜉)𝑛+1−𝑝
𝑐(𝑥) =
𝑛! 𝑝
0=
84
(5)
Setzen wir (5) in (2) ein, so folgt 𝑅𝑛 (𝑥) =
𝑓 (𝑛+1) (𝜉)
𝑛!𝑝
(𝑥 − 𝑥0 )𝑝 (𝑥 − 𝜉)𝑛+1−𝑝 . Das ist die Form
des Restglieds nach Schlömilch-Roche. Hier können wir noch frei über p verfügen.
Setzen
wir
𝑅𝑛 (𝑥) =
𝑓 (𝑛+1) (𝜉)
(𝑥
(𝑛+1)!
𝑝 = 𝑛 + 1,
speziell
so
entsteht
die
im
Satz
Form
− 𝑥0 )𝑛+1 , die Form nach Lagrange.
Durch die Wahl 𝑝 = 1 entsteht 𝑅𝑛 (𝑥) =
𝑓 (𝑛+1) (𝜉)
𝑛!
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝜉)𝑛 , die Form nach Cauchy.
3.4
Anwendungen der Differentialrechnung
3.4.1
Newtonverfahren
P(x1,f(x1))
f(x1)
angegebene
y=f(x)
𝑓(𝑥) = 0
Startwert x1
Tangente in 𝑃(𝑥1 , 𝑓(𝑥1 ))
Schnittpunkt von Tangente mit x Achse = x2 ermitteln
nun Tangente in 𝑃(𝑥2 , 𝑓(𝑥2 ))
usw.
x
x2
Tangente in P: 𝑓 ′ (𝑥1 ) =
Schnittpunkt: 𝑥2 = 𝑥1 −
Formel: 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
x1
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥1 )
𝑥−𝑥1
𝑓(𝑥1 )
𝑓 ′ (𝑥1 )
⟹ (𝑥 − 𝑥1 ) =
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥1 )
𝑓 ′ (𝑥1 )
𝑓 ( 𝑥𝑛 )
𝑓′(𝑥𝑛 )
Probleme: bei manchen Funktionen nähert man sich dem echten Wert nur langsam
x1
x1
Bemerkung: 𝑓(𝑥) sei in einer Umgebung 𝑥 stetig differenzierbar und 𝑥𝑛 ∈ 𝑈(𝑥)
Beispiel: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2 = 0 𝑥 = √2
𝑓(𝑥𝑛 )
𝑥𝑛2 − 2
𝑥1 = 1,5 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
⟹ 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓′(𝑥𝑛 )
2𝑥𝑛
𝑥2 = 1,4166
85
Konvergenzgeschwindigkeit
Definition: Konvergenz = Näherung dem richtigen Wert
Entwickeln 𝑭(𝒙) in 𝒙𝟎 = 𝒙 nach Taylor
𝑥𝑛+1 = 𝐹(𝑥) = 𝑥 −
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
𝐹(𝑥) = 𝑥
2
𝐹
′ (𝑥)
=1−
(𝑓′(𝑥)) − 𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥)
2
(𝑓′(𝑥))
= 1−1+0= 0
𝐹′′ (𝜉)
(𝑥𝑛 − 𝑥)2 = 𝑥𝑛+1
Taylor: 𝐹(𝑥) = 𝑥 + 0 + ⏟
2!
konst.
⟹ |𝑥𝑛+1 − 𝑥| ≤ 𝑐(𝑥𝑚 − 𝑥)2 lokal quadratisch konvergent
Bedingung: |𝐹 ′ (𝑥)| < 1
3.4.2
i)
Kurvendiskussion
Lokale Extrema
f sei in (a, b) erklärt und 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏), x0 liegt nicht auf Rand
Definition:
x0 heißt lokales Min (Max) von f wenn ein 𝜀 > 0 existiert, so dass 𝑓(𝑥0 ) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏)
mit |𝑥 − 𝑥0 | < 𝜀 (bzw. 𝑓(𝑥0 ) ≥ 𝑓(𝑥)).
Satz: Fermat
Hat f in x0 ein lokales Min oder Max und ist f in x0 differenzierbar, so gilt 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0.
f‘(x1,2)=0
x1
x2
f‘(x) existiert
nicht
x
Satz: hinreichende + notwendige Bedingung 2. Ordnung für ein lokales Extremum
Existiert 𝑓 ′′ (𝑥0 ) und hat f in x0 lokales Minimum (Maximum), dann gilt 𝑓 ′′ (𝑥0 ) ≥ 0 (bzw.
𝑓 ′′ (𝑥0 ) ≤ 0). Gilt 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 und 𝑓 ′′ (𝑥0 ) > 0 (bzw. 𝑓 ′′ (𝑥0 ) < 0) so liegt in x0 ein lokales
Minimum (Maximum) vor.
Gegenbeispiel: 𝑥 3 𝑥0 = 0 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 0 𝑓 ′′ (𝑥0 ) = 0 keine Extremstelle → Wendepunkt
Beispiel:
86
b
β
a
α
x
𝛽 ⟶ max
𝑎+𝑏
𝑎
= tan(𝛼 + 𝛽)
= tan 𝛼
𝑥
𝑥
𝑎+𝑏
𝑎
𝛽 = arctan
− arctan
𝑥
𝑥
(𝑎
+
𝑏)
𝑎
𝛽′ = − 2
+ 2
=0
2
𝑥 + (𝑎 + 𝑏)
𝑥 + 𝑎2
𝑥 = √𝑎(𝑎 + 𝑏)
Allgemeine Regel
Es sei 𝑓 ′ (𝑥0 ) = 𝑓 ′′ (𝑥0 ) = ⋯ = 𝑓 (𝑛−1) (𝑥0 ) = 0 und 𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) ≠ 0, dann hat f in x0 weder
> 0 ⟶ Min
Min noch Max, wenn n ungerade ist. Ist n gerade, dann gilt 𝑓 (𝑛) (𝑥0 ) {
< 0 ⟶ Max
1
Beweis: 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑛! 𝑓 (𝑛) (𝜉)(𝑥 − 𝑥0 )𝑛
𝑓 (𝑛) (𝜉) hat gleiches Vorzeichen wie 𝑓 (𝑛) (𝑥0 ), falls x nahe an x0 liegt. n sei jetzt ungerade,
dann wechselt (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 in x0 das Vorzeichen.
⟶ 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) wechselt ebenfalls das Vorzeichen. Wenn n gerade ist (𝑥 − 𝑥0 )𝑛 > 0 ∀𝑥 ≠
𝑥0
→ lokales Min oder Max
Beispiel:
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 + 𝑒 −𝑥 + 2 cos 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 0 ⟶ 𝑥0 = 0
𝑓 ′′ (𝑥) = 𝑓 ′′′ (𝑥) = 0 ⟶ 𝑥0 = 0
𝑓 ′′′′ (𝑥) ≠ 0 in x0, 𝑓 ′′′′ (𝑥0 ) = 4 ⟶ Min
1
Beispiel: 𝑓(𝑥) = {𝑒 −𝑥
0
𝑓 (𝑛) (0) = 0 ∀∈ ℤ+
ii)
2
𝑥>0
𝑥≤0
Monotonie
𝑓 ′ (𝑥) > 0 in (a, b) ⟹ 𝑓 wächst streng monoton
𝑓 ′ (𝑥) < 0 in (a, b) ⟹ 𝑓 fällt streng monoton
Bemerkung: 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 ist streng monoton wachsend, aber 𝑓 ′ (0) = 0
iii)
Wendepunkte
Definition:
87
𝑓: (𝑎, 𝑏) ⟶ ℝ heißt konvex (konkav), wenn 𝑓(𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦) ≤ 𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦)
(bzw. 𝑓(𝜆𝑥 + (1 − 𝜆)𝑦) ≥ 𝜆𝑓(𝑥) + (1 − 𝜆)𝑓(𝑦)) für alle 𝑥, 𝑦 ∈ (𝑎, 𝑏) und 0 < 𝜆 < 1. Gilt
die strenge Ungleichheit „<“ (bzw. „>“) für 0 < 𝜆 < 1, so heißt f streng konvex (streng
konkav).
konvex
konkav
Man kann mit der zweiten Ableitung die Funktion auf Konvexität untersuchen
≥ 0 auf (𝑎, 𝑏) ⟶ konvex
𝑓 ′′ (𝑥) {
≤ 0 auf (𝑎, 𝑏) ⟶ konkav
> 0 streng konvex
𝑓 ′′ (𝑥) {
< 0 streng konkav
Definition 1:
Trennt x0 Bereiche in denen f streng konvex bzw. konkav ist, so heißt x0 Wendepunkt.
Definition 2: Tangente durchstößt den Graph von f in x0
Tangente
f
Hinreichende Bedingung wenn 𝑓 ′′ (𝑥0 ) in x0 das Vorzeichen ändert.
Bemerkung:
Eine Kurvendiskussion umfasst die Bestimmung von Definitionsbereich, Wertebereich,
Monotonie, Extrema, Wendepunkte, Konvexität/Konkavität, Verhalten im Unendlichen
(±Unendlich), Asymptoten.
Parameterdarstellung
Definition:
Eine stetige Funktion 𝑦: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ𝑛 (𝑛 ≥ 2) heißt Weg in ℝ𝑛 , ihr Wertebereich heißt
𝑥1 (𝑡)
𝑛
Kurve in ℝ 𝛾(𝑡) = ( ⋮ ), t = Parameter.
𝑥𝑛 (𝑡)
b
𝛾(𝑎) =Anfang
𝛾(𝑏) =Ende
a
Beispiele: 𝛾(𝑡) = (
1)
Kreis
𝑥(𝑡)
)
𝑦(𝑡)
𝑥(𝑡) = 𝑎 cos 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑎 sin 𝑡 denn
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2
y
x
y
2)
Ellipse
𝑥(𝑡) = 𝑎 cos 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑏 sin 𝑡
x
88
3)
Archimedische Spirale
𝑥(𝑡) = 𝑎𝑡 cos 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑎𝑡 sin 𝑡
4)
Neilsche Parabel
𝑥 = 𝑡3 𝑦 = 𝑡2 = 𝑥3
2
λ=1
5)
Zykloide,
Kreis
rollender 𝑥 = 𝑎(𝑡 − 𝜆 sin 𝑡)
𝑦 = 𝑎(1 − 𝜆 cos 𝑡)
λ<1
λ>1
6)
Astroide, Kreis rollt im
𝑥(𝑡) = 𝑅 cos3 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑅 sin3 𝑡
Kreis
Der Tangentenvektor
𝑥 ′ (𝑡)
An der Kurve im Punkt 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) ist 𝛾 ′ (𝑡) = ( ′ ) falls |𝛾 ′ (𝑡)| ≠ 0
𝑦 (𝑡)
Tangenteneinheitsvektor
𝛾 ′ (𝑡)
𝑇(𝑡) = ′
|𝛾 (𝑡)|
1
Normalenvektor 𝑁(𝑡) = |𝛾′ (𝑡)| (
−𝑦′(𝑡)
) steht senkrecht auf Tangentenvektor 𝑇(𝑡) ⋅ 𝑁(𝑡) = 0
𝑥′(𝑡)
Anwendung in Elektrotechnik
Lissajous Figuren
𝑥(𝑡) = 𝐴1 sin(𝜔1 𝑡 − 𝜑1 ) 𝑦(𝑡) = 𝐴2 sin(𝜔2 𝑡 − 𝜑2 ) 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
89
4.
Integralrechnung für Funktionen einer
Variablen
4.1
Das unbestimmte Integral
Definition:
𝑓: (𝑎, 𝑏) ⟶ ℝ sei eine gegebene Funktion. Jede Funktion 𝐹: (𝑎, 𝑏) ⟶ ℝ mit der Eigenschaft
𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) heißt Stammfunktion von f.
Eigenschaften:

Mit 𝐹(𝑥) ist auch 𝐹(𝑥) + 𝑐 Stammfunktion von f (c-Konstante)

Alle Stammfunktionen von f unterscheiden sich nur durch die Konstante voneinander
Beispiel 1: 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 ist Stammfunktion von 𝑓(𝑥) = 2𝑥
Beispiel 2: 𝐹(𝑥) = 1 − cos 𝑥 ist Stammfunktion von sin 𝑥
Definition:
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen von f heißt unbestimmtes Integral von f: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝐹(𝑥) + 𝑐 ist eine spezielle Stammfunktion.
Einfache Integrale
1
1)
∫ 𝑥 𝜇 𝑑𝑥 = 𝜇+1 𝑥 𝜇+1 + 𝑐 𝜇 ≠ −1
2)
∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝑐 sei 𝑥 < 0 ln|𝑥| = ln(−𝑥)
3)
∫ 1+𝑥 2 𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝑐
4)
∫ √1−𝑥2 𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝑐
5)
6)
7)
8)
∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑎 𝑎 𝑥 + 𝑐
∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝑐
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐
1
∫ cos2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐
9)
∫ sin2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝑐
1
1
1
1
1
Regeln
i)
∫(𝑎 ⋅ 𝑓(𝑥) + 𝑏 ⋅ 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑏 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
ii)
Partielle Integration 𝒖 = 𝒖(𝒙), 𝒗 = 𝒗(𝒙)
∫ 𝑢 ⋅ 𝑣 ′ 𝑑𝑥 = 𝑢 ⋅ 𝑣 − ∫ 𝑢′ ⋅ 𝑣𝑑𝑥
Beweis: (𝑢𝑣)′ = 𝑢′ 𝑣 + 𝑢𝑣 ′ ⟶ 𝑢𝑣 = ∫ 𝑢′𝑣𝑑𝑥 + ∫ 𝑢𝑣′𝑑𝑥
Beispiel 1) ∫ ⏟
𝑥 ln
⏟
𝑥 𝑑𝑥 =
𝑣′ 𝑢
𝑥2
2
ln 𝑥 − ∫
𝑥2
2
1
⋅ 𝑥 𝑑𝑥 =
90
𝑥2
2
ln 𝑥 −
𝑥2
4
+𝑐
Beispiel 2)
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 sin 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 sin 𝑥 − [𝑒 𝑥 cos 𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥]
2 ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝑐
∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 =
iii)
1 𝑥
𝑒 (sin 𝑥 − cos 𝑥) + 𝑐
2
Substitutionsregel
∫ 𝑓(𝜑(𝑥)) ⋅ 𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝜑(𝑥)) + 𝑐
f von φ von x (Kettenregel). Stammfunktion von äußerer Funktion durch Ableitung der
inneren.
1
Beispiel 1) ∫ ⏟
sin2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 3 (sin 𝑥)3 + 𝑐
𝑡 2 𝑑𝑡
Praktische Durchführung:
𝑡 = 𝜑(𝑥) 𝑑𝑡 = 𝜑 ′ (𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑓(𝜑(𝑥))𝜑′(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡) + 𝑐 = 𝐹(𝜑(𝑥)) + 𝑐
Beispiel 2)
∫ sin3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin2 𝑥 ⋅ sin 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − cos2 𝑥) sin 𝑥 𝑑𝑥
1
1
= − ∫(1 − 𝑡 2 )𝑑𝑡 = −𝑡 + 𝑡 3 + 𝑐 = − cos 𝑥 + (cos 𝑥)3 + 𝑐
3
3
𝑥
1
2𝑥
1
1
1
1
Beispiel 3) ∫ 1+𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 1+𝑥 2 𝑑𝑥 = 2 ∫ 1+𝑡 𝑑𝑡 = 2 ln|1 + 𝑡| + 𝑐 = 2 ln|1 + 𝑥 2 | + 𝑐
Beispiel 4)
1
∫ √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = − ∫ √1 − cos 2 𝑡 ⋅ sin 𝑡 𝑑𝑡 = − ∫ sin2 𝑡 𝑑𝑡 = − ∫ (1 − cos 2𝑡)𝑑𝑡
2
1
1
1
= − 𝑡 − sin 2𝑡 + 𝑐 = − (𝑡 − sin 𝑡 cos 𝑡) + 𝑐
2
4
2
1
1
2
= − (𝑡 − √1 − cos 𝑡 ⋅ cos 𝑡) + 𝑐 = − (arccos 𝑥 − √1 − 𝑥 2 ⋅ 𝑥) + 𝑐
2
2
4.2
Das bestimmte Integral
gegeben: Intervall [a, b] und eine beschränkte Funktion 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ d.h. |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑐 ∀𝑥 ∈
[𝑎, 𝑏]
gesucht: Flächeninhalt A der Fläche „unter“ dem Graphen von f
Methode:
μ1
m1
x0=a x1
b=xn
Zerlegung Z von [a, b] in Teilintervalle 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏. 𝑍 =
{𝑥0 , … , 𝑥𝑛 }, n beliebig groß. Lage der xk beliebig, Δ𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1. |𝑍| =
max Δ𝑥𝑖 heißt Durchmesser der Zerlegung.
𝜇𝑖 = sup 𝑓(𝑥), obere Inhalt ist 𝜇𝑖 Δ𝑥𝑖
𝑚𝑖 = inf 𝑓(𝑥), untere Inhalt ist 𝑚𝑖 Δ𝑥𝑖
91
Definition:
𝑛
𝑂𝑓 (𝑍) = ∑ 𝜇𝑖 Δ𝑥𝑖
Darbousche Obersumme
𝑖=1
𝑛
𝑈𝑓 (𝑍) = ∑ 𝑚𝑖 Δ𝑥𝑖
Darbousche Untersumme
𝑖=1
Definition:
𝐼𝑓 = inf 𝑂𝑓 (𝑍)
𝑍
Oberes Integral
𝐼𝑓 = sup 𝑈𝑓 (𝑍) Unteres Integral
𝑍
Definition: bestimmtes Integral, Riemannsches Integral
Stimmen 𝐼𝑓 und 𝐼𝑓 überein, so heißt f auf (a, b] integrierbar. In diesem Fall heißt der
𝑏
gemeinsame Wert 𝐼 = 𝐼𝑓 Integral von f auf [a, b] und wir schreiben 𝐼 = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Beispiel: 𝑓(𝑥) = 𝑥, [a, b], Δ𝑥 =
𝑛
𝑥𝑖 = 𝑖Δ𝑥
𝑂𝑓 (𝑍) = ∑ 𝑥𝑖 Δ𝑥 = ∑ 𝑖(Δ𝑥)2 =
μi
mi
xi-1
𝑏−𝑎
xi
(𝑏 − 𝑎)2 𝑛(𝑛 + 1)
𝑛⟶∞
2
2
(𝑏 − 𝑎) (𝑛 − 1)𝑛
𝑈𝑓 (𝑍) = ∑ 𝑥𝑖−1 Δ𝑥 = ∑(𝑖 − 1)(Δ𝑥)2 =
⋅
𝑛⟶∞
𝑛2
2
2
(𝑏−𝑎)
Grenzwert für beide 2
⋅
𝑛
𝑏
lim 𝑂𝑓 (𝑍) ≥ 𝐼𝑓 ≥ 𝐼𝑓 ≥ lim 𝑈𝑓 (𝑍) ⟶ ∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑛→∞
𝑛2
𝑛→∞
𝑎
(𝑏 − 𝑎)2
𝑛2
Satz 1: Jede auf [a, b] stetige und jede auf [a, b] monotone Funktion ist integrierbar.
Beispiel: für f nicht Riemann integrierbar
1 𝑥 rational
𝑓(𝑥) = {
0 𝑥 irrational
1
Beweis: Für stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall:
∀𝜀 > 0 ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑦)| < 𝜀 ∀𝑥, 𝑦 ∈ [𝑎, 𝑏] mit |𝑥 − 𝑦| < 𝛿
„gleichmäßige Stetigkeit“: 𝛿 = 𝛿(𝜀) hängt nicht von x, y ab.
Zerlegen [a, b] so dass max|Δ𝑥𝑖 | < 𝛿
𝑚
𝑂𝐹 − 𝑈𝐹 = ∑(𝑓(𝜉𝑖 ) − 𝑓(𝜂𝑖 ))Δ𝑥𝑖 < 𝜀 ∑ Δ𝑥𝑖 = 𝜀(𝑏 − 𝑎)
𝑖=1
Da 𝜀 > 0 beliebig klein seien kann ⟶ 𝑂𝐹 − 𝑈𝐹
Beweisidee für monotone Funktion:
𝑂𝐹 − 𝑈𝐹 = ∑(𝜇𝑖 − 𝑚𝑖 )Δ𝑥𝑖 < 𝛿 ∑(𝜇𝑖 − 𝑚𝑖 ) = 𝛿 ∑(𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖−1 )) = 𝛿(𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎))
92
Riemanns Grundidee: Zerlegung Z, 𝑥𝑖−1 = 𝜉𝑖 ≤ 𝑥𝑖 mit i = beliebig
𝑛
𝜎 = ∑ 𝑓(𝜉𝑖 )Δ𝑥𝑖 offenbar 𝑂𝑓 (𝑍) ≥ 𝜎 ≥ 𝐼𝑓 (𝑍)
𝑖=1
Satz 2:
Ist 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ beschränkt, dann ist f auf [a, b] genau dann integrierbar, wenn für |𝑍| ⟶ 0
die Riemannsche Integralsumme σ immer (gegen den gleichen Wert) konvergiert. Dann gilt:
𝑏
min 𝜎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
|𝑍|→0
𝑎
Anwendung Tangentenformel der numerischen Integration
Äquidistante Unterteilung der Länge:
𝑏
𝑏−𝑎
𝑛
, 𝜉𝑖 = Mittelpunkt von xi-1, 𝑥𝑖 : 𝜉𝑖 =
𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ 𝜎 = ∑ 𝑓(𝜉𝑖 )Δ𝑥𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏−𝑎
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
∑𝑓 (
)+ ⏟
𝛿
𝑛
2
Fehler
𝑖=1
𝑎
Ist 𝑓′′ definiert und stetig und 𝑓′′(𝑥) ≤ 𝑐 auf [a, b], dann gilt |𝛿| ≤
1
𝑛
𝑖−2
𝑒𝑥
1
Beispiel: ∫ 𝑑𝑥 ≈ ∑ exp (1 +
)⋅
𝑥
𝑛
𝑛
2
𝑖=1
1
1
1
𝑖−2
1+ 𝑛
𝑐(𝑏−𝑎)3
24𝑛2
mit exp(𝑥) = 𝑒 𝑥
Näherung des Integrals nicht besonders.
Unmittelbar aus der Riemannschen Definition folgen folgende Regeln:
𝑎
Wir setzen ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0
𝑎
𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (𝑎 < 𝑏)
𝑏
𝑏
𝑎
𝑏
𝑏
∫(𝛼𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∀𝛼, 𝛽 ∈ ℝ
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑐
𝑏
𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑢 ⟶ 𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ 𝜇(𝑏 − 𝑎)
𝑎
93
𝑥𝑖 +𝑥𝑖+1
2
𝑏
𝑏
𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] ⟶ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
Satz 3: Mittelwertsatz der Integralrechnung
𝑏
Ist 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ stetig, so existiert ein 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏), so dass ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝜉) ⋅ (𝑏 − 𝑎)
f
f(ξ)
a
4.3
b
Der
Hauptsatz
Integralrechnung
der
Differential-
und
Satz 4: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
𝑥
Ist 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ stetig, dann ist 𝐹(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] eine Stammfunktion von f.
Beweis: Zu zeigen ist 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥) d.h. lim
𝐹(𝑥+ℎ)−𝐹(𝑥)
ℎ
𝑥+ℎ
= 𝑓(𝑥)
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑓(𝜉) ⋅ ℎ, für ℎ ⟶ 0 gilt 𝑓(𝜉) ⟶ 𝑓(𝑥)
𝑥
𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥)
= 𝑓(𝜉) ⟶ 𝑓(𝑥) für ℎ ⟶ 0
ℎ
Folgerung: Jede stetige Funktion f besitzt eine Stammfunktion.
𝑒𝑥
Beispiel: 𝑓(𝑥) =
𝑥
besitzt eine Stammfunktion. Diese lässt sich analytisch ausrechnen.
Satz 5: 2. Hauptsatz
Ist eine Stammfunktion der stetigen Funktion 𝑓: [𝑎, 𝑏] ⟶ ℝ, dann gilt
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑎
Beweis:
𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐 − (∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑐) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
𝑎
𝑎
𝑏
Bezeichnung: ∫𝑎 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹(𝑥)|𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏1
𝑏
Beispiel 1: 𝐴 = ∫𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥|𝑏𝑎 = ln 𝑎
94
f(x)=
a
1
x
b
Beispiel 2:
Aufteilen in zwei Flächen. Somit zwei Rechnungen. Erst integrieren bis zur
ersten Nullstelle (Fläche 1), dann bis zur zweiten (Fläche 2).
1
𝜋
2
2𝜋
𝐴 = ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 + |∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 | = 4
0
4.4
𝜋
Integration rationaler Funktionen
𝑝(𝑥)
gesucht: ∫ 𝑞(𝑥), p, q – Polynome
i)
Polynomdivision
𝑝(𝑥)
= ℎ(𝑥)
⏟ +
𝑞(𝑥)
Polynom
Beispiel:
ii)
𝑟(𝑥)
𝑞(𝑥)
⏟
mit grad 𝑟 < grad 𝑞
gebrochen rationale
Funktion
𝑥 4 +3𝑥 3 +2𝑥 2 +1
𝑥 2 +1
3𝑥
= 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 − 𝑥 2 +1 ⟶ ℎ(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 + 1 𝑟(𝑥) = −3𝑥
𝒓(𝒙)
Partialbruchzerlegung von 𝒒(𝒙), 𝒎 = 𝐠𝐫𝐚𝐝 𝒓 < 𝐠𝐫𝐚𝐝 𝒒 = 𝒏
Linearbruchzerlegung von 𝑞(𝑥). Bestimmung der Nullstellen von 𝑞(𝑥):
𝛼1 , … , 𝛼𝑁 mit den Vielfachheiten 𝑘1 , … , 𝑘𝑁 . Die Nullstellen können komplex sein.
𝑘1 + ⋯ + 𝑘𝑁 = 𝑛
𝑞(𝑥) = (𝑥 − 𝛼1 )𝑘1 (𝑥 − 𝛼2 )𝑘2 … (𝑥 − 𝛼𝑁 )𝑘𝑁
Die komplexen Nullstellen treten paarweise auf (p und q sind reelle Polynome). Mit 𝛼𝑗 ist
auch 𝛼𝑗 Nullstelle.
Beispiel: 𝑥 2 + 1 = 0 ⟶ 𝛼1 = 𝑗 𝛼2 = 𝑗 = −𝑗
Wir fassen beide Nullstellen zusammen (𝑥 − 𝛼𝑗 )(𝑥 − 𝛼𝑗 ) = 𝑥 2 + 𝛽𝑥 + 𝛾
2
(𝑥 − 𝛼𝑗 )(𝑥 − 𝛼𝑗 ) = 𝑥 2 − (𝛼𝑗 + 𝛼𝑗 )𝑥 + 𝛼𝑗 𝛼𝑗 = 𝑥 2 − 2(Re 𝛼𝑗 )𝑥 + (𝛼𝑗 ) ⟶ 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ
⟹ 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 𝛼1 )𝑘1 (𝑥 − 𝛼2 )𝑘2 … (𝑥 − 𝛼𝑀 )𝑘𝑀 (𝑥 2 + 𝛽1 𝑥 + 𝛾1 )𝑙1 … (𝑥 2 + 𝛽𝐿 𝑥 + 𝛾𝐿 )𝑙𝐿 ,
wobei 𝛼1 , … , 𝛼𝑀 ∈ ℝ 𝛽𝑖 , 𝛾𝑖 ∈ ℝ
𝜇
𝐿
𝐴𝑗𝑘𝑗
𝐵𝑗𝑙𝑗 𝑥 + 𝐶𝑗𝑙𝑗
𝐴𝑗1
𝐵𝑗1 𝑥 + 𝐶𝑗1
𝑟(𝑥)
= ∑(
+ ⋯+
)
+
∑
(
+
)
𝑘𝑗
𝑞(𝑥)
𝑥 2 + 𝛽𝑗 𝑥 + 𝛾𝑗 (𝑥 2 + 𝛽 𝑥 + 𝛾 )𝑙𝑗
(𝑥 − 𝛼𝑗 )
(𝑥 − 𝛼 )
𝑗=1
𝑗
𝑗
𝑗=1
95
𝑗
𝑝 (𝑥)
Beispiel 1) 𝑞(𝑥) =
2𝑥 3 −𝑥 2 −10𝑥+19
𝑥 2 +𝑥−6
= 2𝑥 − 3 +
5𝑥+1
𝑥 2 +𝑥−6
Nullstellen von q: 𝛼1 = 2 𝛼2 = −3
5𝑥 + 1
𝐴1
𝐴2
=
+
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 𝑥 − 2 𝑥 + 3
1. Möglichkeit: Mit (𝑥 − 2)(𝑥 + 3) multiplizieren und Koeffizientenvergleich ausführen
5𝑥 + 1 = 𝐴1 (𝑥 + 3) + 𝐴2 (𝑥 − 2)
= (𝐴1 + 𝐴2 )𝑥 + 3𝐴1 − 2𝐴2
𝑥1 : 5 = 𝐴1 + 𝐴2
Gleichungssystem lösen
𝑥 0 : 1 = 3𝐴1 − 2𝐴2
11
14
𝐴1 =
𝐴2 =
5
5
2. Möglichkeit: Grenzwertmethode
5𝑥 + 1
𝐴1
𝐴2
|⋅ (𝑥 − 2)
=
+
(𝑥 − 2)(𝑥 + 3) 𝑥 − 2 𝑥 + 3
5𝑥 + 1
𝐴2
(𝑥 − 2) |𝑥 = 2
= 𝐴1 +
𝑥+3
𝑥+3
𝐴1 =
11
5
5𝑥 + 1
𝐴1
(𝑥 + 3) + 𝐴2 |𝑥 = −3
=
𝑥−2
𝑥−2
𝐴2 =
14
5
Ergebnis:
∫
𝑝(𝑥)
11
1
14
1
11
14
𝑑𝑥 = ∫ (2𝑥 − 3 +
⋅
+
⋅
) 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 3𝑥 +
ln(𝑥 − 2) +
ln(𝑥 + 3) + 𝑐
𝑞(𝑥)
5 𝑥−2 5 𝑥+3
5
5
𝑝(𝑥)
𝑥 3 −10𝑥 2 +7𝑥−3
Beispiel 2: 𝑞(𝑥) = 𝑥 4+2𝑥3−2𝑥2−6𝑥+5
Nullstellen von q: (𝑥 − 1)2 (𝑥 2 + 4𝑥 + 5)
𝑝(𝑥)
𝐴11
𝐴12
𝐵𝑥 + 𝐶
=
+
+ 2
2
𝑞(𝑥) 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)
𝑥 + 4𝑥 + 5
1. Multiplikation mit 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 2𝑥 2 − 6𝑥 + 5 ⟶ Koeffizientenvergleich, dauert sehr lange
2. Multiplikation mit (𝑥 − 1)2
𝑥 3 − 10𝑥 2 + 7𝑥 − 3
𝐵𝑥 + 𝐶
(𝑥 − 1)2 |𝑥 = 1
= 𝐴11 (𝑥 − 1) + 𝐴12 + 2
2
𝑥 + 4𝑥 + 5
𝑥 + 4𝑥 + 5
𝐴12 = −
1
2
Multiplikation des Zwischenergebnis mit (𝑥 − 1)
𝑥 3 − 10𝑥 2 + 7𝑥 − 3
1
𝐴11
𝐵𝑥 + 𝐶
|⋅ (𝑥 − 1)
+
=
+ 2
2
2
2
(𝑥 − 1) (𝑥 + 4𝑥 + 5) 2(𝑥 − 1)
𝑥 − 1 𝑥 + 4𝑥 + 5
𝑥 3 − 10𝑥 2 + 7𝑥 − 3
1
𝐵𝑥 + 𝐶
(𝑥 − 1)
+
= 𝐴11 + 2
2
(𝑥 − 1)(𝑥 + 4𝑥 + 5) 2(𝑥 − 1)
𝑥 + 4𝑥 + 5
⏟
2𝑥 3 − 19𝑥 2 + 18𝑥 − 1 (𝑥 − 1)(2𝑥 2 − 17𝑥 + 1) 2𝑥 2 − 17𝑥 + 1
𝐵𝑥 + 𝐶
(𝑥 − 1) |𝑥 = 1
=
=
= 𝐴11 + 2
2(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)
2(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)
2(𝑥 2 + 4𝑥 + 5)
𝑥 + 4𝑥 + 5
96
𝐴11 = −
14
7
=−
20
10
2𝑥 2 − 17𝑥 + 1
7
1
𝐵𝑥 + 𝐶
=− ⋅
+ 2
2
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 4𝑥 + 5)
10 𝑥 − 1 𝑥 + 4𝑥 + 5
2𝑥 2 − 17𝑥 + 1
7
1
17𝑥 2 − 57𝑥 + 40
𝐵𝑥 + 𝐶
+
⋅
=
= 2
2
2
2(𝑥 − 1)(𝑥 + 4𝑥 + 5) 10 𝑥 − 1 10(𝑥 − 1)(𝑥 + 4𝑥 + 5) 𝑥 + 4𝑥 + 5
17𝑥 − 40
𝐵𝑥 + 𝐶
= 2
2
10(𝑥 + 4𝑥 + 5) 𝑥 + 4𝑥 + 5
17
𝑥 − 4 = 𝐵𝑥 + 𝐶
10
∫
𝑝(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝑥
1,7𝑥 − 4
𝑑𝑥 = −0,7 ∫
− 0,5 ∫
+∫ 2
𝑑𝑥
2
(𝑥 − 1)
𝑞(𝑥)
𝑥−1
𝑥 + 4𝑥 + 5
0,5
= −0,7 ln|𝑥 − 1| +
+ 0,85 ln(𝑥 2 + 4𝑥 + 5) − 7,4 arctan(𝑥 + 2) + 𝑐
𝑥−1
Integration der Partialbrüche
𝑑𝑥
= ln|𝑥 − 𝛼| + 𝑐
𝑥−𝛼
𝑑𝑥
1
(𝑥 − 𝛼)1−𝑘 + 𝑐
∫
=
𝑘
(𝑥 − 𝛼)
1−𝑘
∫
∫
𝑥2
𝐵𝑥 + 𝐶
𝐵
2𝑥
𝐶
𝑑𝑥 = ∫ 2
𝑑𝑥 + ∫ 2
𝑑𝑥
+ 𝛽𝑥 + 𝛾
2 𝑥 + 𝛽𝑥 + 𝛾
𝑥 + 𝛽𝑥 + 𝛾
𝐵
𝐶−2𝛽
𝐵
2𝑥 + 𝛽
𝐵
= ∫ 2
𝑑𝑥 + ∫ 2
𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 + 𝛽𝑥 + 𝛾| + ⋯
2 𝑥 + 𝛽𝑥 + 𝛾
𝑥 + 𝛽𝑥 + 𝛾
2
𝑥 2 + 𝛽𝑥 + 𝛾 = (𝑥 + 𝑒)2 + 𝑑2
𝑑𝑥
1
𝑑𝑥
𝑥+𝑒
∫
=
∫
=𝑡
|
2
(𝑥 + 𝑒)2 + 𝑑2 𝑑2
𝑑
𝑥+𝑒
(
) +1
𝑑
1
𝑑
1
1
𝑥+𝑒
= 2∫ 2
𝑑𝑡 = arctan 𝑡 = arctan
𝑑
𝑡 +1
𝑑
𝑑
𝑑
𝑒=
𝛽
𝛽2 1
𝑑 = √𝛾 −
= √4𝛾 − 𝛽 2
2
4
2
𝐵
2𝐶 − 𝐵𝛽
2𝑥 + 𝛽
2
|
ln|
𝑥
+
𝛽𝑥
+
𝛾
+
arctan
+𝑐
𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾
2
√4𝛾 − 𝛽2
√4𝛾 − 𝛽2
𝐵𝑥 + 𝐶
𝐵
𝐵𝛽
𝑑𝑥
∫ 2
𝑑𝑥
=
−
∫
+𝑐
(𝑥 + 𝛽𝑥 + 𝛾)𝑘
(𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾)𝑘
2(𝑘 − 1)(𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾)𝑘−1
2
∫
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑑𝑥 =
Rekursionsformel
∫
𝑑𝑥
(𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾)𝑘
=
1
2𝑥 + 𝛽
𝑑𝑥
[
+
2(2𝑘
−
3)
∫
]
(𝑘 − 1)(4𝛾 − 𝛽 2 ) (𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾)𝑘−1
(𝑥2 + 𝛽𝑥 + 𝛾)𝑘−1
97
4.5
Uneigentliche Integrale
4.5.1
Integrale unbeschränkter Funktionen
1
Beispiel: ∫0
1
√1−𝑥
𝑑𝑥 , Polstelle bei x = 1, x < 1
1
𝑡
𝑡
1
𝑡
1
Wir betrachten zunächst: ∫0
𝑑𝑥 , wobei 0 < 𝑡 < 1 ∫0
𝑑𝑥 = −2√1 − 𝑥|0 =
√1−𝑥
√1−𝑥
−2√1 − 𝑡 + 2
1
∫
0
1
√1 − 𝑥
𝑡
𝑑𝑥 = lim ∫
𝑡↑1
0
1
√1 − 𝑥
𝑑𝑥 = lim(−2√1 − 𝑡 + 2) = 2
𝑡↑1
Definition:
Sei −∞ < 𝑎 < 𝑏 < ∞ und f sei auf jedem Teilintervall [a, t] mit 𝑎 < 𝑡 < 𝑏 beschränkt und
𝑡
integrierbar, aber unbeschränkt auf [a, b]. Existiert der Grenzwert lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, so definiert
man
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
=
𝑡
lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡↑𝑏
𝑡↑𝑏
und nennt diesen Grenzwert uneigentliches Integral.
Das Integral heißt in diesem Fall konvergent. Analog definiert man falls die Polstelle von f in
𝑏
𝑡
a liegt. Falls sie in c liegt 𝑎 < 𝑐 < 𝑏, definiert man ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +
𝑡↑𝑐
𝑏
lim ∫𝑡 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
𝑡↓𝑐
a
Dabei müssen beide Grenzwerte existieren.
c
b
Beispiel 1: sei 𝑎 < 𝛼 < 1
1
0
−1
−1
1
1
1
1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
1
∫ 𝛼 𝑑𝑥 = ∫ 𝛼 + ∫ 𝛼 = 2 ∫ 𝛼 = 2 lim ∫ 𝛼 = 2 lim
𝑥1−𝛼 |1𝑡
𝑡↓0
𝑡↓0
|𝑥|
|𝑥|
𝑥
𝑥
𝑥
1−𝛼
0
0
𝑡
1
2
[1 − 𝑡1−𝛼 ] =
= 2 lim
𝑡↓0 1 − 𝛼
1−𝛼
11
11
Beispiel 2: ∫0 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫𝑡
𝑡↓0
𝑥
𝑑𝑥 = limln 𝑥|1𝑡 = lim − ln 𝑡 ⟶ +∞
𝑡↓0
𝑡↓0
Dieses uneigentliche Integral konvergiert nicht.
Bemerkung: Ebenso wenig existiert das Integral
1
𝑡
−1
−1
1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫
= lim ∫
+ lim ∫
= ⏟
−∞ + ∞
𝑡↑0
𝑡↓0
𝑥
𝑥
𝑥
unbestimmter
𝑡
Ausdruck
98
Definition: f habe nur in 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) eine Polstelle. Existiert der Grenzwert
𝑏
𝑐−𝛿
𝑏
𝐶𝐻 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim (∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥),
𝛿↓0
𝑎
𝑎
𝑐+𝛿
𝑏
so heißt dieser Cauchyscher Hauptwert des Integrals ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Andere Bezeichnung: v.p.
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 valeur principale.
Beispiel:
−𝛿
1
1
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝐶𝐻 ∫
= lim ( ∫
+ ∫ ) = lim[ln|𝑥||𝛿−1 + ln 𝑥|1𝛿 ] = lim(ln 𝛿 − ln 1 + ln 1 − ln 𝛿) = 0
𝛿↓0
𝛿↓0
𝛿↓0
𝑥
𝑥
𝑥
−1
−1
𝛿
1
Wenn Funktionen symmetrisch (siehe 𝑥) sind, heben sich beide Flächen auf ⟶ 𝐴 = 0 ⟶
Cauchy-Hauptwert oder v.p.
4.5.2
Integrale über unbeschränkten Intervallen
𝑡
∞
Beispiel: ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = lim [−𝑒 −𝑥 ]|𝑡0 = lim [−𝑒 −𝑥 + 1] = 1
𝑡→∞
0
𝑡→∞
𝑡→∞
0
Definition:
f sei auf jedem endlichen Intervall [a, t] mit a < t beschränkt und integrierbar. Existiert der
𝑡
Grenzwert lim ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥, so heißt dieses ebenfalls uneigentliches Integral
∞
𝑡→∞
𝑡
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡→∞
𝑎
𝑎
Dieses Integral heißt konvergent.
𝑏
𝑡
∞
0
Analoge Definition: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑡→∞
−∞
−∞
𝑠→−∞
0
𝑠
Beide Grenzwerte müssen existieren.
Beispiel 1: sei α > 1
∞
𝑡
𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑥
1
𝑡1−𝛼
1
1
1−𝛼
∫ 𝛼 = lim ∫ 𝛼 = lim [
𝑥 ]| = lim
−
=
𝑡→∞
𝑡→∞ 1 − 𝛼
𝑡→∞ 1 − 𝛼
𝑥
𝑥
1−𝛼 𝛼−1
1
1
1
99
∞ 𝑑𝑥
Beispiel 2: ∫1
𝑡 𝑑𝑥
= lim ∫1
𝑥
𝑡→∞
𝑥
= lim ln 𝑥|1𝑡 = lim ln 𝑡 = +∞ Integral konvergiert nicht
𝑡→∞
∞
𝑡→∞
𝑡
∫0 cos 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫0 cos 𝑥 𝑑𝑥 = lim sin 𝑥|1𝑡 = lim sin 𝑡
𝑡→∞
𝑡→∞
𝑡→∞
konvergiert nicht
Beispiel
3:
4.5.3
existiert
nicht,
Kombination beider Typen
Definition: Gammafunktion
∞
Γ(𝛼) = ∫ 𝑒 −𝑥 𝑥 𝛼−1 𝑑𝑥 𝛼 > 0
0
Man kann zeigen, dass das obige uneigentliche Integral für α > 0 konvergiert.
Es gilt Γ(𝛼 + 1) = 𝛼Γ(𝛼)
Spezialfall Γ(𝜂) = (𝜂 − 1)!
Wenn die Stammfunktion sich nicht elementar berechnen lässt, benötigen wir andere
Konvergenzkriterien für die uneigentlichen Integrale.
Majorantenkriterium:
𝑏
Gilt |𝑓(𝑥)| ≤ 𝑔(𝑥) auf [a, b), 𝑎 < 𝑏 < ∞, f messbar und existiert ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥, so existiert
𝑏
𝑏
auch ∫𝑎 |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 sowie ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
Gegenbeispiel:
0 𝑥:irrational
𝑓(𝑥) = {
} f ist nicht integrierbar
1 𝑥:rational
4.6
Mathematische Anwendungen der Integration
4.6.1
Flächen zwischen Graphen von Funktionen
f > g, f und g beschränkt
Durch Verschiebung um eine Konstante c > 0, können wir erreichen, dass
𝑓(𝑥) + 𝑐 > 0, 𝑔(𝑥) + 𝑐 > 0
f(x)
g(x)
Flächeninhalt bleibt unberührt.
f(x)+c
𝑏
𝑏
𝑏
𝐴 = ∫(𝑓(𝑥) + 𝑐)𝑑𝑥 − ∫(𝑔(𝑥) + 𝑐)𝑑𝑥 = ∫(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥
g(x)+c
𝑎
𝑎
𝑎
1
1
2 3 1
1
Beispiel 1: 𝐴 = ∫(√𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥 3 | =
3
3
3
0
0
Beispiel 2: cos 𝑥 und sin 𝑥
100
𝜋
4
𝜋
𝜋
𝐴 = ∫|cos 𝑥 − sin 𝑥|𝑑𝑥 = ∫(cos 𝑥 − sin 𝑥)𝑑𝑥 + ∫(sin 𝑥 − cos 𝑥)𝑑𝑥 = 2√2
0
4.6.2
0
𝜋
4
Flächen von Sektoren
Flächeninhalt von „sternförmigen Gebieten“, von einem Mittelpunkt aus kann man
jeden Punkt des Randes geradlinig erreichen ohne einen anderen Randpunkt zu
erreichen.
a)
Ebene in Polarkoordinaten
𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 𝑟 = 𝑟(𝜑) 𝑟 ≥ 0 𝛼 ≤ 𝜑 ≤ 𝛽
y
gesucht: Flächeninhalt des Sektors
β
φ
α
x
Leibnizsche Sektorformel
𝛽
1
2
𝐴 = ∫(𝑟(𝜑)) 𝑑𝜑
2
𝛼
Flächeninhalt eines Sektors
1 2
𝑟 ⋅ Δ𝜑𝑖
𝑎
Flächeninhalt eines Kreissektors mit Winkel Δ𝜑𝑖 und Radius r
Integral entsteht analog zum Riemannintegral
Beispiel: Fläche eines vierblättrigen Kleeblattes
𝜋
2
1
1
𝐴 = 4 ⋅ ∫ 𝑟 2 (𝜑)𝑑𝜑 𝑟 = |sin 2𝜑|
2
𝜋
2
0
= 2 ∫ sin2 2𝜑 𝑑𝜑 =
0
b)
y
𝜋
2
Sektoren in anderen Parameterdarstellungen
Es liege wieder ein Sektor vor:
𝑦
𝑥(𝑡)
𝛾(𝑡) = (
) 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝜑 = arctan
𝛼 = 𝜑(𝑎) 𝛽 = 𝜑(𝑏)
𝑦(𝑡)
𝑥
t = Parameter
r
φ
x
101
Leibnizsche Sektorformel
𝛽
1
𝐴 = |∫ 𝑟 2 (𝜑)𝑑𝜑| Betrag da Umkehr ab 𝛼 < 𝛽 oder 𝛽 < 𝛼
2
𝛼
𝑦 ′
𝑑𝜑 = 𝜑 𝑑𝑡 𝜑 = (arctan ) =
𝑥
′
′
𝑏
𝑥𝑦 ′ − 𝑦𝑥′ 𝑥𝑦 ′ − 𝑦𝑥′ 𝑥𝑦 ′ − 𝑦𝑥′
⋅
= 2
=
𝑦 2
𝑥2
𝑥 + 𝑦2
𝑟2
1 + (𝑥 )
1
𝑏
1
𝑥𝑦 ′ − 𝑦𝑥′
1
2
𝐴 = |∫ 𝑟 ⋅
𝑑𝑡| = |∫(𝑥(𝑡)𝑦 ′ (𝑡) − 𝑦(𝑡)𝑥′(𝑡))𝑑𝑡|
2
2
𝑟
2
𝑎
𝑎
Beispiel: Flächeninhalt einer Ellipse
𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
𝜋
2
1
𝐴 = 4 ∫ (𝑎 cos 𝑡 ⋅ 𝑏 cos 𝑡 + 𝑏 sin 𝑡 ⋅ 𝑎 sin 𝑡)𝑑𝑡
2
0
𝜋
2
𝜋
= 2 ∫ 𝑎𝑏(cos 2 𝑡 + sin2 𝑡)𝑑𝑡 = 2𝑎𝑏𝑡|02 = 𝑎𝑏𝜋
0
1
𝑏
Bemerkung: Oftmals ist t die Zeit 𝑥 ′ (𝑡) = 𝑥̇ (𝑡) 𝐴 = 2 |∫𝑎 (𝑥𝑦̇ − 𝑥̇ 𝑦)𝑑𝑡|
4.6.3
Volumina von Rotationskörpern
y
𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 𝑓 2 (𝑥)
y=f(x)
Rotation um x-Achse
xi-1 xi
schmale Scheibe: 𝑟𝑖2 𝜋 ⋅ Δ𝑥𝑖 – Volumen
x
𝑏
𝑉 = 𝜋 ∫ 𝑓 2 (𝑥)𝑑𝑥
z
𝑎
Beispiel: Rotationsparaboloid
𝑦 = √𝑥
y
ℎ
𝑉 = 𝜋∫𝑓
x
0
ℎ
2 (𝑥)𝑑𝑥
ℎ
𝑥2
𝜋
= 𝜋 ∫ 𝑥𝑑𝑥 = 𝜋 | = ℎ2
2 0 2
0
h
z
102
4.6.4
Längenberechnung von Kurvenstücken
y
t=a
γ(t1)
𝑥(𝑡)
𝛾(𝑡) = (
) 𝑎≤𝑡≤𝑏
𝑦(𝑡)
t=b
γ(t2)
gesucht: Länge der Kurve
x
Wieder Unterteilung der Geraden in viele Abschnitte (Approximation der Kurve durch
Polygonenzug (rot)).
[a, b] wird zerlegt 𝑎 = 𝑡0 < 𝑡1 … < 𝑡𝑛 = 𝑏. Länge des Polygonenzuges approximiert l.
𝑛
𝑛
2
𝑙 = ∑|𝛾(𝑡𝑖 ) − 𝛾(𝑡𝑖−1 )| = ∑ √(𝑥(𝑡𝑖 ) − 𝑥(𝑡𝑖−1 )) + (𝑦(𝑡𝑖 ) − 𝑦(𝑡𝑖−1 ))
𝑖=1
2
𝑖=1
Definition:
Ist die Zahl sup ∑𝑛𝑖=1|𝛾(𝑡𝑖 ) − 𝛾(𝑡𝑖−1 )| = 𝑙 endlich, so heißt die Kurve γ auf [a, b]
𝑍
rektifizierbar und l die Länge des Weges γ (Bogenlänge).
Unter welchen Bedingungen ist die Kurve rektifizierbar und wie können wir l berechnen?
Zusatzvoraussetzung: γ glatt, d.h. stetig differenzierbar.
𝑥(𝑡𝑖 ) − 𝑥(𝑡𝑖−1 ) = 𝑥̇ (𝜉𝑖 )Δ𝑡𝑖 𝑦(𝑡𝑖 ) − 𝑦(𝑡𝑖−1 ) = 𝑦̇ (𝜂𝑖 )Δ𝑡𝑖
𝑛
𝑛
2
2
2
2
∑ √(𝑥(𝑡𝑖 ) − 𝑥(𝑡𝑖−1 )) + (𝑦(𝑡𝑖 ) − 𝑦(𝑡𝑖−1 )) = ∑ √(𝑥̇ (𝜉𝑖 )) + (𝑦̇ (𝜂𝑖 )) Δ𝑡𝑖
𝑖=1
𝑖=1
𝑏
2
2
⟶ ∫ √(𝑥̇ (𝑡)) + (𝑦̇ (𝑡)) 𝑑𝑡
𝑎
𝑏
2
2
Die Länge der Kurve ist 𝑙 = ∫ √(𝑥̇ (𝑡)) + (𝑦̇ (𝑡)) 𝑑𝑡
𝑎
Spezialfall 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑥 = 𝑡 𝑥̇ (𝑡) = 1 𝑓 ′ (𝑡) = 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑦 ′ (𝑥)
𝑏
2
𝑙 = ∫ √1 + (𝑦′(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑎
Beispiel: Länge des Parabelbogens
2
𝑦 = 𝑥 2 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 𝑙 = ∫ √1 + (2𝑥)2 𝑑𝑥 = 4,64
0
103
Bogendifferential
dy = linearer Anteil von Δy
Δy
dy
dx=Δx
Δs
𝑑𝑠 = √(𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2
𝑙
ds
𝑙
𝑏
𝑙 = ∫ 𝑑𝑠 = ∫ √𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 = ∫ √(𝑥̇ 𝑑𝑡)2 + (𝑦̇ 𝑑𝑡)2 𝑑𝑡
dx=Δx
4.6.5
0
0
𝑎
Oberfläche von Rotationskörpern
Die Länge des Streifens: 2𝜋𝑓(𝜉𝑖 )
y
Breite: 𝑑𝑠𝑖
x
𝑛
𝑛
2
∑ 2𝜋𝑓(𝜉𝑖 )𝑑𝑠𝑖 ≈ ∑ 2𝜋𝑓(𝜉𝑖 )√1 + (𝑓′(𝜉𝑖 )) 𝑑𝑥𝑖
z
𝑖=1
𝑖=1
𝑏
2
Mantelfläche: 𝑂 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓′(𝑥)) 𝑑𝑥
𝑎
4.6.6
a)
Numerische Integration
Trapezregel
Grundidee: Zwischen zwei Punkten wird 𝑦 = 𝑓(𝑥) durch eine Gerade ersetzt und
über diese wird integriert:
y f(x)
𝛽
𝛽
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ [𝑓(𝛼) +
x
α
𝛼
𝛼
𝑓(𝛽) − 𝑓(𝛼)
𝑓(𝛼) + 𝑓(𝛽)
(𝑥 − 𝛼)] 𝑑𝑥 = (𝛽 − 𝛼)
⏟
𝛽−𝛼
2
mittlere Höhe
β
𝛽
Diese Idee verfeinern wir nun, indem wir für ∫𝛼 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 schreiben: ℎ =
𝑦𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑖 = 0,1, … , 𝑛
𝑏
y f(x)
𝑥2
𝑛
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
x
Geraden
𝑥1
𝑏−𝑎
𝑎
𝑥1
𝑥𝑛−1
𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑥1 )
𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )
𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑏)
≈ℎ
+ℎ
+ ⋯+ℎ
2
2
2
𝑓(𝑥0 )
𝑓(𝑏)
= ℎ{
+ 𝑓(𝑥1 ) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛−1 ) +
}
2
2
𝑏
𝑦0 + 𝑦𝑛
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ℎ (
+ 𝑦1 + ⋯ + 𝑦𝑛−1 ) + 𝛿
2
mit δ = Fehler
𝑎
104
, 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ,
Fehlerabschätzung: |𝛿| =
b)
(𝑏−𝑎)3
12𝑛2
max |𝑓 ′′ (𝑥)|
𝑥∈[𝑎,𝑏]
Simpsonsche Regel
α
α+β
2
Grundidee: Durch 3 angegebenen Punkte wird eine Parabel gelegt und über diese
wird integriert.
β
𝛼+𝛽
𝛼+𝛽
(𝑥 − 𝛼) (𝑥 −
) (𝑥 − 𝛽)
)
(𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽)
𝛼+𝛽
2
2
𝑃2 (𝑥) = 𝑓(𝛼)
+𝑓(
)
+ 𝑓(𝛽)
𝛼+𝛽
𝛼+𝛽
𝛼+𝛽
𝛼+𝛽
2
(𝛽 − 𝛼) (𝛽 −
(𝛼 −
) (𝛼 − 𝛽)
(
− 𝛼) (
− 𝛽)
)
2
2
2
2
(𝑥 −
𝛼+𝛽
𝑃2 (𝑥) ist Polynom 2. Grades und es gilt: 𝑃2 (𝛼) = 𝑓(𝛼), 𝑃2 (
𝛽
2
) = 𝑓(
𝛼+𝛽
2
), 𝑃2 (𝛽) = 𝑓(𝛽)
𝛽
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈ ∫ 𝑃2 (𝑥)𝑑𝑥 = ⋯ =
𝛼
𝛼
sei n geradzahlig:
𝑥2
𝑏
𝛽−𝛼
𝛼+𝛽
(𝑓(𝛼) + 4𝑓 (
) + 𝑓(𝛽)) Keplersche Fassregel
6
2
𝑥4
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ⋯ + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑎
𝑎
𝑏
𝑥2
𝑥𝑛−2
2ℎ
ℎ
=
(𝑓(𝑎) + 4𝑓(𝑥1 ) + 𝑓(𝑥2 )) + (𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + 𝑓(𝑥4 )) + ⋯
6
3
ℎ
= (𝑓(𝑥0 ) + 4𝑓(𝑥1 ) + 2𝑓(𝑥2 ) + 4𝑓(𝑥3 ) + ⋯ + 4𝑓(𝑥𝑛−1 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )) + 𝛿
3
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑎
ℎ
𝑏−𝑎
(𝑦0 + 4𝑦1 + 2𝑦2 + ⋯ + 2𝑦𝑛−2 + 4𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑛 ) + 𝛿 ℎ =
𝑛 = 2𝑘 𝑘 ∈ ℕ
3
𝑛
Fehlerabschätzung: |𝛿| ≤
1 𝑑𝑥
Beispiel: ∫0
1+𝑥 2
(𝑏 − 𝑎)5
max|𝑓 (4) (𝑥)|
180(2𝑛)4 [𝑎,𝑏]
1 𝑑𝑥
𝑛 = 4 ∫0
1+𝑥 2
≈ 0,78539 auf 5 Stellen genau, sehr gute Näherung
Bemerkung:
gegeben seien k + 1 Punkte x0, …, xk und Funktionswerte y0, …, yk. Dann geht folgendes
Polynom 𝑃𝑘 (𝑥) durch diese Punkte:
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) … (𝑥 − 𝑥𝑘 )
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 ) … (𝑥 − 𝑥𝑘 )
+ 𝑦1
+⋯
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 ) … (𝑥0 − 𝑥𝑘 )
(𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 ) … (𝑥1 − 𝑥𝑘 )
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑘−1 )
+ 𝑦𝑘
(𝑥𝑘 − 𝑥0 ) … (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 )
𝑃𝑘 (𝑥) = 𝑦0
Lagrangesches Interpolationspolynom
105
5.
Unendliche Reihen
5.1
Reihen mit konstanten Gliedern
5.1.1
Grundbegriffe
∞
1 1 1 1
1
Beispiel 1: 1 + + + + + ⋯ = ∑ endlich oder unendlich?
2 3 4 5
𝑛
𝑛=1
∞
1 1 1
1
1 𝑛
Beispiel 2: + + +
+⋯=1= ∑( )
2 4 8 16
2
∞
𝑛=1
1
8
…
1
4
1 1
1
Beispiel 3: 1 + + + ⋯ = ∑ 2
4 9
𝑛
1
2
𝑛=1
Definition: Es sei {𝑎𝑛 }∞
𝑛=1 eine Folge reeller (oder komplexer) Zahlen. Dann heißt die Folge
{𝑠𝑛 }∞
,
wobei
𝑠
=
𝑎
1
1 𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2 … 𝑠𝑛 = 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 Partialsummenfolge.
𝑛=1
Diese Partialsummenfolge wird auch als unendliche Reihe bezeichnet. Die Zahlen ak heißen
Glieder der Reihe.
Definition:
Die unendliche Reihe heißt konvergent, wenn die zugehörige Partialsummenfolge konvergent
𝑛
ist. Andernfalls heißt sie divergent. Ist ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 = lim ∑𝑘=1 𝑎𝑘 = lim 𝑠𝑛 konvergent, so
𝑛→∞
𝑛→∞
heißt 𝑠 = lim 𝑠𝑛 = ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 Grenzwert (oder Summe) der unendlichen Reihe.
𝑛→∞
Beispiel 1: sei 𝑞 ∈ ℝ, 𝑎𝑘 = 𝑞 𝑘−1 geometrische Reihe (Torte)
𝑞𝑛 − 1
𝑠1 = 𝑞 0 = 1 𝑠2 = 1 + 𝑞 𝑠𝑛 = 1 + 𝑞 + ⋯ + 𝑞 𝑛−1 =
𝑞−1
Denn (1 + ⋯ + 𝑞 𝑛−1 )(𝑞 − 1) = 𝑞 𝑛 − 1 sei |𝑞| < 1, dann gilt lim 𝑞 𝑛 = 0
𝑛→∞
𝑞𝑛
−1
1
lim 𝑠𝑛 = lim
=
=
𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑞 − 1
𝑞−1 1−𝑞
1
𝑘−1
Für |𝑞| < 1 ist die geometrische Reihe konvergent und ∑∞
= 1−𝑞.
𝑘=1 𝑞
Eine unendliche Reihe ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 kann nur dann konvergieren, wenn lim 𝑎𝑘 = 0.
𝑘→∞
Nur eine Bedingung von vielen, nicht alle 𝑎∞ = 0 sind konvergent.
𝑛
Beweis: Es sei ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 = 𝑠 konvergent, 𝑠𝑛 = ∑𝑘=1 𝑎𝑘 Partialsummenfolge
lim 𝑠𝑛 = 𝑠 lim 𝑠𝑛−1 = 𝑠 0 = 𝑠 − 𝑠 = lim (𝑠𝑛 − 𝑠𝑛−1 ) = lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
Folgerung: Für |𝑞| > 1 konvergiert die geometrische Reihe nicht, denn lim 𝑞 𝑘 ≠ 0
𝑘→∞
Beispiel 2: 𝑎𝑘 =
1
𝑘
lim 𝑎𝑘 = 0
𝑘→∞
106
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1+ + + + + + + + +
+
+ ⋯+
+⋯
2 ⏟
3 4 ⏟
5 6 7 8 ⏟
9 10 11
16
1
>2⋅
4
1
>
2
1
>4⋅
8
1
>
2
1
1
>8⋅
16
1
>
2
unendliche Addition von 2, somit unendlich
∞
∑ 𝑎𝑘 >
𝑘=1
∞
∑
𝑘=1
1
1
+ ⋯ + = +∞
2
2
1
= +∞ Harmonische Reihe ist divergent
𝑘
Beispiel 3: Teleskopreihe
∞
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
∑
𝑠 =∑
= ∑( −
) = (1 − ) + ( − ) + ⋯ + ( −
)=1−
𝑘(𝑘 + 1) 𝑛
𝑘(𝑘 + 1)
𝑘 𝑘+1
2
2 3
𝑛 𝑛+1
𝑛+1
1
lim 1 −
=1
𝑛→∞
𝑛+1
5.1.2
Konvergenzkriterien
Satz 1: Cauchysches Konvergenzkriterium
Eine Reihe ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 konvergiert genau dann, wenn ∀𝜀 = 0 ∃𝑛0 (𝜀):
|𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + ⋯ + 𝑎𝑚+𝑝 | < 𝜀 ∀𝑚 > 𝑛0 , ∀𝑝 ∈ ℕ
Umgangssprachlich: Von einem gewissen Index n0 ab ist die Summe beliebig vieler weiterer
Summanden beliebig klein.
Definition: Alternierende Reihe
𝑘+1
Eine Reihe der Form ∑∞
𝑐𝑘 mit 𝑐𝑘 ≥ 0 heißt alternierend.
𝑘=1(−1)
1
1
1
Beispiel: 1 − 2 + 3 − 4 …
Satz 2: Leibnizsches Kriterium
Eine alternierende unendliche Reihe, bei welcher die Beträge der Glieder eine monotone
Nullfolge bilden, ist stets konvergent.
Beweisidee: |𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + ⋯ + 𝑎𝑚+𝑝 | = |𝑐𝑚 + 𝑐𝑚+1 + ⋯ + 𝑐𝑚+𝑝 | ≤ |𝑐𝑚 |
𝑐𝑚 , 𝑐𝑚 − 𝑐𝑚+1 ≤ 𝑐𝑚 (da cm monotone Nullfolge)
𝑐𝑚 − 𝑐𝑚+1 + 𝑐𝑚+2 ≤ 𝑐𝑚 ⟶ Nach Satz 1 liegt Konvergenz vor
Beispiel: ∑∞
𝑘=1
∞
(−1)𝑘+1
𝑘
1
1
= 1 − 2 + 3 … ist konvergent
(−1)𝑘+1
∑
= ln 2
𝑘
𝑘=1
107
Satz 3: Majorantenkriterium
Es sei ∑𝑛𝑘=1 𝑎𝑘 eine unendliche Reihe, deren Konvergenzverhalten unbekannt ist und ∑∞
𝑘=1 𝑐𝑘
eine Reihe mit positiven Gliedern, die als konvergent bekannt ist und die Abschätzung |𝑎𝑘 | ≤
𝑐𝑘 ∀𝑘 ≥ 𝑘0 konvergente Majorante. Dann ist ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 konvergent.
Beweis: |𝑎𝑚 + 𝑎𝑚+1 + ⋯ + 𝑎𝑚+𝑝 | ≤ |𝑎𝑚 | + ⋯ + |𝑎𝑚+𝑝 | ≤ 𝑐𝑚 + ⋯ + 𝑐𝑚+𝑝 < 𝜀 mit ∀𝑚 >
𝑛0 ∀𝑝 ∈ ℕ ⟶ Satz 1 zeigt Konvergenz ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 .
1
1
1
Beispiel: ∑∞
𝑘=1 𝑘 2 = 1 + 4 + 9 + ⋯ diese Reihe konvergiert
1
1
𝑎𝑘 = 2 <
= 𝑐𝑘 𝑎𝑘 < 𝑐𝑘 ∑ 𝑐𝑘 < ∞ ⟶ ∑ 𝑎𝑘 < ∞
(𝑘 − 1)𝑘
𝑘
∞
1
𝜋2
∑ 2=
𝑘
6
𝑘=1
Satz 4: Wurzelkriterium
𝑘
Es sei ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 eine unendliche Reihe mit 𝑎𝑘 ≥ 0 ∀𝑘 und es existiert 𝑞 = lim √𝑎𝑘 . Für 𝑞 <
𝑘→∞
1 konvergiert sie, für 𝑞 > 1 divergiert sie. Für 𝑞 = 1 sind beide Fälle möglich.
Beweisskizze:
Sei 𝑞 < 1 ⟶ 𝑘√𝑎𝑘 ≤ 𝑞̃ < 1 ∀𝑘 > 𝑘0 ⟶ 𝑎𝑘 ≤ 𝑞̃ 𝑘 geometrische Reihe ist konvergente
Majorante → Konvergenz ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 .
Wenn 𝑞 > 1 ⟶ 𝑎𝑘 ≥ 1 ∀𝑘 ≥ 𝑘0 ⟶ 𝑎𝑘 keine Nullfolge ⟶ ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 ist divergent.
𝑞=1
1
𝑎𝑘 =
𝑘
∞
1
1
lim √ =
=1
𝑘
𝑘→∞ 𝑘
lim √𝑘
𝑘
∑
𝑘=1
𝑘→∞
𝑞=1
1
𝑎𝑘 = 2
𝑘
1
ist bekanntlich divergent.
𝑘
∞
1
1
lim √ 2 =
2 =1
𝑘
𝑘→∞ 𝑘
lim √𝑘
𝑘
∑
𝑘=1
𝑘→∞
∞
∞
1
Beispiel: ∑
(ln 𝑘)𝑘
1
1
1
lim √
= lim
=0=𝑞<1⟶∑
konvergiert
𝑘
𝑘→∞ (ln 𝑘)
𝑘→∞ ln 𝑘
(ln 𝑘)𝑘
𝑘
𝑘=2
𝑘=2
Satz 5: Quotientenkriterium
Es sei 𝑎𝑘 > 0 ∀𝑘. Existiert ein 𝑞 < 1, so dass
konvergent. Gilt
𝑎𝑘+1
𝑎𝑘
1
ist konvergent.
𝑘2
≥ 1 ∀𝑘 ≥ 𝑘0 , so ist die Reihe
𝑎𝑘+1
< 𝑞 ∀𝑘 > 𝑘0 , dann ist ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘
𝑎𝑘
∞
∑𝑘=1 𝑎𝑘
divergent.
Beweis: 𝑘0 = 0 ohne Beschränkung der Allgemeinheit. Wir lassen die ersten Glieder weg,
𝑎
𝑎
fangen irgendwo an : 𝑎2 < 𝑞, 𝑎3 < 𝑞, … ,
1
2
𝑎𝑘+1
𝑎𝑘
Multipliziere 𝑎𝑘+1
<𝑞→
𝑎1
< 𝑞𝑘
𝑎𝑘 < 𝑎1 ⋅ 𝑞 𝑘−1 geometrische Reihe bildet eine Majorante → Konvergenz.
𝑎
Sei 𝑎𝑘+1 ≥ 1 ∀𝑘 ≥ 𝑘0 ⟶ 𝑎𝑘𝑛 ≥ 𝑎𝑘 ⟶ 𝑎𝑘 ↛ 0 divergent.
𝑘
108
∞
Beispiel 7: ∑
𝑘=1
𝑥𝑘
𝑥𝑘
𝑥 > 0 𝑎𝑘 =
𝑘!
𝑘!
𝑎𝑘+1
𝑥 𝑘+1 𝑥 𝑘
𝑥
=
:
=
(𝑘 + 1)! 𝑘! 𝑘 + 1
𝑎𝑘
𝑥
lim
= 0 = 𝑞 < 1 ⟶ Konvergenz
𝑘→∞ 𝑘 + 1
∞
Beispiel 8: ∑ 𝑘𝑥 𝑘−1 𝑥 > 0
𝑘=1
𝑎𝑘+1 (𝑘 + 1)𝑥 𝑘 𝑘 + 1
=
=
𝑥→ 𝑥
𝑘→∞
𝑎𝑘
𝑘𝑥 𝑘−1
𝑘
0 ≤ 𝑥 < 1 Konvergenz, 𝑥 ≥ 1 divergent
Definition: Eine unendliche Reihe heißt absolut konvergent, wenn ∑∞
𝑘=1|𝑎𝑘 | konvergiert.
Beispiel:
∞
1
∑(−1)𝑘+1 ist nicht absolut konvergent
𝑘
𝑘=1
∞
∑(−1)𝑘+1
𝑘=1
1
ist absolut konvergent
𝑘2
Bemerkung:
Anwendungen des Wurzel- bzw. Quotientenkriteriums auf Reihen mit Gliedern beliebigen
Vorzeichens.
∑|𝑎𝑘 | untersuchen (absolute Konvergenz nachweisen)
∑ 𝑎𝑘 folgt aus Majorantenkriterium
Warnung:
Umordnungen von Reihen mit unendlich vielen Gliedern, sowohl mit positiven als auch mit
negativen Vorzeichen können jede beliebige Summe ergeben.
5.2
Grundbegriffe von Funktionenreihen und –folgen
Die Glieder an der Reihe sollen jetzt von x abhängen (𝑥 ∈ ℝ oder 𝑧 ∈ ℂ) 𝑎𝑛 = 𝑓𝑛 (𝑥).
Beispiel: 𝑓𝑛 = 𝑥 𝑛 𝑛 = 1,2, …
Konvergenzverhalten: lim 𝑓𝑛 (𝑥) =?
𝑛→∞
lim 𝑥 𝑛 = 0 wenn |𝑥| < 1
𝑛→∞
lim 𝑥 𝑛 existiert nicht wenn |𝑥| > 1
𝑛→∞
lim 𝑥 𝑛 = 1 wenn 𝑥 = 1
𝑛→∞
𝑥 = −1 keine Konvergenz
Wenn −1 < 𝑥 ≤ 1 dann existiert eine Grenzfunktion lim 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑛→∞
109
lim 𝑓
𝑛→∞ 𝑛
x
Beobachtung: Obwohl alle 𝑓𝑛 (𝑥) stetig sind, ist 𝑓(𝑥) unstetig
x4
0
(𝑥) = {0 0 < 𝑥 < 1
1
𝑥=1
1
Definition:
Es sei {𝑓𝑛 (𝑥)}∞
𝑛=1 eine auf 𝐷 ⊂ ℝ definierte Folge von Funktionen. Existiert die
Grenzfunktion 𝑓(𝑥) = lim 𝑓𝑛 (𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝐷, so heißt 𝑓𝑛 (𝑥) punktweise konvergent gegen 𝑓(𝑥)
𝑛→∞
auf D. Gilt strenger ∀𝜀 > 0 ∃𝑛0 = 𝑛0 (𝜀) (n0 soll nicht gleichmäßig konvergent gegen 𝑓(𝑥)
auf D). Man schreibt 𝑓𝑛 (𝑥) → 𝑓(𝑥).
𝑛→∞
Beispiel: 𝐷 = [0, 𝑏] 0 < 𝑏 < 1. Dann gilt 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑥 𝑛 → 0 auf D.
𝑛→∞
Alle xn konvergieren mindestens so schnell gegen Null wie bn.
Satz 6: Die Grenzfunktion 𝑓(𝑥) jeder gleichmäßig auf D konvergenten Folge stetiger
Funktion 𝑓𝑛 (𝑥) ist ebenfalls stetig.
Definition: Es sei {𝑓𝑘 (𝑥)}∞
𝑘=1 eine Folge von Funktionen 𝑓𝑛 : 𝐷 ⟶ ℝ. Dann heißt die
(𝑥)
unendliche Reihe ∑∞
𝑓
Funktionsreihe.
𝑘=1 𝑘
𝑥𝑘
𝑥
Beispiel 1: ∑∞
𝑘=1 𝑘! Potenzreihe (= 𝑒 − 1)
Beispiel 2: ∑∞
𝑘=1
sin(𝑘𝑥)
𝑘
1
Fourierreihe (= 2 (𝜋 − 𝑥), 0 < 𝑥 < 2𝜋)
Definition: Die Funktionsreihe ∑∞
𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥) heißt gleichmäßig konvergent, wenn die
entsprechende Partialsummenfolge 𝑠𝑛 (𝑥) = ∑𝑛𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥) gleichmäßig konvergiert.
Satz 7: Kriterium von Weierstraß
∞
Besitzt eine Funktionsreihe ∑∞
𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥) eine Zahlenreihe ∑𝑘=1 𝑎𝑘 als konvergente Majorante:
|𝑓𝑛 (𝑥)| ≤ 𝑎𝑘 , ∑∞
𝑘=1 𝑎𝑘 konvergent, dann ist die Funktionsreihe gleichmäßig konvergent.
Beispiel: ∑∞
𝑘=1
ist.
sin(𝑘𝑥)
𝑘2
sin(𝑘𝑥)
ist gleichmäßig konvergent, da |
𝑘2
1
1
| ≤ 𝑘 2 und ∑∞
𝑘=1 𝑘 2 konvergent
Folgerung: Sind 𝑓𝑛 (𝑥) stetig auf D und ist ∑∞
𝑘=1 𝑓𝑘 (𝑥) gleichmäßig konvergent, so ist auch die
∞
∑
(𝑥)
Grenzfunktion 𝑓(𝑥) = 𝑘=1 𝑓𝑘
stetig.
5.3
Potenzreihen
𝑘
Definition: Eine Funktionsreihe der Form ∑∞
𝑘=0 𝑐𝑘 ⋅ 𝑧 mit Koeffizienten 𝑐𝑘 ∈ ℂ und der
Variablen 𝑧 ∈ ℂ heißt Potenzreihe.
∞
Beispiel 1: ∑ 𝑧
𝑘=1
∞
𝑘−1
(= ∑ 𝑧 𝑘 )
𝑘=0
110
𝑛
𝑠𝑛 = ∑ 𝑧 𝑘−1 =
∞
𝑘=1
𝑧 𝑛 − 1 für |𝑧|<1
→
lim 𝑧 𝑛 = 0
𝑛→∞
𝑧−1
𝑧𝑛 − 1
−1
1
=
=
𝑛→∞ 𝑧 − 1
𝑧−1 1−𝑧
∑ 𝑧 𝑘−1 = lim 𝑠𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑘=1
∞
1
, |𝑧| < 1 für |𝑧| > 1 liegt Divergenz vor
1−𝑧
∑ 𝑧𝑘 =
𝑘=0
Geometrische Reihe im Komplexen
Im
Re
1
Konvergenzkreis |𝑧| < 1
Bemerkung: Alle Taylorreihen sind Potenzreihen
Eigenschaften von Potenzreihen
Satz 8: Konvergenzradius
Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius 𝑟 ∈ [0, ∞], so dass die Reihe im
Konvergenzkreis {𝑧 ∈ ℂ, |𝑧| < 𝑟} konvergiert und für |𝑧| > 𝑟 divergiert. In jedem Kreis vom
Radius 𝑟̃ < 𝑟 um den Nullpunkt konvergiert die Reihe gleichmäßig.
Konvergenz
innerhalb Kreis
Beweis Skizze: Wurzelkriterium
𝑘
𝑘
lim √|𝑐𝑘 ||𝑧|𝑘 = lim √|𝑐𝑘 | ⋅ |𝑧| < 1
𝑘→∞
𝑘→∞
Es liegt Konvergenz vor, wenn |𝑧| <
~
r
wenn |𝑧| >
r
1
𝑘
lim √|𝑐𝑘 |
𝑘→∞
Falls lim 𝑘√|𝑐𝑘 | existiert, so gilt für den Konvergenzradius
𝑘→∞
𝑟=
𝑘
0
falls lim √|𝑐𝑘 | = ∞
∞
falls lim √|𝑐𝑘 | = 0
𝑘→∞
𝑘
𝑘→∞
1
sonst
𝑘
lim √|𝑐𝑘 |
{𝑘→∞
Allgemein:
1
𝑟=
𝑘
lim √|𝑐𝑘 |
𝑘→∞
∞
𝑧𝑘
Beispiel 2: ∑
𝑘!
𝑘=0
𝑘
lim √𝑘! = schwer zu lösen
𝑘→∞
111
1
𝑘
lim √|𝑐𝑘 |
𝑘→∞
und Divergenz,
Wenn es schwierig wird, weichen wir auf Quotientenkriterium aus. Wurzelkriterium ist
schärfer, aber wenn Quotientenkriterium Konvergenz bringt, dann auch gut.
|𝑧|
𝑓𝑘+1 (𝑧)
𝑧 𝑘+1
𝑘!
=
⋅ 𝑘=
→ 0
(𝑘 + 1)! 𝑧
𝑓𝑘 (𝑧)
𝑘 + 1 𝑘→∞
Reihe konvergiert für alle z. Konvergenzradius 𝑟 = ∞.
𝑧𝑘
Definition: 𝑒 𝑧 = ∑∞
𝑘=0 𝑘!
Beispiel 3: ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −
𝑥2
+
2
Konvergenzradius 𝑟 = 1 𝑐𝑘 =
𝑘
lim √|𝑐𝑘 | = lim
1
𝑘→∞ 𝑘√𝑘
𝑘→∞
𝑥3
−
𝑥4
3
4
(−1)𝑘+1
𝑘+1
+ ⋯ = ∑∞
𝑘=1(−1)
𝑥𝑘
𝑘
𝑘
=1
Folgerung: Die logische Reihe konvergiert für −1 < 𝑥 < 1. So konvergiert wegen dem
Leibnizkriterium auch für 𝑥 = 1.
Beispiel 4:
∞
𝑧3 𝑧5
𝑧 2𝑘−1
𝑘−1
sin 𝑧 = 𝑧 − + − ⋯ = ∑(−1)
(2𝑘 − 1)!
3! 5!
𝑘=1
∞
𝑧2 𝑧4
𝑧 2𝑘
𝑘
cos 𝑧 = 1 − + − ⋯ = ∑(−1)
(2𝑘)!
2! 4!
𝑘=0
Konvergenzradius 𝑟 = +∞
Durch Addition beider Reihen erkennbar, weil dann ex Reihe (schon errechnet).
Differentiation und Integration reeller Potenzreihen
𝑘
gegeben: Potenzreihe 𝑓(𝑥) = ∑∞
𝑟>0
𝑘=0 𝑐𝑘 𝑥
′ (𝑥), 𝑏
gesucht: 𝑓
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Satz 9: Differentiation
Die Funktion f ist im Konvergenzintervall (-r, r) differenziebar und
∞
𝑓
′ (𝑥)
= ∑ 𝑘𝑐𝑘 𝑥 𝑘−1 = 𝑐1 + 2𝑐2 𝑥 + ⋯
𝑘=1
Die durch Differentiation entstandene Reihe hat wieder den Konvergenzradius r.
𝑘
𝑘
𝑘
Bemerkung: lim √𝑘 ⋅ |𝑐𝑘 | = lim √𝑘 ⋅ lim √|𝑐𝑘 |
𝑘→∞
Beispiel 5: sin 𝑥 = 𝑥 −
(sin 𝑥)′ = cos 𝑥 = 1 −
𝑘→∞
𝑥3
3!
2
+
𝑥5
5!
𝑘→∞
−⋯
4
𝑥
𝑥
+ −⋯
2! 4!
Bemerkung: Potenzreihen dürfen in (-r, r) gliedweise differenziert werden, d.h.
112
′
∞
𝑓
′ (𝑥)
∞
= (∑ 𝑓𝑛 (𝑥)) = ∑ 𝑓𝑛′ (𝑥) Ansonsten Vorsicht
𝑛=1
𝑛=1
Satz 10: Integration
Die durch (x) dargestellte Funktion f ist auf jedem Teilintervall [𝑎, 𝑏] ⊂ (−𝑟, 𝑟) integrierbar
𝑏
𝑏
𝑏 𝑘
∞
𝑘
und es gilt ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎 (∑∞
𝑛=0 𝑐𝑘 𝑥 )𝑑𝑥 = ∑𝑘=0 𝑐𝑘 ∫𝑎 𝑥 𝑑𝑥 .
𝑥
𝑥 𝑘
𝑐𝑘
∞
𝑘+1
Insbesondere ist 𝐹(𝑥) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∑∞
+𝑐
𝑘=0 𝑐𝑘 ∫𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = ∑𝑘=0 𝑘+1 𝑥
Stammfunktion zu 𝑓(𝑥). Gliedweise Integration ist in (-r, r) erlaubt.
Multiplikation von Potenzreihen
∞
∞
∑ 𝑎𝑘 ⋅ ∑ 𝑏𝑘 = (𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ ) ⋅ (𝑏0 + 𝑏1 + 𝑏2 + ⋯ ) = 𝑎0 𝑏0 + 𝑎0 𝑏1 + ⋯
𝑘=0
𝑘=0
Reihenfolge unklar, ähnliche Gefahren, wie Umordnen?
Bei der Reihenfolge gibt es Freiheiten. Die Reihenfolge der Summation kann das
Konvergenzverhalten und die Summe der unendlichen Reihe beeinflussen.
Bei Potenzreihen gibt es diese Probleme nicht.
𝑏0
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑎0
𝑎0 𝑏0
𝑎0 𝑏1
𝑎0 𝑏2
𝑎1
𝑎1 𝑏0
𝑎1 𝑏1
𝑎1 𝑏2
𝑎2
𝑎2 𝑏0
𝑎2 𝑏1
𝑎2 𝑏2
⋯
∑ 𝑎𝑘 ⋅ ∑ 𝑏𝑘 = ∑ 𝑐𝑘
Addition der Diagonalen (von links unten, nach
rechts oben)
𝑐0 = 𝑎0 𝑏0
𝑐1 = 𝑎0 𝑏1 + 𝑎1 𝑏0
𝑐2 = 𝑎0 𝑏2 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏0
Satz 11: Multiplikation
∞
𝑘
𝑘
Für das Produkt zweier Potenzreihen ∑∞
gilt ein gemeinsamer
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑧 , ∑𝑘=0 𝑏𝑘 𝑧
∞
∞
∞
𝑘
𝑘
𝑘
Konvergenzkreis (∑𝑘=0 𝑎𝑘 𝑧 )(∑𝑘=0 𝑏𝑘 𝑧 ) = ∑𝑘=0 𝑐𝑘 𝑧 mit 𝑐𝑘 = 𝑎0 𝑏𝑘 + 𝑎1 𝑏𝑘−1 + ⋯ +
𝑎𝑘 𝑏0 = ∑𝑘𝑗=0 𝑎𝑗 𝑏𝑘−𝑗 .
Bemerkung: (𝑎𝑗 𝑧 𝑗 )(𝑏𝑘−𝑗 𝑧 𝑘−𝑗 ) = 𝑎𝑗 𝑏𝑘−𝑗 𝑧 𝑗+𝑘−𝑗 = 𝑎𝑗 𝑏𝑘−𝑗 𝑧 𝑘
Beispiel 6: Additionstheorem für e-Funktion
∞ 𝑘
∞
𝑧
𝑣𝑘
𝑧
𝑣
𝑒 =∑
𝑒 =∑
𝑘!
𝑘!
𝑘=0
∞
𝑘
𝑘=0
∞
𝑘
∞
𝑧
𝑣
𝑒 ⋅𝑒 = ∑ ⋅∑
= ∑ 𝑐𝑘
𝑘!
𝑘!
𝑧
𝑣
𝑘
𝑘=0
𝑗
𝑘=0
𝑘−𝑗
𝑘
𝑘=0
𝑘
𝑧
𝑣
𝑘!
1
1
𝑘 1
𝑐𝑘 = ∑ ⋅
=∑
⋅ 𝑧 𝑗 𝑣 𝑘−𝑗 = ∑ ( ) 𝑧 𝑗 𝑣 𝑘−𝑗 = (𝑧 + 𝑣)𝑘
𝑗 𝑘!
𝑗! (𝑘 − 𝑗)!
𝑗! (𝑘 − 𝑗)! 𝑘!
𝑘!
𝑗=0
∞
𝑒 𝑧 ⋅ 𝑒𝑣 = ∑
𝑘=0
𝑗=0
𝑗=0
𝑘
(𝑧 + 𝑣)
= 𝑒 𝑧+𝑣 ⟶ 𝑒 𝑧1 +𝑧2 = 𝑒 𝑧1 ⋅ 𝑒 𝑧2 ∀𝑧1 , 𝑧2 ∈ ℂ
𝑘!
113
𝑘
Bemerkung: Man kann Potenzreihen allgemeiner Natur betrachten: ∑∞
𝑘=0 𝑐𝑘 (𝑧 − 𝑧0 ) ,
Konvergenzkreis {𝑧; |𝑧 − 𝑧0 | < 𝑟}
Division von Potenzreihen
𝑘
Es sei 𝑓(𝑥) = ∑∞
𝑎0 ≠ 0, dann kann man
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑥
1
1
𝑓
=𝑎
positiven Konvergenzradius entwickeln, d.h. 𝑓(𝑥) = 𝑏0 +
∞
∞
∞
𝑘=0
𝑘=0
𝑘=0
1
0 +𝑎1 𝑥+⋯
𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥 2
in eine Potenzreihe mit
𝑘
+ ⋯ = ∑∞
𝑘=0 𝑏𝑘 𝑥 .
1
𝑓(𝑥)
= 1 = (∑ 𝑏𝑘 𝑥 𝑘 ) (∑ 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 ) = ∑ 𝑐𝑘 𝑥 𝑘
𝑓(𝑥)
Koeffizientenvergleich:
𝑐0 = 𝑎0 𝑏0 = 1
𝑐1 = 𝑎0 𝑏1 + 𝑎1 𝑏0 = 0
𝑐2 = 𝑎0 𝑏2 + 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏0 = 0
⋮
ak bekannt
1
𝑎1 𝑏0
−𝑎1 𝑏1 − 𝑎2 𝑏0
𝑏1 = −
𝑏2 =
…
𝑎0
𝑎0
𝑎0
alle bk werden nacheinander ausgerechnet.
𝑏0 =
𝑘
∑∞
𝑘=0 𝑑𝑘 𝑥
𝑘
∑∞
𝑘=0 𝑎𝑘 𝑥
𝑘
= ∑∞
𝑘=0 𝑏𝑘 𝑥 (?? was ist d, ist c gemeint??) Analog über Koeffizientenvergleich
1
𝐵
2𝑛
𝑛 2𝑛
Beispiel: coth 𝑥 = 𝑥 ∑∞
𝐵2𝑛 = Bernoullische Zahlen
𝑛=1 (2𝑛)! 4 𝑧
5.4
Fourierreihen
gegeben: 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 2π-periodisch. Wir wollen f in eine trigonometrische Reihe entwickeln.
Ansatz: 𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+ 𝑎1 cos 𝑥 + 𝑏1 sin 𝑥 + 𝑎2 cos 2𝑥 + 𝑏2 sin 2𝑥 + ⋯
∞
𝑎0
(∗) 𝑓(𝑥) =
+ ∑(𝑎𝑘 cos 𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑥)
2
𝑘=1
Nahezu jede stetige Funktion kann man so zerlegen.
Orthogonalitätsrelationen:
𝜋
i)
𝜋
∫ 1 ⋅ cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 1 ⋅ sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 0 ∀𝑘 ∈ ℕ
−𝜋
𝜋
−𝜋
𝜋
ii) ∫ cos 𝑘𝑥 ⋅ cos 𝑙𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin 𝑘𝑥 ⋅ sin 𝑙𝑥 𝑑𝑥 = {
−𝜋
−𝜋
114
0
𝜋
𝑘≠𝑙
𝑘=𝑙
𝜋
𝜋
iii) ∫ cos 𝑘𝑥 ⋅ sin 𝑙𝑥 𝑑𝑥 = 0 ∀𝑘, 𝑙 ∈ ℕ
−𝜋
∫ 1 ⋅ 1𝑑𝑥 = 2𝜋
−𝜋
Das Funktionssystem {1, cos 𝑥 , sin 𝑥 , cos 2𝑥 , … } bildet ein System von zu einander
„orthogonalen Funktionen“. Wir bestimmen nun die Koeffizienten 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑏1 , 𝑏2 , … wie
folgt:
𝜋
Wir multiplizieren (*) mit 1 und bilden das Integral ∫−𝜋 … 𝑑𝑥
𝜋
𝜋
𝜋
∞
𝜋
𝑎0
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∑ 𝑎𝑘 ∫ cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏𝑘 ∫ sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥
2
𝑘=1 ⏟ −𝜋
⏟ −𝜋
−𝜋
−𝜋
0
0
(
)
𝑎0 =
𝜋
1
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
−𝜋
𝑎0 𝜋
𝑥| = 𝑎0 𝜋
2 −𝜋
Nun multiplizieren wir (*) mit cos 𝑙𝑥 und integrieren von –π bis π:
𝜋
𝜋
𝜋
∞
𝜋
𝑎0
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑙𝑥 𝑑𝑥 =
∫ cos 𝑙𝑥 𝑑𝑥 + ∑ (𝑎𝑘 ∫ cos 𝑘𝑥 ⋅ cos 𝑙𝑥 𝑑𝑥 + 𝑏𝑘 ∫ ⏟
sin 𝑘𝑥 ⋅ cos 𝑙𝑥 𝑑𝑥 ) = 𝑎𝑙 ⋅ 𝜋
2
0
𝑘=1
⏟
−𝜋
−𝜋
−𝜋
−𝜋
⏟
0
𝜋
𝑎𝑙 =
≠0 nur für 𝑘=𝑙
𝜋
1
1
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑙𝑥 𝑑𝑥 𝑏𝑙 = ∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑙𝑥 𝑑𝑥
𝜋
𝜋
−𝜋
−𝜋
Zusammengefasst
𝑎𝑘 =
𝑏𝑘 =
𝜋
1
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑘 = 0,1,2,3, …
𝜋
1
−𝜋
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝜋
𝑘 = 1,2,3,4, …
−𝜋
ak, bk Fourierkoeffizienten
Vorbemerkungen:
𝐿
𝑎+𝐿
i)
Hat 𝑓: ℝ ⟶ ℝ die Periode L, dann gilt ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∀𝑎 ∈ ℝ denn
𝐿
ii)
𝑎
= ∫0
𝐿
+ ∫𝑎
𝑎+𝐿
𝐿
𝑎+𝐿
𝐿
𝑎
, ∫𝑎
= ∫𝑎 + ∫𝐿
= ∫𝑎 + ∫0
0
wenn F ungerade ist 𝐹(𝑥) = −𝐹(𝑥)
𝜋
∫−𝜋 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 = { 𝜋
2 ∫0 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
wenn F gerade ist 𝐹(𝑥) = 𝐹(−𝑥)
∫0
Folgerung
Sei f eine gerade Funktion
2 𝜋
⟶ 𝑓(𝑥) cos 𝑘𝑥 gerade ⟶ 𝑎𝑘 = 𝜋 ∫0 …
⟶ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 ungerade ⟶ 𝑏𝑘 = 0
115
Sei f eine ungerade Funktion
⟶ 𝑓(𝑥) cos 𝑘𝑥 ungerade ⟶ 𝑎𝑘 = 0
2 𝜋
⟶ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 gerade ⟶ 𝑏𝑘 = 𝜋 ∫0 …
𝜋
2
𝑎𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝜋
𝑏𝑘 = 0
𝑓 gerade
2
∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥
𝜋
𝑎𝑘 = 0
𝑓 ungerade
0
𝜋
𝑏𝑘 =
0
Ungerade Funktionen ergeben eine reine Sinusreihe, gerade Funktionen eine Cosinusreihe.
𝑎𝑥
Beispiel 1: Sägezahnkurve 𝑓(𝑥) = {
0
-π
−𝜋 < 𝑥 < 𝜋, 𝑎 > 0
, f wird 2π periodisch fortgesetzt
𝑥=𝜋
π
Original Sägezahn
Da f ungerade 𝑎𝑘 = 0
𝜋
π
-π
10-te Partialsumme
𝜋
𝜋
𝜋
(−1)𝑘+1
2
2𝑎
2𝑎
𝑥
1
𝑏𝑘 = ∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
∫ 𝑥 sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
(− cos 𝑘𝑥| + ∫ ⏟
cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 ) =
⋅ 2𝑎
𝜋
𝜋
𝜋
𝑘
𝑘
𝑘
0
0
0
∞
0
(−1)𝑘+1
0
sin 𝑥 sin 2𝑥
−
+⋯)
𝑘
1
2
𝑘=1
sin 2𝑥 sin 3𝑥
für 𝑎 = 1 𝑓(𝑥) = 2 (sin 𝑥 −
+
−⋯)
2
3
𝜋 𝜋
1 1 1
mit 𝑥 =
[ = 1− + − +⋯]
2 4
3 5 7
𝑓(𝑥) = 2𝑎 ∑
sin 𝑘𝑥 = 2𝑎 (
Gibbs-Phänomen
y
Die Maxima der
Überschwinger
bilden Gerade
Si(π)
0.179•
π
2
N=6
π
2
anzunähernde
Funktion
N=3
x
xN
xN+3
116
Beispiel 2: Rechteckfunktion
1
0<𝑥<𝜋
𝑓(𝑥) = { 0 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋
−1 −𝜋 < 𝑥 < 0
𝑎𝑘 = 0
π
𝜋
2
𝑏𝑘 = ∫ 1 ⋅ sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 |cos 𝑘𝑥 = (−1)𝑘
𝜋
0
0
2
1
𝑘
= (− ((−1) − 1)) = { 4
𝜋
𝑘
−
𝑘𝜋
𝑓(𝑥) =
𝑘 gerade
𝑘 ungerade
4
sin 3𝑥 sin 5𝑥
(sin 𝑥 +
+
+⋯)
𝜋
3
5
Satz: Konvergenz von Fourierreihen
Die Funktion 𝑓: ℝ ⟶ ℝ sei 2π-periodisch und stückweise glatt, d.h.
i)
ii)
In einem Intervall der Länge 2π ist f mit Ausnahme von höchstens endlich vielen
Punkten x stetig differenzierbar.
In diesen Ausnahmepunkten existiert die links- und rechtsseitigen Grenzwerte 𝑓(𝑥𝑖 −
0), 𝑓(𝑥𝑖 + 0), 𝑓 ′ (𝑥𝑖 − 0), 𝑓 ′ (𝑥𝑖 + 0)
Dann konvergiert die Fourierreihe in den Stetigkeitspunkten x von f gegen 𝑓(𝑥) und gegen
1
den Mittelwert 2 (𝑓(𝑥𝑖 − 0) + 𝑓(𝑥𝑖 + 0)) in den Unstetigkeitspunkten.
Beispiel 3: Fourierreihenentwicklung von x2
𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 𝜋 < 𝑥 < 𝜋
gerade 𝑏𝑘 = 0
π
𝜋
2
𝑎𝑘 = ∫ 𝑥 2 cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑘 = 0,1, …
𝜋
0
𝜋
2
2 1 3𝜋 2 2
2
𝑎0 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ⋅ 𝑥 | = 𝜋
𝜋
𝜋 3
3
0
0
4
𝑘2
∞
𝑎𝑘 = (−1)𝑘 ⋅
∞
𝑎0
𝜋2
cos 𝑘𝑥
𝑥 =
+ ∑ 𝑎𝑘 cos 𝑘𝑥 =
+ 4 ∑(−1)𝑘
−𝜋 <𝑥 <𝜋
2
3
𝑘2
2
𝑘=1
𝑘=1
Spezialfälle:
∞
(−1)𝑘+1
𝜋2
1
1
𝜋2
1
1
𝑥=0 0=
+ 4 (−1 + 2 − 2 + ⋯ ) ⟶
=1− 2+ 2−⋯= ∑
3
2
3
12
2
3
𝑘2
2
𝑥 = 𝜋 cos 𝑘𝜋 = (−1)𝑘 𝜋 2 =
∞
∞
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
𝜋
1
1
1 1
𝜋2
+4∑ 2 ∑ 2 = 1+ + +⋯ =
3
𝑘
𝑘
4 9
6
117
Die komplexe Schreibweise von Fourierreihen
1
1
(cos 𝑘𝑥 + 𝑗 sin 𝑘𝑥 − 𝑗 sin 𝑘𝑥 + cos 𝑘𝑥) = (𝑒 𝑗𝑘𝑥 + 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 )
2
2
1 𝑗𝑘𝑥
𝑗
sin 𝑘𝑥 = (𝑒
− 𝑒 −𝑗𝑘𝑥 ) = (𝑒 −𝑗𝑘𝑥 − 𝑒 𝑗𝑘𝑥 )
2𝑗
2
cos 𝑘𝑥 =
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=1
𝑘=−𝑛
𝑎0
𝑎0
𝑎𝑘 − 𝑗𝑏𝑘 𝑗𝑘𝑥
𝑎𝑘 + 𝑗𝑏𝑘 −𝑗𝑘𝑥
+ ∑(𝑎𝑘 cos 𝑘𝑥 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑥) =
+∑
⋅𝑒
+∑
⋅𝑒
= ∑ 𝑐𝑘 𝑒 𝑗𝑘𝑥
2
2
2
2
1
(𝑎 − 𝑗𝑏𝑘 )
𝑘>0
2 𝑘
1
𝑐𝑘 =
𝑎
𝑘=0
2 0
1
{2 (𝑎−𝑘 + 𝑗𝑏−𝑘 ) 𝑘 < 0
Im Falle von Konvergenz der Fourierreihe
∞
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑘 𝑒 𝑗𝑘𝑥 komplexe Form der Fourierreihe
𝑘=−∞
𝜋
𝜋
𝜋
−𝜋
−𝜋
−𝜋
1
1
1
𝑐𝑘 = (𝑎𝑘 ± 𝑗𝑏𝑘 ) =
{ ∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 ± 𝑗 ∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥 } =
∫ 𝑓(𝑥)𝑒 ±𝑗𝑘𝑥 𝑑𝑥
2
2𝜋
2𝜋
𝜋
=
1
∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑘𝑥 𝑑𝑥 𝑘 = 0, ±1, ±2
2𝜋
−𝜋
Andere Periodenlänge f habe anstelle von 2π die Periode 𝐿 > 0 𝑓(𝑥 + 𝐿) = 𝑓(𝑥)
Variablentransformation
2𝜋
𝐿
𝐿
𝑡=
𝑥⟺𝑥=
𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑓 ( 𝑡) = 𝑓̃(𝑡)
𝐿
2𝜋
2𝜋
𝐿
𝐿
𝐿
𝑓̃(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓 ( (𝑡 + 2𝜋)) = 𝑓 ( 𝑡 + 𝐿) = 𝑓 ( 𝑡) = 𝑓̃(𝑡) mit Periode 2𝜋
2𝜋
2𝜋
2𝜋
∞
𝑎0
𝑓̃(𝑡) =
+ ∑(𝑎𝑘 cos 𝑘𝑡 + 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑡)
2
𝑘=1
𝐿
2
𝜋
𝑎𝑘 =
1
1
2𝜋
2𝜋
∫ 𝑓̃(𝑡) cos 𝑘𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑥) cos ( 𝑘𝑥) ⋅
𝑑𝑥
𝜋
𝜋
𝐿
𝐿
−𝜋
𝑎𝑘 =
2
𝐿
𝐿
2
−
2𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝐿
−
2
𝐿
𝑘𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
2
𝑘 = 0,1,2, …
118
𝑏𝑘 =
𝐿
2
2
𝐿
2𝜋
∫ 𝑓(𝑥) sin (
𝐿
−
2
𝑓(𝑥) =
𝑎0
𝐿
𝑘𝑥) 𝑑𝑥
𝑘 = 1,2,3, …
∞
2𝜋
2𝜋
+ ∑ (𝑎𝑘 cos ( 𝑘𝑥) + 𝑏𝑘 sin ( 𝑘𝑥))
2
𝐿
𝐿
𝑘=1
119
6.
Integraltransformation
6.1
Fouriertransformation
6.1.1
Einführung
Integraltransformation
Differentialgleichung →
andere Gleichung
Nützlich bei Problemen im Bildbereich
Beispiel für partiellen Differentialoperator
𝜕 𝛼1 𝜕 𝛼2
𝜕 𝛼𝑛 𝛼
∑ 𝑎𝛼 𝐷 𝛼 ⟶ ∑ 𝑎𝛼 𝜉 𝛼 𝐷 𝛼 = (
) (
) …(
)
𝜉 = 𝜉 𝛼1 … 𝜉 𝛼𝑛
𝜕𝑥1
𝜕𝑥2
𝜕𝑥𝑛
Beispiel:
𝜕2
𝜕2
[ 2 + 2 ] 𝑢 = 𝑓 𝐹𝐴𝑢 = (𝜉 2 + 𝜂2 )𝐹𝑢 = 𝐹𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑦
Umwandlung eines Differentialoperators in einen Multiplikationsoperator.
Lösung des transformierten Problems → Rücktransformation → Lösung im Bildbereich
Für periodische Funktionen kennen wir die Fourierreihe
𝜋
∞
𝑓(𝑥) = ∑ 𝑐𝑘 𝑒 𝑗𝑘𝑥
𝑘=−∞
1
mit 𝑐𝑘 =
∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑘𝑥 𝑑𝑥
2𝜋
−𝜋
∞
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓̂(𝑠)𝑒 𝑗𝑠𝑥 𝑑𝑥 mit
−∞
∞
1
𝑓̂ (𝑠) =
∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡
2𝜋
−∞
Definition: 𝑓̂(𝑠) heißt Fouriertransformation von 𝑓(𝑡). 𝑓̂(𝑠) = 𝐹(𝑓(𝑡))
Bemerkung:
i)
𝑓̂(𝑠) ist ein uneigentliches Integral, da die Grenzen ±∞ sind.
ii) Bei der Integration sind Real- und Imaginärteil getrennt auszurechnen
∞
∞
∞
∫ (𝑎(𝑡) + 𝑗𝑏(𝑡))𝑑𝑡 = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑗 ∫ 𝑏(𝑡)𝑑𝑡
−∞
−∞
−∞
Beispiel 1: Rechteckfunktion (2π periodisch)
1
π
-1
Fourierreihe hat folgende Koeffizienten:
120
𝜋
𝜋
−𝜋
−𝜋
𝜋
1
1
𝑐𝑘 =
∫ 𝑓(𝑥)𝑒 −𝑗𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
∫ 𝑓(𝑥)(cos 𝑘𝑥 − 𝑗 sin 𝑘𝑥)𝑑𝑥
2𝜋
2𝜋
=
𝜋
1
[ ∫⏟
𝑓(𝑥) cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 − 𝑗 ∫ 𝑓(𝑥) sin 𝑘𝑥 𝑑𝑥]
2𝜋
0
−𝜋
2𝑗
𝑗 cos 𝑘𝑥
−
𝑐𝑘 = ⋅
| = { 𝑘𝜋
𝜋
𝑘 0
0
𝜋
−𝜋
𝑘 ungerade
𝑘 = 0, ±1, ±2, …
𝑘 gerade
Der Graph aller ck (bzw. |ck| ergibt das diskrete Spektrum:
-4 -3 -2 -1
1
2
3
4
Beispiel 2: Rechteckimpuls (nichtperiodisch)
1 −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
𝑓(𝑥) = {
0
sonst
-a
a
𝑎
∞
𝑎
𝑎
1
1
1
1
𝑓̂(𝑠) =
∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
∫ 𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
∫ cos 𝑠𝑡 𝑑𝑡 +
∫(−𝑗 sin 𝑠𝑡)𝑑𝑡
2𝜋
2𝜋
2𝜋
2𝜋
⏟ −𝑎
−∞
−𝑎
−𝑎
0, da sin ungerade
𝑎
=
1
1 sin 𝑎𝑠
∫ cos 𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ⋅
für 𝑠 ≠ 0
𝜋
𝜋
𝑠
0
1
𝑎
𝑎 sin 𝑎𝑠
Für 𝑠 = 0 ergibt sich 𝑓̂(0) = 2𝜋 ⋅ 2𝑎 = 𝜋. Das ist lim 𝜋
𝑠→0
𝑎𝑠
.
Kontinuierliches Spektrum von f
Satz 1: Existenz der Fouriertransformation
∞
Ist 𝑓: ℝ ⟶ ℝ stückweise stetig und auf ℝ absolut integrierbar, d.h. ∫−∞|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 < ∞, dann
existiert 𝑓̂(𝑠).
∞
∞
∞
Beweisidee: | ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡| ≤ ∫ |𝑓(𝑡)||𝑒 −𝑗𝑠𝑡 |𝑑𝑡 = ∫ |𝑓(𝑡)|𝑑𝑡
−∞
−𝑎𝑡
Beispiel 3: 𝑓(𝑡) = {𝑒
0
−∞
−∞
𝑡 ≥ 0 𝑎 > 0 fixiert
𝑡<0
121
1
∞
𝑏
∞
1
1
1
𝑓̂(𝑠) =
∫ 𝑒 −𝑎𝑡 𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
∫ 𝑒 −(𝑎+𝑗𝑠)𝑡 𝑑𝑡 =
lim ∫ 𝑒 −(𝑎+𝑗𝑠)𝑡 𝑑𝑡
2𝜋
2𝜋
2𝜋 𝑏→∞
0
0
0
1
1
1
1
1
1
𝑏
=
lim (−
𝑒 −(𝑎+𝑗𝑠)𝑡 |0 ) =
(
− lim
𝑒 −𝑎𝑏 𝑒 −𝑗𝑠𝑏 ) =
2𝜋 𝑏→∞
𝑎 + 𝑗𝑠
2𝜋 𝑎 + 𝑗𝑠 𝑏→∞ 𝑎 + 𝑗𝑠
2𝜋(𝑎 + 𝑗𝑠)
Bemerkung: Schreibweise 𝑓̂(𝑠) = 𝐹[𝑓(𝑡)], 𝑓̂ = 𝐹𝑓
6.1.2
i)
ii)
Eigenschaften der Fouriertransformation
𝐹(𝑓1 + 𝑓2 ) = 𝐹𝑓1 + 𝐹𝑓2 𝐹(𝑐𝑓) = 𝑐𝐹𝑓 Linearität von F
𝐹[𝑓(𝑡 ± 𝑐)] = 𝑒 ±𝑗𝑠𝑐 𝐹[𝑓(𝑡)]
∞
∞
∞
−∞
−∞
−∞
1
1
1
∫ 𝑓(𝑡 + 𝑐)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
∫ 𝑓(𝜏)𝑒 −𝑗𝑠(𝜏−𝑐) 𝑑𝜏 = 𝑒 𝑗𝑠𝑐
∫ 𝑓(𝜏)𝑒 −𝑗𝑠𝜏 𝑑𝜏
2𝜋
2𝜋
2𝜋
𝑡 + 𝑐 = 𝜏 𝑡 = 𝜏 − 𝑐 𝑑𝑡 = 𝑑(𝑡 + 𝑐) = 𝑑𝜏
Beispiel: Verschobener Rechteckimpuls
𝑒 −𝑗𝑠𝑐 sin 𝑎𝑠
−𝑗𝑠𝑐
(𝑡)](𝑠)
𝐹[𝑓𝑐
=𝑒
𝐹[𝑓(𝑡)] =
𝑓𝑐 = 𝑓(𝑡 − 𝑐)
𝜋
𝑠
-a+c
iii)
a+c
Streckung
𝐹[𝑓(𝑐𝑡)](𝑠) =
∞
1
𝑠
𝐹[𝑓(𝑡)] ( )
|𝑐|
𝑐
∞
∞
−∞
−∞
𝜏 1
𝑠
1
1
1 1
1 𝑠
∫ 𝑓(𝑐𝑡)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡 =
∫ 𝑓(𝜏)𝑒 −𝑗𝑠𝑐 ⋅ 𝑑𝜏 = ⋅
∫ 𝑓(𝜏)𝑒 −𝑗𝑐𝜏 𝑑𝜏 = 𝑓̂ ( )
2𝜋
2𝜋
𝑐
𝑐 2𝜋
𝑐 𝑐
−∞
𝜏
1
𝑐𝑡 = 𝜏 𝑡 =
𝑑𝑡 = 𝑑𝜏
𝑐
𝑐
−∞
1
1
Wenn 𝑐 < 0 ist, entsteht ∫+∞ 𝑑𝜏 ⟶ −𝑐 = |𝑐|
iv)
Verschiebung im Frequenzbereich
𝐹[𝑒 𝑗𝑐𝑡 𝑓(𝑡)](𝑠) = 𝐹[𝑓(𝑡)](𝑠 − 𝑐)
Satz 2:
Es sei 𝑓: ℝ ⟶ ℝ stückweise glatt und f sowie 𝑓 ′ seien absolut integrierbar auf ℝ, dann gilt:
𝐹[𝑓 ′ (𝑡)](𝑠) = 𝑗𝑠𝐹[𝑓(𝑡)](𝑠) 𝑓̂ ′ (𝑠) = 𝑗𝑠𝑓̂(𝑠)
Beweisandeutung:
𝑏
1 ′
1
𝐹[𝑓 ′ (𝑡)] =
𝑓 (𝑡)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎→−∞
lim
∫ 𝑓 ′ (𝑡)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡
2𝜋
2𝜋
𝑏→+∞
𝑎
122
𝑏
∞
1
1
𝑏
= 𝑎→−∞
lim
𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 |𝑎 −
∫ 𝑓(𝑡)(−𝑗𝑠)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 𝑗𝑠 ∫ 𝑓(𝑡)𝑒 −𝑗𝑠𝑡 𝑑𝑡
2𝜋
2𝜋
𝑏→+∞
𝑎
−∞
Folgerung: 𝐹[𝑓 (𝑛) (𝑡)](𝑠) = (𝑗𝑠)𝑛 𝐹[𝑓]
Ist 𝐹[𝑓1 ] ⋅ 𝐹[𝑓2 ] eine Fouriertransformation einer dritten Funktion?
Definition:
Es seien f1, f2 in ℝ stetige Funktionen, die absolut integrierbar sind und f1 ist beschränkt.
∞
Dann existiert das Integral ∫−∞ 𝑓1 (𝑡 − 𝑢)𝑓2 (𝑢)𝑑𝑢, welches Faltung genannt wird, von f1 und
1
∞
f2. Bezeichnung: (𝑓1 ∗ 𝑓2 )(𝑡) = 2𝜋 ∫−∞ 𝑓1 (𝑡 − 𝑢) ⋅ 𝑓2 (𝑢)𝑑𝑢
Satz 3: Unter obigen Voraussetzungen existiert 𝐹[𝑓1 ∗ 𝑓2 ] und es gilt:
𝐹[𝑓1 ∗ 𝑓2 ](𝑠) = 𝐹[𝑓1 ](𝑠) ⋅ 𝐹[𝑓2 ](𝑠)
𝑓1̂
∗ 𝑓2 = 𝑓̂1 ⋅ 𝑓̂2
Umkehrformel
𝐴
𝑓(𝑡) = lim ∫ 𝑓̂(𝑠)𝑒 𝑗𝑡𝑠 𝑑𝑠
𝐴→∞
gilt für alle Stetigkeitspunkte
−𝐴
𝐴
∞
−𝐴
−∞
𝑓(𝑡 + 0) + 𝑓(𝑡 − 0)
Allgemeiner:
= lim ∫ 𝑓̂(𝑠)𝑒 𝑗𝑡𝑠 𝑑𝑠 = 𝐶𝐻 ∫ 𝑓̂(𝑠)𝑒 𝑗𝑡𝑠 𝑑𝑠
𝐴→∞
2
6.2
Laplacetransformation
6.2.1
Einführung
∞
Definition: Es sei gegeben 𝑓: [0, ∞) ⟶ ℝ, dann heißt die Funktion 𝐹(𝑧) = ∫0 𝑒 −𝑧𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 ,
𝑧 ∈ ℂ Laplace-Transformierte von f. Bezeichnung: 𝐹 = ℒ[𝑓(𝑡)]
In der Regel konvergiert das Integral nicht für alle 𝑧 ∈ ℂ.
Forderung: |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒 𝛾𝑡 mit 𝑀 > 0 und 𝛾 ∈ ℝ
„f ist höchstens exponentieller Ordnung γ“
Satz 4:
𝑓: [0, ∞) ⟶ ℝ sei stückweise stetig und |𝑓(𝑡)| ≤ 𝑀𝑒 𝛾𝑡 , dann existiert die LaplaceTransformierte 𝐹(𝑧) für 𝑧 ∈ ℂ mit Re 𝑧 > 𝛾. {𝑧| Re 𝑧 > 𝛾} heißt Konvergenzhalbebene.
Beweisidee:
∞
|∫ 𝑒
0
−𝑧𝑡
∞
𝑓(𝑡)𝑑𝑡| ≤ ∫ 𝑒
∞
−(Re 𝑧)𝑡
|𝑒
−𝑗(Im 𝑧)𝑡
||𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 ≤ 𝑀 ∫ ⏟
𝑒 −(Re 𝑧)𝑡 𝑒 𝛾𝑡 𝑑𝑡
0
0
123
−(Re 𝑧−𝛾)<0
∞
≤ 𝑀 ∫ 𝑒 −𝜆𝑡 𝑑𝑡 < ∞ 𝜆 > 0
0
Beispiel 1: Verschobene Heaviside Funktion
ℎ𝑎 (𝑡) = {
[
a
0
1
0≤𝑡<𝑎
𝑡≥𝑎
∞
ℒ[ℎ𝑎 (𝑡)] = ∫ ℎ𝑎
0
C
0
𝑏
∞
(𝑡)𝑒−𝑧𝑡 𝑑𝑡
=∫
𝑒−𝑧𝑡 𝑑𝑡
= lim ∫ 𝑒−𝑧𝑡 𝑑𝑡
𝑏→∞
𝑎
𝑏
𝑎
−𝑒−𝑧𝑡
−𝑒−𝑎𝑡 −𝑒−𝑏𝑡
= lim
| = lim
−
𝑏→∞
𝑧 𝑎 𝑏→∞ 𝑧
𝑧
−𝑏𝑧
Re 𝑧 > 0 lim 𝑒
=0
Konvergenz
Halbebene
𝑏→∞
ℒ[ℎ𝑎 (𝑡)] =
𝑒−𝑎𝑧
𝑧
Beispiel 2: Kosinus / Sinus Funktion
∞
∞
∞
ℒ[cos 𝜔𝑡] + 𝑗ℒ[sin 𝜔𝑡] = ∫ 𝑒 −𝑧𝑡 cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 + 𝑗 ∫ 𝑒 −𝑧𝑡 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 −𝑧𝑡 ⋅ 𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡
0
0
∞
= lim ∫ 𝑒 (−𝑧+𝑗𝜔)𝑡 𝑑𝑡 =
𝑏→∞
0
ℒ[cos 𝜔𝑡] =
𝑧2
0
1
𝑏
lim 𝑒 (−𝑧+𝑗𝜔)𝑡 |0
−𝑧 + 𝑗𝜔 𝑏→∞
1
1
1
(0 − 1) =
=
( lim 𝑒 (−𝑧+𝑗𝜔)𝑏 − 1) =
−𝑧 + 𝑗𝜔 𝑏→∞
−𝑧 + 𝑗𝜔
𝑧 − 𝑗𝜔
𝑧 + 𝑗𝜔
𝑧 + 𝑗𝜔
=
=
(𝑧 − 𝑗𝜔)(𝑧 + 𝑗𝜔) 𝑧 2 + 𝜔 2
𝜔
ℒ[sin 𝜔𝑡] = 2
𝑧 + 𝜔2
𝑧
+ 𝜔2
1
Beispiel 3: ℒ[𝑒 𝑎𝑡 ] = 𝑧−𝑎 Re 𝑧 > 𝑎
6.2.2
i)
ii)
Eigenschaften der Laplacetransformation
ℒ[𝑓1 (𝑡) + 𝑓2 (𝑡)] = ℒ[𝑓1 (𝑡)] + ℒ[𝑓2 (𝑡)] beide Transformationen müssen existieren
ℒ[𝑐𝑓(𝑡)] = 𝑐ℒ[𝑓(𝑡)] Linearität der Laplacetransformation
Wenn ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑧), so gilt ℒ[𝑒 𝛿𝑡 𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑧 − 𝛿) Verschiebungssatz
1
𝑧
ℒ[𝑓(𝑐𝑡)] = 𝑐 𝐹 (𝑐 ) Streckungssatz 𝑐 > 0
iii)
ℒ[ℎ𝛿 (𝑡)𝑓(𝑡 − 𝛿)] = 𝑒 −𝛿𝑧 𝐹(𝑧) Dämpfung im Bildbereich
f(t)
f(t-δ)
δ
hδ(t)•f(t-δ)
t
vorne durch 0 ersetzt
124
Beweis:
∞
∫𝑒
−𝑧𝑡
∞
ℎ𝛿 (𝑡) ⋅ 𝑓(𝑡 − 𝛿)𝑑𝑡 = ∫ 𝑒
0
∞
−𝑧𝑡
𝑓 (𝑡
⏟ − 𝛿) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒
𝛿
𝜏
∞
−𝑧(𝜏+𝛿)
𝑓(𝜏)𝑑𝜏 = 𝑒
−𝛿𝑧
0
∫ 𝑒 −𝑧𝜏 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 = 𝑒 −𝛿𝑧 𝐹(𝑧)
0
Beispiel 4:
ℒ[cosh 𝑎𝑡] = ℒ [
𝑒 𝑎𝑡 + 𝑒 −𝑎𝑡
1
1
1
1
𝑧
] = (ℒ[𝑒 𝑎𝑡 ] + ℒ[𝑒 −𝑎𝑡 ]) = (
+
)= 2
gilt für Re 𝑧 > |𝑎|
2
2
2 𝑧−𝑎 𝑧+𝑎
𝑧 − 𝑎2
Definition:
𝑓1 , 𝑓2 : ℝ ⟶ ℝ seien stückweise stetig, 𝑓1 (𝑡) = 𝑓2 (𝑡) = 0 für 𝑡 < 0
𝑡
(𝑓1 ∗ 𝑓2 )(𝑡) = ∫0 𝑓1 (𝑡 − 𝑢)𝑓2 (𝑢)𝑑𝑢 heißt Faltung von f1 und f2
iv)
Faltungssatz
Sei f1 stetig, f2 stückweise stetig. f1 und f2 seien von exponentieller Ordnung γ, 𝑓1 (𝑡) =
𝑓2 (𝑡) = 0 für 𝑡 < 0. Dann existiert ℒ[𝑓1 ∗ 𝑓2 ] und für Re 𝑧 > 𝛾 gilt:
ℒ[𝑓1 ∗ 𝑓2 ] = ℒ[𝑓1 ] ⋅ ℒ[𝑓2 ]
v)
Differentiation
𝑓: [0, ∞) ⟶ ℝ sei stetig und stückweise glatt und von exponentieller Ordnung γ. Dann
gilt für Re 𝑧 > 𝛾 ℒ[𝑓 ′ (𝑡)] = 𝑧 ⋅ ℒ[𝑓(𝑡)] − 𝑓(0)
Beweisidee:
𝑏
∞
ℒ[𝑓
′ (𝑡)]
=∫𝑒
−𝑧𝑡 ′ (𝑡)𝑑𝑡
0
𝑓
= lim ∫ 𝑒
𝑏→∞
𝑏
−𝑧𝑡
⋅𝑓
′ (𝑡)𝑑𝑡
0
= lim {𝑒
𝑏→∞
−𝑧𝑡
𝑓(𝑡)|𝑏0
− ∫(−𝑧)𝑒 −𝑧𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡}
0
𝑏
= lim (𝑓(𝑏)𝑒 −𝑧𝑏 ) − 𝑓(0) + lim ∫ 𝑒 −𝑧𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑧ℒ[𝑓] − 𝑓(0)
𝑏→∞
𝑏→∞
0
ℒ[𝑓 ′′ (𝑡)] = 𝑧ℒ[𝑓 ′ (𝑡)] − 𝑓 ′ (0) = 𝑧{𝑧ℒ[𝑓(𝑡)] − 𝑓(0)} − 𝑓 ′ (0) = 𝑧 2 ℒ[𝑓(𝑡)] − 𝑧𝑓(0) − 𝑓 ′ (0)
ℒ[𝑓 (𝑛) (𝑡)] = 𝑧 𝑛 ℒ[𝑓(𝑡)] − 𝑧 𝑛−1 𝑓(0) − 𝑧 𝑛−2 𝑓 ′ (0) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (0)
Beispiel:
𝑦 ′ (𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑒 −𝑡 𝑦(0) = 1 𝑡 > 0 gewöhnliche Differentialgleichung mit gegebenem
Anfangswert. Mit Laplacetransformation:
ℒ[𝑦 ′ (𝑡)] + ℒ[𝑦(𝑡)] = ℒ[𝑒 −𝑡 ]
1
𝑧ℒ[𝑦(𝑡)] − 𝑦(0) + ℒ[𝑦(𝑡)] =
𝑧+1
1
1
(𝑧 + 1)ℒ[𝑦(𝑡)] =
+ 𝑦(0) =
+1
𝑧+1
𝑧+1
1
1
ℒ[𝑦(𝑡)] =
+
2
(𝑧 + 1)
𝑧+1
Für 𝑦(𝑡) brauchen wir eine Umkehroperation
𝑓(𝑡) ⟶ ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝐹(𝑧) ⟶ ℒ −1 [𝐹(𝑧)] = 𝑓(𝑡)
125
vi)
Komplexe Umkehrfunktion
𝐹(𝑧) sei analytische Funktion für Re 𝑧 > 𝑠 mit lim 𝐹(𝑧) = 0 (gleichmäßig bezüglich
|𝑧|→∞
𝑠+𝑗∞
∫𝑠−𝑗∞ |𝐹(𝑧)||𝑑𝑧|
arg 𝑧) und
Originalfunktion.
< ∞, dann ist 𝐹(𝑧) Laplace-Transformierte der
𝑠+𝑗∞
1
ℒ −1 [𝐹(𝑧)] = 𝑓(𝑡) =
∫ 𝑒 𝑧𝑡 𝐹(𝑧)𝑑𝑧
2𝜋𝑗
𝑠−𝑗∞
Analytische Funktion hat in ℂ konvergente Potenzreihe
Fortführung des Beispiels:
1
ℒ −1 [
] = 𝑒 −𝑡
1+𝑧
ℒ
−1
𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑡𝑒 −𝑡 + 𝑒 −𝑡 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑒 −𝑡 − 𝑡𝑒 −𝑡 − 𝑒 −𝑡
0
vii) Integration
𝑡
1
ℒ [∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢] = ℒ[𝑓(𝑡)]
𝑧
0
𝑡
Beweis: 𝑔(𝑡) = ∫0 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑔′ (𝑡) = 𝑓(𝑡)
ℒ [𝑔
⏟
⏟′ (𝑡)] = 𝑧ℒ[𝑔(𝑡)] − 𝑔(0)
𝑓(𝑡)
0
𝑡
ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝑧ℒ[𝑔(𝑡)] = 𝑧 ⋅ ℒ [∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢]
0
Beispiel:
1
ℒ[𝑡] = ℒ [∫ 1𝑑𝑡 ] =
0
1
1
ℒ[1] = 2
𝑧
𝑧
𝑡
ℒ[𝑡
𝑡
𝑡
1
[
] = ℒ −1 [ℒ[𝑒 −𝑡 ] ⋅ ℒ[𝑒 −𝑡 ]] = (𝑓 ∗ 𝑓)(𝑡) = ∫ 𝑒 −(𝑡−𝑢) 𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑢 = 𝑒 −𝑡 ∫ 𝑑𝑢 = 𝑡𝑒 −𝑡
(1 + 𝑧)2
2]
2
2
= 2ℒ [∫ 𝑢𝑑𝑢] = ℒ[𝑡] = 3
𝑧
𝑧
0
ℒ[𝑡 𝑛 ] =
𝑛!
𝑧 𝑛+1
Beispiel: Rechteckimpuls
c
a
b
𝑓(𝑡) = 𝑐(ℎ𝑎 (𝑡) − ℎ𝑏 (𝑡))
126
0
0
𝑒 −𝑎𝑧 𝑒 −𝑏𝑧
𝑐
𝐹(𝑧) = ℒ[𝑓(𝑡)] = 𝑐(ℒ[ℎ𝑎 (𝑡)] − ℒ[ℎ𝑏 (𝑡)]) = 𝑐 (
−
) = (𝑒 −𝑎𝑧 − 𝑒 −𝑏𝑧 )
𝑧
𝑧
𝑧
𝑛!
Beispiel 7: ℒ[𝑒 𝑎𝑡 𝑡 𝑛 ] Verschiebungssatz ℒ[𝑒 𝑎𝑡 𝑡 𝑛 ] = 𝐹(𝑧 − 𝑎) = (𝑧−𝑎)𝑛+1 siehe oben
3𝑧−5
1
2
1
2
Beispiel 8: 𝐹(𝑧) = 𝑧 2 −4𝑧+3 = 𝑧−1 + 𝑧−3 𝑓(𝑡) = ℒ −1 (𝑧−1 + 𝑧−3) = 𝑒 𝑡 + 2𝑒 3𝑡
𝜋
Beispiel 9: 𝑦 ′′ (𝑡) + 9𝑦(𝑡) = cos 2𝑡 𝑦(0) = 1 𝑦 ( 2 ) = −1
𝑧
𝑧 2 𝐹(𝑧) − 𝑧𝑦(0) − 𝑦
⏟′ (0) + 9𝐹(𝑧) = ℒ[cos 2𝑡] = 2
𝑧 +4
=𝑐 unbekannt
𝑧
(𝑧 2 + 9)𝐹(𝑧) = 𝑧 + 𝑐 + 2
𝑧 +4
𝑧+𝑐
𝑧
4 𝑧
𝑐
𝑧
𝐹(𝑧) = 2
+ 2
=
+
+
𝑧 + 9 (𝑧 + 4)(𝑧 2 + 9) 5 𝑧 2 + 9 𝑧 2 + 9 5(𝑧 2 + 4)
4
𝑐
1
𝑦(𝑡) = cos 3𝑡 + sin 3𝑡 + cos 2𝑡
5
3
5
𝜋
12
𝑦 ( ) einsetzen ⟶ 𝑐 =
2
5
6.2.3
Liste der Transformationsgleichungen
𝑓(𝑡)
𝐹(𝑧)
1
𝑧
1
𝑧2
𝑛!
𝑛+1
𝑧
Γ(𝑎 + 1)
𝑧 𝑛+1
1
𝑧−𝑎
1
t
𝑡𝑛 𝑛 ∈ ℕ
𝑡 𝑎 𝑎 > −1
𝑒 𝑎𝑡
𝑒 −𝑧𝑡0 bzw. 1
𝛿(𝑡 − 𝑡0 ) bzw. 𝛿(𝑡)
1
− (𝑐 + ln 𝑧)
𝑧
1
(𝑧 − 𝑎)𝑛
ln 𝑡
𝑡 𝑛−1 𝑒 𝑎𝑡
𝑛∈ℕ
(𝑛 − 1)!
𝑡𝛽−1 𝑒 𝑎𝑡
𝛽>0
Γ(𝛽)
1
(𝑧 − 𝑎)𝛽
𝑎
𝑧 2 + 𝑎2
𝑧
2
𝑧 + 𝑎2
𝑎
(𝑧 − 𝑏)2 + 𝑎2
sin 𝑎𝑡
cos 𝑎𝑡
𝑒 𝑏𝑡 sin 𝑎𝑡
127
𝑧−𝑏
(𝑧 − 𝑏)2 + 𝑎2
𝑎
2
𝑧 − 𝑎2
𝑧
2
𝑧 − 𝑎2
𝑎
(𝑧 − 𝑏)2 − 𝑎2
𝑒 𝑏𝑡 cos 𝑎𝑡
sinh 𝑎𝑡
cosh 𝑎𝑡
𝑒 𝑏𝑡 sinh 𝑎𝑡
𝑧−𝑏
(𝑧 − 𝑏)2 − 𝑎2
𝑒 𝑏𝑡 cosh 𝑎𝑡
𝑡 sin 𝑎𝑡
(𝑧 2
2𝑎𝑧
+ 𝑎2 )2
𝑡 cos 𝑎𝑡
𝑧 2 − 𝑎2
(𝑧 2 + 𝑎2 )2
𝑓 ′ (𝑡)
𝑧𝐹(𝑧) − 𝑓(0)
𝑓 (𝑛) (𝑡) 𝑛 ∈ ℕ
𝑧 𝑛 𝐹(𝑧) − 𝑧 𝑛−1 𝑓(0) − ⋯ − 𝑓 (𝑛−1) (0)
𝑡
𝐹(𝑧)
𝑧
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
0
∞
𝑧
𝑓(𝑢)
∫
𝑑𝑢
𝑢
1
∫ 𝐹(𝑤)𝑑𝑤
𝑧
𝑡
0
𝑡
𝐹1 (𝑧) ⋅ 𝐹2 (𝑧)
∫ 𝑓1 (𝑢)𝑓2 (𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
0
(−1)𝑛 𝑡 𝑛 𝑓(𝑡) 𝑛 ∈ ℕ
𝐹 (𝑛) (𝑧)
𝑒 −𝑎𝑡 𝑓(𝑡)
𝐹(𝑧 + 𝑎)
1 𝑡
𝑓( ) 𝑎 > 0
𝑎 𝑎
𝐹(𝑎𝑧)
𝑎𝑓1 (𝑡) + 𝑏𝑓2 (𝑡)
𝑎𝐹1 (𝑧) + 𝑏𝐹2 (𝑧)
1
𝐽0 (𝑎𝑡)
√𝑧 2 + 𝑎2
128
7.
Gewöhnliche Differentialgleichungen
7.1
Einführung
Beispiel 1: gesucht 𝑦 = 𝑓(𝑥) mit 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑦(𝑥), gewöhnliche DGL 1. Ordnung
Lösung: 𝑦 = 𝑒 𝑥 oder 𝑦 = 𝑐𝑒 𝑥 , c = beliebige Konstante
Beispiel 2: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0, gewöhnliche DGL 2. Ordnung
Lösung: 𝑦(𝑥) = sin 𝑥 𝑦(𝑥) = cos 𝑥 𝑦(𝑥) = 𝑐1 sin 𝑥 + 𝑐2 cos 𝑥
Beispiel 3: elektrischer Schwingkreis
i
u
𝑢𝑅 = 𝑖(𝑡) ⋅ 𝑅 𝑢𝐿 (𝑡) = 𝐿
R
L
𝑑𝑖(𝑡)
𝑖(𝑡) = 𝐶 ⋅
𝑑𝑡
𝑢𝐿 (𝑡) + 𝑢𝐶 (𝑡) + 𝑢𝑅 (𝑡) = 𝑢(𝑡)
𝑑2 𝑢𝐶 (𝑡)
𝑑𝑢𝐶 (𝑡)
𝐿𝐶
+ 𝑅𝐶
+ 𝑢𝐶 (𝑡) = 𝑢(𝑡)
2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
C
𝑑𝑢𝐶 (𝑡)
𝑑𝑡
Beispiel 4: Exponentielles Wachstum
Anzahl der Population 𝑃(𝑡) zum Zeitpunkt t. Δ𝑃~𝛼𝑃(𝑡)Δ𝑡 Δ = Zuwachs
Zuwachs der Population ist in einem kleinen Zeitintervall proportional zum
Vermehrungsintegral α und zur Länge des Zeitintervalls.
Δ𝑃
= 𝛼𝑃(𝑡) Δ𝑡 ⟶ 0 𝑃′ (𝑡) = 𝛼𝑃(𝑡)
Δ𝑡
Lösung: 𝑃(𝑡) = 𝑐𝑒 𝛼𝑡
Zum Zeitpunkt 𝑡0 = 0 sei P0 vorhanden 𝑃(𝑡0 ) = 𝑐𝑒 𝛼𝑡0 = 𝑐𝑒 𝛼0 = 𝑐 ⟶ 𝑃(𝑡) = 𝑃(0)𝑒 𝛼𝑡
Menschheitsentwicklung: In 35 Jahren Verdoppelung der Menschheit. 1986 gab es 5
Milliarden Menschen. 𝑃(𝑡 + 𝛿) = 2𝑃(𝑡) 𝛿 = 35
𝑃0 = 𝑒 𝛼(𝑡+𝛿) = 2𝑃0 𝑒 𝛼𝑡 ⟶ 𝑒 𝛼𝛿 = 2 ⟶ 𝛼𝛿 = ln 2
ln 2 ln 2
𝛼=
=
≈ 0,02 pro Jahr
𝛿
35
Somit 2050 rund 18 Milliarden, 2500 rund 148 Billionen = 1 m2 Erdfläche pro Mensch
Silberne Taschenuhr von Leibniz
y
Uhr
Faden nach
oben gezogen
Faden ist jeweils
tangential zur
Bahnkurve
straffer Faden a
𝑦 ′ (𝑥) = −
Uhr
x
ℎ
√𝑎2 − 𝑥 2
𝑎 + √𝑎2 − 𝑥 2
=−
𝑦(𝑥) = 𝑎 ln (
) − √𝑎2 − 𝑥 2 + 𝑐 𝑦(𝑎) = 0 𝑐 = 0
𝑥
𝑥
𝑥
129
Definition:
Ist 𝐹 = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 ): ℝ𝑛+2 ⟶ ℝ eine gegebene Funktion 𝑛 + 2 Variablen, so heißt die
Gleichung der Form 𝐹 (𝑥, 𝑦(𝑥), 𝑦 ′ (𝑥), … , 𝑦 (𝑛) (𝑥)) = 0 gewöhnliche DGL n-ter Ordnung,
wobei die höchste wirklich vorkommende Ableitung 𝑦 (𝑛) (𝑥) sein soll.
Beispiel: 𝑒 sin 𝑦
′′′ (𝑥)
= tan 𝑥 DGL 3. Ordnung
7.2
Elementare Lösungsmethoden für
DGL 1. Ordnung
7.2.1
Trennung der Veränderlichen
(nichtlineare)
𝑔(𝑥)
𝑦 ′ (𝑥) = ℎ(𝑦) vorausgesetzt g stetig ℎ ≠ und stetig differenzierbar
𝑔
𝐻(𝑦) = ∫𝑎 ℎ(𝑦)𝑑𝑦 Stammfunktion von h
𝑥
𝐺(𝑥) = ∫𝑏 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 Stammfunktion von g
Stammfunktionen sind bekannt
′
ℎ(𝑦(𝑥)) ⋅ 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑔(𝑥) ⟷ (𝐻(𝑦(𝑥))) = 𝑔(𝑥) ⟶ 𝐻(𝑦(𝑥)) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 = 𝐺(𝑥) + 𝑐
𝑦(𝑥) = 𝐻 −1 (𝐺(𝑥) + 𝑐) 𝐻 ′ = ℎ ≠ 0 ⟶ 𝐻 ist monoton ⟶ ∃𝐻 −1
1
Beispiel 1: 𝑦 ′ = 𝑥 ⋅ 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 ℎ(𝑦) = 𝑦
1 2
1 2
𝑑𝑦
𝑑𝑦
1
=𝑥⋅𝑦⟶
= 𝑥𝑑𝑥 ⟶ ln|𝑦| = 𝑥 2 + 𝑐 ⟶ |𝑦| = 𝑒 2𝑥 +𝑐 = 𝑦 = 𝑒 𝑐 ⋅ 𝑒 2𝑥
𝑑𝑥
𝑦
2
1 2
⟶ 𝑐1 ⋅ 𝑒 2𝑥 wenn |𝑦| = 𝑦
Wenn |𝑦| = −𝑦 ⟶ 𝑐1 < 0
Wenn 𝑦 = 0 ⟶ 𝑐1 = 0
1 2
Lösung: 𝑦 = 𝑐1 𝑒 2𝑥 ist für beliebige 𝑐1 ∈ ℝ
𝑑𝑢(𝑡)
Beispiel 2: 𝑢′ (𝑡) = sin 𝑡 ⋅ 𝑒 𝑢(𝑡) ⟶ 𝑑𝑡 = sin 𝑡 ⋅ 𝑒 𝑢(𝑡)
𝑒 −𝑢 𝑑𝑢 = sin 𝑡 𝑑𝑡
−𝑒 −𝑢 = − cos 𝑡 + 𝑐
−𝑢 = ln(cos 𝑡 − 𝑐)
𝑢(𝑡) = − ln(cos 𝑡 − 𝑐)
c wird so gewählt, das cos 𝑡 − 𝑐 > 0
Spezielle DGL, die man in DGL mit getrennten Veränderlichen umformen kann.
i)
𝑦
𝑦(𝑥)
Typ 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑓 (𝑥 ) Substitution 𝑧(𝑥) =
𝑦 ′ (𝑥) = 𝑧(𝑥) + 𝑥𝑧 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑧)
𝑓(𝑥) − 𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑧 ′ (𝑥) =
⟶
=
,…
𝑥
𝑓(𝑧) − 𝑧
𝑥
𝑥
130
⟶ 𝑦(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑧(𝑥)
𝑦
𝑦 2
𝑦
𝑥
𝑧
𝑥
𝑧2
𝑥
Beispiel 3: 𝑦 ′ (𝑥) = 1 + ⏟ + (⏟
) 𝑧=
1 + 𝑧 + 𝑧2 − 𝑧 1 + 𝑧2
=
𝑥
𝑥
𝑑𝑧 1 + 𝑧 2
𝑑𝑧
𝑑𝑥
=
⟶
=
⟶ arctan 𝑧 = ln|𝑥| + 𝑐 ⟶ 𝑧 = tan(ln|𝑥| + 𝑐)
𝑑𝑥
𝑥
1 + 𝑧2
𝑥
𝑦(𝑥) = 𝑥𝑧 = 𝑥 tan(ln|𝑥| + 𝑐)
𝑧 ′ (𝑥) =
ii)
7.2.2
𝑦 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐) 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐
𝑧′ − 𝑎
𝑧′ − 𝑎
𝑧 ′ = 𝑎 + 𝑏𝑦 ′ 𝑦 ′ =
𝑓(𝑧) =
⟶ 𝑧 ′ = 𝑏𝑓(𝑥) + 𝑎
𝑏
𝑏
Exakte Differentialgleichungen
(??hier fehlt ein ganzes Unterkapitel??)
7.3
Geometrische
Interpolation,
Eindeutigkeit von Lösungen
Existenz
und
𝑦 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), f gegeben
Im Punkt (x, y) gibt 𝑓(𝑥, 𝑦) den Anstieg 𝑦 ′ (𝑥) an, den eine Lösung 𝑦(𝑥) der DGL haben
muss, deren Graph durch (x, y) läuft. Die so konstruierten Graphen heißen Feldlinien. Der
Graph von 𝑦(𝑥) muss eine Feldlinie sein (schneiden sich nicht).
Eulersches Polygonzugverfahren
𝑦 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) 𝑦(𝑥0 ) = 𝑎
𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 , 𝑦(𝑥0 )) = 𝑓(𝑥0 , 𝑎)
h = Größe des Teilschrittes zum nächsten x Wert
Zwischen x0 und 𝑥0 + ℎ gehen wir auf der Geraden mit dem Anstieg 𝑦′ (𝑥0 ).
y1
In 𝑥1 = 𝑥0 + ℎ gilt 𝑦(𝑥1 ) ≈ 𝑦1 = 𝑎 + ℎ ⋅ 𝑓(𝑥0 , 𝑦(𝑥0 )) nach Einsetzen der
a
gegebenen
Gleichung
für
𝑦′ (𝑥).
In
(x1,
y1)
gilt
′( )
𝑦 𝑥1 = 𝑓(𝑥1 , 𝑦(𝑥1 )) ≈ 𝑓(𝑥1 , 𝑦1 ). In diese Richtung gehen wir bis 𝑥2 =
𝑥0 + 2ℎ usw. 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ), wobei 𝑥𝑛 = 𝑥0 + 𝑛ℎ.
x
0
x0+h
Beispiel 1: 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑦(𝑥) 𝑥 > 0 𝑦(0) = 1
Exakte Lösung: 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑥
Betrachten [0, 2]
2
Wir machen n = 20 Teilpunkte im Intervall, somit ℎ = 0,1 = 20
131
𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑦𝑛 ) = 𝑦𝑛 + ℎ𝑦𝑛 = (1 + ℎ)𝑦𝑛
𝑦1 = (1 + ℎ)𝑦0 = 1 + ℎ
𝑦2 = (1 + ℎ)𝑦1 = (1 + ℎ)2
⋮
𝑦𝑛 = (1 + ℎ)𝑛
𝑦1 = 1,1 𝑒 0,1 = 1,105
𝑦2 = 1,2 𝑒 0,2 = 1,221
⋮
⋮
𝑦20 = 6,7 𝑒 2 = 7,389 zu großer Fehler
Satz 1: Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf
Die Funktion 𝑓 = 𝑓(𝑥, 𝑦) sei im Rechteck 𝐷 = {(𝑥, 𝑦): |𝑥 − 𝑥0 | ≤ 𝑎, |𝑦 − 𝑦0 | ≤ 𝑏} stetig
und die Ableitung von 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) von f nach y sei ebenfalls in D stetig. Dann gibt es ein ℎ > 0,
so dass im Intervall (𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ) genau eine Lösung 𝑦 = 𝑦(𝑥) des Anfangsproblems
𝑦 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)) 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 existiert.
i)
ℎ = min (𝑎,
𝑏
),
max|𝑓(𝑥,𝑦)|
andere Werte siehe Satz 1, min{1,3,5} = 5, D = Rechteck
𝐷
ii)
(?? hier fehlt was ??)
Beispiel: Die Lösung kann auf ganz ℝ existieren, sie muss es aber nicht.
1
𝑦 ′ = 𝑦 2 𝑦(0) = 1 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦 2 ⟶ 𝑦(𝑥) =
1−𝑥
1
Blow Up bei x = 1. Die Lösung existiert nur auf (−∞, 1)
Beispiel: 𝑦 ′ = √|𝑦| 𝑦 = 0 ist Lösung. Weitere Lösungen:
𝑥+𝑐 2
(
)
𝑦>0
2
𝑦(𝑥0 ) = 0 und 𝑥0 = 0 𝑦(𝑥) =
𝑥+𝑐 2
{− ( 2 ) 𝑦 < 0
Für die Randwertaufgabe gibt es zwei Lösungen in jedem noch so kleinen Rechteck um (0, 0)
𝑥
2
( )
𝑦1 = 0 𝑦2 (𝑥) = { 2 2
𝑥
−( )
2
y2
𝑥≥0
y1
𝑥<0
Sind die Voraussetzungen erfüllt? f stetig
1 1
𝑦 > 0 𝑓𝑦′ ⟶ +∞ für 𝑦 ↓ 𝛿
2 √𝑦
Zweite Voraussetzung des Satzes von Picard-Lindelöf ist nicht erfüllt. 𝑓(𝑦) nicht stetig.
𝑓𝑦′ =
7.4
Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung
𝑦 ′ = 𝑔(𝑥)𝑦 + ℎ(𝑥) (= 𝑓(𝑥, 𝑦), 𝑓 ist linear in 𝑦)
132
Fall 1: ℎ(𝑥) = 0 ⟶ 𝑦 ′ = 𝑔(𝑥) ⋅ 𝑦 homogene Gleichung
𝑥
Ansatz: 𝑦(𝑥) = 𝑐𝑒 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑦 ′ = 𝑔(𝑥)𝑦 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0
Eine Lösung: 𝑦(𝑥) = 𝑦0 𝑒
𝑥
0
∫𝑥 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
, Satz 1 → Lösung eindeutig
Fall 2: ℎ(𝑥) ≠ 0 ⟶ 𝑦 ′ − 𝑔(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥) inhomogene Gleichung
𝑥
Ansatz: 𝑦(𝑥) = 𝑐(𝑥)𝑒 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 (Variation der Konstanten)
𝑥
𝐺(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 sei Stammfunktion von 𝑔(𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝑐(𝑥)𝑒 𝐺(𝑥)
𝑦 ′ − 𝑔(𝑥)𝑦 = 𝑐 ′ (𝑥)𝑒 𝐺(𝑥) + 𝑐(𝑥)𝑒 𝐺(𝑥) ⋅ ⏟
𝐺 ′ (𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑐(𝑥)𝑒 𝐺(𝑥) ⟶ 𝑐 ′ (𝑥)𝑒 𝐺(𝑥) = ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
⟶ 𝑐 ′ (𝑥) = 𝑒 −𝐺(𝑥) ℎ(𝑥)
𝑥
𝑐(𝑥) = ∫ 𝑒 −𝐺(𝑥) ℎ(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ ℎ(𝑡)𝑒 −𝐺(𝑡) 𝑑𝑡
𝑥0
𝑥
Spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung ist 𝑦𝐼 (𝑥) = (∫𝑥 ℎ(𝑡)𝑒 −𝐺(𝑡) 𝑑𝑡) ⋅ 𝑒 𝐺(𝑥) wobei
𝐺(𝑥) =
0
𝑥
∫𝑥 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
0
𝑦𝐻′ − 𝑔(𝑥)𝑦𝐻 = 0 H für homogene Lösung
𝑦𝐼′ − 𝑔(𝑥)𝑦𝐼 = ℎ(𝑥) I für inhomogene Lösung
(𝑦𝐻 + 𝑦𝐼 )′ − 𝑔(𝑥)(𝑦𝐻 + 𝑦𝐼 ) = ℎ(𝑥)
Die Gesamtheit aller Lösungen der inhomogenen Gleichung setzt sich zusammen aus der
allgemeinen Lösung yH der homogenen Gleichung und einer speziellen Lösung yI der
inhomogenen Gleichung: 𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝐼
Satz 2:
Die allgemeine Lösung y der inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung setzt sich zusammen
aus der allgemeinen Lösung yH der homogenen Gleichung und einer beliebigen speziellen
Lösung yI der inhomogenen Gleichung.
𝑥
𝑥
𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝐼 = 𝑐𝑒
𝐺(𝑥)
+ ( ∫ ℎ(𝑡)𝑒 −𝐺(𝑡) 𝑑𝑡) ⋅ 𝑒 𝐺(𝑥)
mit
𝐺(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
𝑥0
𝑥0
Bei Vorgabe von 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , dann setzen wir
𝑐 = 𝑦0
𝑦
.
𝑦
𝐻
Beispiel 1: 𝑦 ′ = 𝑥 + 5𝑥 𝑥 > 0 𝑥0 = 1 ⟶ 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 = 0 = 𝑐 = 𝑒 𝐺(𝑥)
1
𝑦 ′ − 𝑔(𝑥)𝑦 = ℎ(𝑥) ⟶ 𝑔(𝑥) =
ℎ(𝑥) = 5𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
𝑑𝑡
𝐺(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ = ln|𝑡||1𝑥 = ln 𝑥
𝑡
𝑦𝐼
𝑒 𝐺(𝑥)
𝑥0
𝑥
𝑥0
𝑥
𝑥
1
= ∫ ℎ(𝑡)𝑒 −𝐺(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 5𝑡𝑒 − ln 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 5𝑡 ⋅ 𝑑𝑡 = 5𝑡|𝑥𝑥0 = 5(𝑥 − 1)
𝑡
𝑥0
𝑥0
𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝐼 = (𝑦0 + 5(𝑥 − 1))𝑒
𝑦 ′ = 5(𝑥 − 1) + 5𝑥
ln 𝑥
𝑥0
= 5𝑥(𝑥 − 1)
133
𝑦(𝑥) = 𝑐(𝑥)𝑒 ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑦𝐻 Ansatz merken
Beispiel 2:
S
R
u(t)
L
Angelegt Wechselspannung 𝑢(𝑡) = 𝑈0 sin 𝜔𝑡
Schalter S wird zum Zeitpunkt 𝑡 = 0 geschlossen
𝑖(𝑡)
𝑑𝑖
𝑢 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 𝑢𝑅 = 𝑖(𝑡) ⋅ 𝑅 𝑢𝐿 = 𝐿
𝑑𝑡
𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿𝑖 ′ (𝑡) = 𝑈0 sin 𝜔𝑡
𝑅
𝑅
Lösung: 𝑅𝑖(𝑡) + 𝐿𝑖 ′ (𝑡) = 0 ⟶ 𝑖 ′ (𝑡) = − 𝐿 𝑖(𝑡) ⟶ 𝑖𝐻 (𝑡) = 𝑐𝑒 − 𝐿 𝑡
𝑅
Variation der Konstanten: 𝑖(𝑡) = 𝑐(𝑡)𝑒 − 𝐿 𝑡
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
einsetzen: 𝑅𝑐(𝑡)𝑒 − 𝐿 𝑡 + 𝐿𝑐 ′ (𝑡)𝑒 − 𝐿 𝑡 + 𝐿𝑐(𝑡) (− 𝐿 ) 𝑒 − 𝐿 𝑡 = 𝑈0 sin 𝜔𝑡
𝑐 ′ (𝑡) =
𝑅
𝑅
𝑈0 𝑅𝑡
𝑈0
𝑈0
𝑡
𝐿 (𝑅 sin 𝜔𝑡 − 𝐿𝜔 cos 𝜔𝑡) + 𝑐1
𝑒 𝐿 sin 𝜔𝑡 ⟶ 𝑐(𝑡) =
∫ 𝑒 𝐿 𝑡 sin 𝜔𝑡 𝑑𝑡 = 2
𝑒
2
2
𝐿
𝐿
𝑅 +𝐿 𝜔
𝑅
𝑅
𝑈0
− 𝑡
𝐿
(𝑅
𝑖(𝑡) = 𝑐(𝑡)𝑒 − 𝐿 𝑡 = 2
sin
𝜔𝑡
−
𝐿𝜔
cos
𝜔𝑡)
+
𝑐
𝑒
1
𝑅 + 𝐿2 𝜔 2
𝑈0
𝜔𝐿𝑈0
(−𝐿𝜔)
𝑖(0) = 2
+
𝑐
=
0
⟶
𝑐
=
1
1
𝑅 + 𝐿2 𝜔 2
𝑅 2 + 𝐿2 𝜔 2
𝑅
𝑈0
𝜔𝐿𝑈0
(𝑅 sin 𝜔𝑡 − 𝐿𝜔 cos 𝜔𝑡) +
𝑖(𝑡) = 2
𝑒−𝐿 𝑡
2
2
2
2
2
⏟
⏟
𝑅 +𝐿 𝜔
𝑅 +𝐿 𝜔
Lösung für eingeschwungenen Zustand 𝑖𝑆 (𝑡)
geht gegen 0, wenn t größer wird (𝑡≫0)
7.5
Nichtlineare
Differentialgleichungen
Ordnung und Systeme 1. Ordnung
7.5.1
Einführung
höherer
Wir betrachten DGL n-ter Ordnung der Form 𝑦 (𝑛) (𝑥) = 𝑓 (𝑥, 𝑦(𝑥), … , 𝑦 (𝑛−1) (𝑥)) (*).
Die allgemeine Lösung hat n Integrationskonstanten c1, …, cn. Diese kann man festlegen
0
durch Vorgabe von n Anfangsbedingungen 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 , 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦10 , … , 𝑦 (𝑛−1) (𝑥0 ) = 𝑦𝑛−1
.
Wir führen die DGL n-ter Ordnung auf ein System 1. Ordnung zurück:
𝑦1 (𝑡) = 𝑦(𝑡)
𝑦2 (𝑡) = 𝑦 ′ (𝑡) = 𝑦1′ (𝑡)
𝑦3 (𝑡) = 𝑦 ′′ (𝑡) = 𝑦2′ (𝑡)
⋮
1)
System:
𝑦1′ = 𝑦2
⋮
𝑦𝑛′ = 𝑓(𝑥, 𝑦1 , … , 𝑦𝑛−1 )
Anfangsbedingungen:
𝑦1 (𝑥0 ) = 𝑦0
𝑦2 (𝑥0 ) = 𝑦10
134
⋮
0
𝑦𝑛 (𝑥0 ) = 𝑦𝑛−1
2)
7.5.2
i)
Das System erster Ordnung (2.) mit Anfangsbedingung und die Gleichung (*) n-ter
Ordnung mit Anfangsbedingung sind äquivalent.
Elementare
Lösungsmethoden
für
Differentialgleichungen 2. Ordnung
spezielle
nichtlineare
Typ 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑥, 𝑦 ′ ), f hängt nicht von y ab. 𝑧(𝑥) = 𝑦 ′ (𝑥) ⟶ 𝑧 ′ = 𝑦 ′′ ⟹ 𝑧 ′ = 𝑓(𝑥, 𝑧)
Beispiel: DGL der Kettenlinie: 𝑦 ′′ = 𝑎√1 + (𝑦 ′ )2
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑧(𝑥) = 𝑦 ′ (𝑥) ⟶ 𝑧 ′ (𝑥) =
= 𝑎 √1 + 𝑧 2 ⟶
= 𝑎𝑑𝑥
𝑑𝑥
√1 + 𝑧 2
arsinh 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑐1 ⟶ 𝑧 = sinh(𝑎𝑥 + 𝑐1 ) = 𝑦 ′ (𝑥)
1
𝑦(𝑥) = cosh(𝑎𝑥 + 𝑐1 ) + 𝑐2
𝑎
ii)
Typ 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ ), f hängt nicht von x ab. Substitution 𝑝(𝑦) = 𝑦 ′ (𝑥(𝑦)), y wird als
unabhängige Variable eingeführt.
𝑑𝑥
1
1
1
𝑥 ′ (𝑦) =
=
= ′
=
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑦 (𝑥(𝑦)) 𝑝(𝑦)
𝑑𝑥
𝑑
1
1
𝑝′ (𝑦) =
𝑦 ′ (𝑥(𝑦)) = 𝑦 ′′ (𝑥(𝑦)) ⋅ 𝑥 ′ (𝑦) = 𝑓(𝑦, 𝑦 ′ ) ⋅ = 𝑓(𝑦, 𝑝) ⋅
𝑑𝑦
𝑝
𝑝
Wir erzeugen eine DGL 1. Ordnung für p:
1
𝑝′ (𝑦) = 𝑓(𝑦, 𝑝) ⋅ 𝑝 Diese DGL lösen wir.
𝑑𝑦
Wir erhalten 𝑝(𝑦) = 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 =
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
1
𝑑𝑦
𝑥 ′ (𝑦) = 𝑝(𝑦) 𝑥(𝑦) = ∫ 𝑝(𝑦)
𝑥(𝑦) ist Lösung ⟶ 𝑦 = 𝑦(𝑥) ist Umkehrfunktion
iii)
Typ 𝑦 ′′ = 𝑓(𝑦), f hängt nicht von x und 𝑦 ′ ab.
1 𝑑
𝑑
𝑦 ′′ ⋅ 𝑦 ′ = 𝑓(𝑦) ⋅ 𝑦 ′ ⟶ 2 𝑑𝑥 (𝑦 ′ )2 = 𝑑𝑥 𝐹(𝑦) 𝐹(𝑦) = Stammfunktion zu f.
2
𝑦 ′ = 2𝐹(𝑦(𝑥)) + 𝑐1 ⟶ 𝑦 ′ = ±√2𝐹(𝑦(𝑥)) + 𝑐1
Nehmen an √ ≠ 0 wir betrachten „+“
⟶ 𝑦 ′ > 0 Umkehrfunktion existiert 𝑥 = 𝑥(𝑦)
𝑥 ′ (𝑦) =
𝑑𝑥
1
1
𝑑𝑦
=
=
𝑥(𝑦) = ∫
⟶ 𝑦 = 𝑦(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑦
√2𝐹 (𝑦) + 𝑐1
√2𝐹 (𝑦) + 𝑐1
𝑑𝑥
1
Beispiel: 𝑦 ′′ = − 𝑦 2 𝑦(0) = 2 𝑦 ′ (0) = 1
1
2
⟶ 𝐹(𝑦) = 𝑦 −1 ⟶ 𝑦 ′ = ±√ + 𝑐1
2
𝑦
𝑦
1
𝑥 ′ (𝑦) = ±
√2𝑦 −1 + 𝑐1
𝑓(𝑦) = −
135
ist Umkehrfunktion
Frage des Vorzeichens:
1
Da 𝑦 ′ (0) = 1 > 0, muss 𝑦 ′ (𝑥) = 𝑥 ′ (𝑦) am Anfang positiv sein.
𝑥 ′ (𝑦) =
2
2
1
√𝑦
𝑦 ′ (0) = 1 = √
+ 𝑐1 = √ + 𝑐1 ⟶ 𝑐1 = 0 ⟶ 𝑥 ′ (𝑦) =
=
𝑦(0)
2
2 √2
√
𝑦
1
2
√ + 𝑐1
𝑦
2
3
𝑥(𝑦) = 3 𝑦 2 ⋅
1
√2
+ 𝑐 ⟶ 𝑥(𝑦) =
√2 3
𝑦2
3
+ 𝑐 setzen 𝑥 = 0, 𝑦 = 2 ein, um c zu berechnen
1
2
4
4
4
9 3
4 3
√2 3
√2 3
0=
22 + 𝑐 = + 𝑐 ⟶ 𝑐 = − ⟶
𝑦 2 = 𝑥 + ⟶ 𝑦 = ( ) (𝑥 + )
3
3
3
3
3
2
3
7.6
Nichtlineare Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten
7.6.1
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Homogene Gleichung
𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0
Ansatz: 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝜆𝑥
𝜆𝑛 𝑒 𝜆𝑥 + 𝑎𝑛−1 𝜆𝑛−1 𝑒 𝜆𝑥 + ⋯ + 𝑎1 𝜆𝑒 𝜆𝑥 + 𝑎0 𝑒 𝜆𝑥 = 0
𝑝(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝜆𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝜆 + 𝑎0 = 0
𝑝(𝜆) heißt charakteristisches Polynom der homogenen DGL.
𝑝(𝜆) = 0 heißt charakteristische Gleichung.
Definition:
Ein System von n linear unabhängiger Lösungen 𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥) der homogenen Gleichung
heißt Fundamentalsystem.
Fall I:
𝜆1 , … , 𝜆𝑛 seien reell und paarweise verschieden und Lösung von 𝑝(𝜆) = 0, dann gibt es n
linear unabhängige Lösungen von (0): 𝑒 𝜆1 𝑥 , … , 𝑒 𝜆𝑛 𝑥
Beispiel: 𝑦 ′′ − 3𝑦 ′ + 2𝑦 = 0, Ansatz: 𝑦 = 𝑒 𝜆𝑥
𝜆2 − 3𝜆 + 2 = 0
(𝜆 − 1)(𝜆 − 2) = 0
𝜆1 = 1 𝜆2 = 2 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 2𝑥
sind linear unabhängige Lösungen von (0). Sie bilden ein Fundamentalsystem.
Fall II:
λk sei komplex
𝑦(𝑥) = 𝑒 𝜆𝑘𝑥 löst die Gleichung (0)
Mit λk ist auch 𝜆𝑘 Nullstelle von 𝑝(𝜆) = 0 (Achtung: Voraussetzung 𝑎𝑖 ∈ ℝ)
𝜆𝑘 = 𝜎𝑘 + 𝑗𝜏𝑘 𝜎𝑘 = Re 𝜆𝑘 𝜏𝑘 = Im 𝜆𝑘 𝑒 𝜆𝑘 𝑥 = 𝑒 (𝜎𝑘 +𝑗𝜏𝑘)𝑥 = 𝑒 𝜎𝑘 𝑥 (cos 𝜏𝑘 𝑥 + 𝑗 sin 𝜏𝑘 𝑥)
136
Summe oder Differenz zweier Lösungen oder homogene Gleichung ist ebenfalls Lösung von
1
(0). 2 (𝑒 𝜆𝑘 𝑥 + 𝑒 𝜆𝑘 𝑥 ) = 𝑒 𝜎𝑘 𝑥 cos 𝜏𝑘 𝑥 ist ebenfalls Lösung von (0) und diese ist reell.
1
2𝑗
(𝑒 𝜆𝑘𝑥 − 𝑒 𝜆𝑘 𝑥 ) = 𝑒 𝜎𝑘 𝑥 sin 𝜏𝑘 𝑥 ist ebenfalls Lösung von (0) und diese ist reell.
Beispiel: 𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0 𝑦 = 𝑒 𝜆𝑥
𝑝(𝜆) = 𝜆2 + 1 = 0 𝜆1 = +𝑗 𝜆2 = −𝑗
1
1
𝑦1 = 𝑒 𝑗𝑥 𝑦2 = 𝑒 −𝑗𝑥 2 (𝑦1 + 𝑦2 ) = cos 𝑥 und 2𝑗 (𝑦1 − 𝑦2 ) = sin 𝑥 sind reelle Lösungen.
Fall III:
Es gibt mehrfache Nullstellen. λk sei r-fache reelle oder komplexe Nullstelle, dann sind
𝑒 𝜆𝑘 𝑥 , 𝑥 ⋅ 𝑒 𝜆𝑘 𝑥 , … , 𝑥 𝑟−1 𝑒 𝜆𝑘 𝑥 linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung.
Wir untersuchen hier nur die Gleichung 2. Ordnung:
𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0 𝑝(𝜆) = 𝜆2 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎0 = 0. 𝑝(𝜆) habe doppelte Nullstelle 𝜆 = 𝜆1.
Ansatz: 𝑦 = 𝑒 𝜆1 𝑥 d.h. 𝑝(𝜆) = (𝜆 − 𝜆1 )2
0 = 𝜆2 − 2𝜆1 𝜆 + 𝜆12 = 𝜆2 + 𝑎1 𝜆 + 𝑎0 mit 𝑎1 = −2𝜆1 𝑎0 = 𝜆12
𝑦 = 𝑒 𝜆1 𝑥 ist Lösung von 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 0. Wir weisen jetzt nach, dass 𝑦 = 𝑥𝑒 𝜆1 𝑥
Lösung der gegebenen DGL ist.
′
𝑦 ′ = (𝑥𝑒 𝜆1 𝑥 ) = 𝑒 𝜆1 𝑥 + 𝑥𝜆1 𝑒 𝜆1 𝑥
𝑦 ′′ = 𝜆1 𝑒 𝜆1 𝑥 + 𝜆1 𝑒 𝜆1 𝑥 + 𝑥𝜆12 𝑒 𝜆1 𝑥 = (2𝜆1 + 𝑥𝜆12 )𝑒 𝜆1 𝑥
Einsetzen in DGL und umformen.
⟶ (2𝜆
⏟ 1 + 𝑎1 + 𝑥 (𝜆
⏟ 12 + 𝑎1 𝜆1 + 𝑎0 )) 𝑒 𝜆1 𝑥 = 0
−𝑎1 +𝑎1 =0
siehe oben=0
Wir erhalten folgendes Fundamentalsystem: ist λ r-fache reelle Nullstelle von 𝑝(𝜆), 𝑟 ≥ 1, so
sind 𝑒 𝜆𝑘 𝑥 , 𝑥𝑒 𝜆𝑘 𝑥 , … , 𝑥 𝑟−1 𝑒 𝜆𝑘 𝑥 r linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung.
Sind 𝜆𝑘 = 𝜎𝑘 + 𝑗𝜏𝑘 , 𝜆𝑘 = 𝜎𝑘 − 𝑗𝜏𝑘 ein Paar konjugiert komplexe r-fache Nullstellen von
𝑝(𝜆), so sind 𝑒 𝜎𝑘 𝑥 cos 𝜏𝑘 𝑥, 𝑥𝑒 𝜎𝑘 𝑥 cos 𝜏𝑘 𝑥, …, 𝑥 𝑟−1 𝑒 𝜎𝑘 𝑥 cos 𝜏𝑘 𝑥 und 𝑒 𝜎𝑘 𝑥 sin 𝜏𝑘 𝑥,
𝑥𝑒 𝜎𝑘 𝑥 sin 𝜏𝑘 𝑥, …, 𝑥 𝑟−1 𝑒 𝜎𝑘 𝑥 sin 𝜏𝑘 𝑥 2r linear unabhängige Lösungen. Insgesamt entsteht ein
Fundamentalsystem von n linear unabhängiger Lösungen.
Beispiel 1: 𝑦 ′′ − 4𝑦 = 0 𝑝(𝜆) = 𝜆2 − 4 = (𝜆 − 2)(𝜆 + 2) = 0 𝜆1 = 2 𝜆2 = −2
Fundamentalsystem: 𝑦1 = 𝑒 2𝑥 𝑦2 = 𝑒 −2𝑥
Allgemeine Lösung: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥
1
Beispiel 2: 𝑦 ′′′ − 𝑦 = 0 𝑝(𝜆) = 𝜆3 − 1 = 0 𝜆1 = 1 𝜆2,3 = − 2 ± 𝑗
j•Im
Re
𝑥
Fundamentalsystem: 𝑦1 = 𝑒 𝑥 𝑦2 = 𝑒 −2 cos
𝑥
𝑥
√3
𝑥
2
Allgemeine Lösung: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑒 −2 (𝑐2 cos
𝑦3 = 𝑒 −2 sin
√3
𝑥
2
Beispiel 3:
𝑦 (4) + 2𝑦 ′′ + 𝑦 = 0
137
+ 𝑐3 sin
√3
𝑥
2
√3
𝑥)
2
√3
2
𝜆4 + 2𝜆2 + 1 = 0 𝜆2 = 𝜇
𝜇 2 + 2𝜇 + 1 = 0
𝜇 = 𝜆2 = −1 doppelte Nullstelle
𝜆1 = 𝑗 𝜆2 = −𝑗 sind beides doppelte Nullstellen
Fundamentalsystem: 𝑦1 = 𝑒 0⋅𝑥 cos 𝑥 = cos 𝑥 𝑦2 = 𝑥 cos 𝑥 𝑦3 = sin 𝑥 𝑦4 = 𝑥 sin 𝑥
Allgemeine Lösung: 𝑦(𝑥) = 𝑐1 cos 𝑥 + 𝑐2 𝑥 cos 𝑥 + 𝑐3 sin 𝑥 + 𝑐4 𝑥 sin 𝑥
Inhomogene Gleichung
𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎1 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung ist die allgemeine Lösung der homogenen
Gleichung + spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.
𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝐼
Bestimmung einer speziellen Lösung.
i)
ii)
Variation der Konstanten
Man benutzt das Fundamentalsystem der homogenen Gleichung und wählt den Ansatz
𝑦𝐼 = 𝑐1 (𝑥)𝑦1 + ⋯ + 𝑐𝑛 (𝑥)𝑦𝑛 . (Führt zum Ziel, ist aber sehr aufwendig.)
Wahl von speziellen, dem Typ von 𝑔(𝑥) angepassten Ansätzen
Störfunktion 𝑔(𝑥)
Ansatz für yI
𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯ + 𝑏 𝑚 𝑥𝑚
𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥𝑚 falls 𝑝(0) ≠ 0
𝑥 𝑟 (𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥𝑚 ) falls 0 eine r-fache
Nullstelle von p ist
(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥𝑚 )𝑒 𝑎𝑥 falls 𝑝(𝑎) ≠ 0
𝑥 𝑟 (𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥𝑚 )𝑒 𝑎𝑥 falls a eine rfache Nullstelle von p ist
(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥𝑚 ) cos 𝑏𝑥
+ (𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + ⋯ + 𝐵𝑚 𝑥𝑚 ) sin 𝑏𝑥
falls 𝑝(𝑗𝑏) ≠ 0
𝑥 𝑟 [(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥𝑚 ) cos 𝑏𝑥
+ (𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + ⋯ + 𝐵𝑚 𝑥𝑚 ) sin 𝑏𝑥]
falls jb eine r-fache Nullstelle von p ist
[(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥𝑚 ) cos 𝑏𝑥
+ (𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + ⋯ + 𝐵𝑚 𝑥𝑚 ) sin 𝑏𝑥]𝑒 𝑎𝑥
falls 𝑝(𝑎 + 𝑗𝑏) ≠ 0
𝑥 𝑟 [(𝐴0 + 𝐴1 𝑥 + ⋯ + 𝐴𝑚 𝑥𝑚 ) cos 𝑏𝑥
+ (𝐵0 + 𝐵1 𝑥 + ⋯ + 𝐵𝑚 𝑥𝑚 ) sin 𝑏𝑥]𝑒 𝑎𝑥
falls 𝑎 + 𝑗𝑏 eine r-fache Nullstelle von p ist
𝑒 𝑎𝑥 (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑥𝑚 )
cos 𝑏𝑥
oder } ⋅ (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑥𝑚 )
sin 𝑏𝑥
cos 𝑏𝑥
oder } ⋅ 𝑒 𝑎𝑥 (𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑥𝑚 )
sin 𝑏𝑥
7.6.2
Anwendungen auf Gleichungen 2. Ordnung
𝑦 ′′ (𝑡) + 𝑎𝑦 ′ (𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑡)
Homogene Gleichung 𝑦 ′′ (𝑡) + 𝑎𝑦 ′ (𝑡) + 𝑏𝑦(𝑡) = 0
𝑝(𝜆) = 𝜆2 + 𝑎𝜆 + 𝑏 = 0
138
𝑎
𝑎2
1
√𝑎2 − 4𝑏 )
𝜆1,2 = − ± √ − 𝑏 = (−𝑎 ± ⏟
2
4
2
Δ=Diskriminante
mögliche Fälle:
1
(−𝑎 ± √Δ)
Δ > 0 zwei verschiedene reelle Wurzeln
2
𝑎
𝜆1,2 =
−
Δ = 0 eine reelle Doppelwurzel
2
1
{2 (−𝑎 ± 𝑗√−Δ) Δ < 0 zwei zueinander konjugiert komplexe Wurzeln
Fundamentalsystem:
Δ>0
𝑒 𝜆1 𝑡
𝑒 𝜆2 𝑡
𝜆1 𝑡
Δ=0
𝑒
𝑡𝑒 𝜆1 𝑡
Δ < 0 𝜆1 = 𝛼 + 𝑗𝛽 𝜆2 = 𝛼 − 𝑗𝛽
Lösung: 𝑒 𝛼𝑡 cos 𝛽𝑡 𝑒 𝛼𝑡 sin 𝛽𝑡
𝑔(𝑡) = 𝐴 sin 𝜔𝑡 oder 𝑔(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 ⟶ 𝑔(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝑗𝐴 sin 𝜔𝑡
suchen komplexwertige Lösung 𝑦(𝑡) = 𝑣(𝑡) + 𝑗𝑤(𝑡)
Realteil von y löst die Gleichung mit 𝑔(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡
𝑦 ′′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑏𝑦 = (𝑣 + 𝑗𝑤)′′ + 𝑎(𝑣 + 𝑗𝑤)′ + 𝑏(𝑣 + 𝑗𝑤)
= 𝑣 ′′ + 𝑎𝑣 ′ + 𝑏𝑣 + 𝑗(𝑤 ′′ + 𝑎𝑤 ′ + 𝑏𝑤) = 𝐴(cos 𝜔𝑡 + 𝑗 sin 𝜔𝑡)
Durchführung der Methode:
Ansatz: 𝑦(𝑡) = 𝐵𝑒 𝑗𝜔𝑡
𝑦 ′′ + 𝑎𝑦 ′ + 𝑏𝑦 = 𝐵(𝑗𝜔)2 𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐵𝑎(𝑗𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐵𝑏𝑒 𝑗𝜔𝑡
!
2 𝑗𝜔𝑡
= 𝐵 ((𝑗𝜔)
𝑒
+ 𝑎(𝑗𝜔) + 𝑏) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡
⏟
𝑝(𝑗𝜔)
𝐴
𝐵 = 𝑝(𝑗𝜔) falls 𝑝(𝑗𝜔) ≠ 0
𝐴
spezielle Lösung: 𝑦(𝑡) = 𝑝(𝑗𝜔) 𝑒 𝑗𝜔𝑡 falls 𝑝(𝑗𝜔) ≠ 0
𝑣 = Re 𝑦(𝑡) löst die reelle Gleichung mit 𝑔(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡
𝑤 = Im 𝑦(𝑡) löst die reelle Gleichung mit 𝑔(𝑡) = 𝐴 sin 𝜔𝑡
!
Falls 𝑝(𝑗𝜔) = 0 Ansatz: 𝑦(𝑡) = 𝐵𝑡𝑒 𝑗𝜔𝑡 ⟶ 𝐵(2𝑗𝜔 + 𝑎)𝑒 𝑗𝜔𝑡 + 𝐵𝑡𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑝(𝑗𝜔)
= 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡
⏟
=0
𝐴
𝐵=
2𝑗𝜔 + 𝑎
𝐴
𝑦(𝑡) = 2𝑗𝜔+𝑎 𝑒 𝑗𝜔𝑡 falls 𝑝(𝑗𝜔) = 0
Beispiel: 𝑢′′ (𝑡) + 2𝑢′ (𝑡) + 2𝑢(𝑡) = sin 2𝑡 𝑢(0) = 𝑢′ (0) = 1 Anfangswertproblem
Homogene Gleichung: 𝑝(𝜆) = 𝜆2 + 2𝜆 + 2 𝜆1,2 = −1 ± √1 − 2 = −1 ± 𝑗
Fundamentalsystem: 𝑒 −𝑡 cos 𝑡 𝑒 −𝑡 sin 𝑡
Allgemeine Lösung: 𝑢𝐻 = 𝑐1 𝑒 −𝑡 cos 𝑡 + 𝑐2 𝑒 −𝑡 sin 𝑡
Inhomogene Gleichung: Störfunktion sin 2𝑡 = Re(−𝑗𝑒 2𝑗𝑡 )
Ansatz: 𝑢𝐼 (𝑡) = 𝑐𝑒 2𝑗𝑡 , da 𝑝(2𝑗) ≠ 0
139
1
𝑗
𝑐((2𝑗)2 + 2(2𝑗) + 2)𝑒 2𝑗𝑡 = −𝑗𝑒 2𝑗𝑡 ⟶ 𝑐(−2 + 4𝑗) = −𝑗 ⟶ 𝑐 = − +
5 10
1
𝑗
1
1
2𝑗𝑡
𝑢𝐼 (𝑡) = (− 5 + 10) 𝑒 Interessant ist nur Realteil: 𝑢𝐼 (𝑡) = − 5 cos 2𝑡 − 10 sin 2𝑡
1
1
Allgemeine Lösung: 𝑢 = 𝑢𝐻 + 𝑢𝐼 = 𝑐1 𝑒 −𝑡 cos 𝑡 + 𝑐2 𝑒 −𝑡 sin 𝑡 − 5 cos 2𝑡 − 10 sin 2𝑡
Bestimmung der Konstanten:
1
6
𝑢(0) = 𝑐1 − = 1 𝑐1 =
5
5
2
1
𝑢′ (𝑡) = −𝑒 −𝑡 (𝑐1 cos 𝑡 + 𝑐2 sin 𝑡) + 𝑒 −𝑡 (−𝑐1 sin 𝑡 + 𝑐2 cos 𝑡) + sin 2𝑡 − cos 2𝑡
5
5
1
12
′ (0)
𝑢
= −𝑐1 + 𝑐2 − = 1 ⟶ 𝑐2 =
5
5
6 −𝑡
1
𝑢(𝑡) = 𝑒 (cos 𝑡 + 2 sin 𝑡) − (2 cos 2𝑡 + sin 2𝑡 )
5
10
7.6.3
Mechanische und elektrische Schwingungsprobleme
𝐿𝑢𝐶′′ + 𝑅𝑢𝐶′ +
1
1
𝑢𝐶 = 𝑢 Schwingkreis
𝐶
𝐶
Mechanisches Schwingungssystem
r
k
R
ωt
Feder
m
Masse
Dämpfer
𝑚𝑥̈ (𝑡) + 𝑟𝑥̇ (𝑡) + 𝑘𝑥(𝑡) = 𝑘0 cos 𝜔𝑡 𝑘0 = 𝑘 ⋅ 𝑅
𝑟
𝑘
𝑘0
𝑥̈ (𝑡) + 𝑥̇ (𝑡) + 𝑥(𝑡) = cos 𝜔𝑡
𝑚
𝑚
𝑚
𝑟
𝑘
homogene Gleichung: 𝑥̈ (𝑡) + 𝑚 𝑥̇ (𝑡) + 𝑚 𝑥(𝑡) = 0
𝑟
𝑘
1
𝑎=
𝑏=
𝜆1,2 =
(−𝑟 ± √𝑟 2 − 4𝑚𝑘)
𝑚
𝑚
2𝑚
Diskriminante: Δ = 𝑟 2 − 4𝑚𝑘
Fall I: Δ > 0 „Starke Dämpfung“
𝑟 2 > 4𝑚𝑘 ⟶ 𝜆1 als auch λ2 sind kleiner als Null.
𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑒 𝜆1 𝑡 + 𝑐2 𝑒 𝜆2 𝑡 ⟶ 0 wenn 𝑡 ⟶ +∞. Bewegung klingt exponentiell gegen Null ab.
Fall II: Δ = 0 „Aperiodischer Grenzfall“
𝑟
𝑟 2 = 4𝑚𝑘 ⟶ 𝜆1 = 𝜆2 = 𝜆 = −
2𝑚
𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑒 𝜆𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 𝜆𝑡 𝑥(𝑡) ⟶ 0 für 𝑡 ⟶ ∞
Fall III: Δ < 0 „Schwache Dämpfung“
𝑥(𝑡) = 𝑒 −𝛿𝑡 (𝑐1 cos 𝜔𝑒 𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑒 𝑡) 𝛿 =
𝑟
𝑘
𝑟2
𝜔𝑒 = √ −
2𝑚
𝑚 4𝑚2
140
𝑘
𝑘
Im dämpfungsfreien Fall (𝑟 = 0) ⟶ 𝑥̈ + 𝑚 𝑥 = 0 𝜔𝑒 = 𝜔0 = √𝑚
Definition:
ω0 ist Eigenfrequenz des ungedämpften Systems
ωe ist Eigenfrequenz des gedämpften Systems
δ Abklingkonstante
Lösungen des homogenen Gleichungssystems heißen freie Schwingungen, die des
inhomogenen heißen erzwungene Schwingungen.
Resonanzkatastrophe
𝑘
𝑘0
cos 𝜔𝑡 ⟶ 𝑥̈ + 𝜔02 𝑥 = 𝐴𝑒 𝑗𝜔𝑡 wenn 𝜔 ≠ 𝜔0 ergibt:
𝑘0
𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos 𝜔0 𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔0 𝑡 +
cos 𝜔𝑡
2
𝑚(𝜔0 − 𝜔 2 )
𝑘
homogene Gleichung: 𝜆2 + 𝜔02 = 0 𝜆1,2 = ±𝑗𝜔0 𝑝(𝑗𝜔0 ) = 0 𝐴 = 𝑚0
Ansatz: 𝑥𝐼 (𝑡) = 𝐵𝑡𝑒 𝑗𝜔0 𝑡
′′
𝐵(𝑡𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 ) + 𝐵𝜔02 𝑡𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 = 𝐴𝑒 𝑗𝜔0 𝑡
′
𝐵(𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 + 𝑡𝑗𝜔0 𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 ) + 𝐵𝜔02 𝑡𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 =
𝐵(2𝑗𝜔0 𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 + 𝑡(𝑗𝜔0 )2 𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 ) + 𝐵𝜔02 𝑡𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 =
𝐴
𝑘0 1
𝐵=
=
2𝑗𝜔0 𝑚 2𝑗𝜔0
𝑘0 1
𝑘0 −𝑗𝑡
𝑘0
(cos 𝜔0 𝑡 + 𝑗 sin 𝜔0 𝑡))} =
𝑥𝐼 (𝑡) = Re {
𝑡𝑒 𝑗𝜔0 𝑡 } = Re { (
𝑡 sin 𝜔0 𝑡
𝑚 2𝑗𝜔0
𝑚 2𝜔0
2𝑚𝜔0
𝑥̈ (𝑡) + 𝑚 𝑥(𝑡) =
7.6.4
𝑚
Anwendung
der
Laplacetransformation
Differentialgleichungen
Beispiel 1: 𝑦 ′′ 𝜔2 𝑦 = 0 𝑦(0) = 1 𝑦 ′ (0) = 𝜋
Laplace-Transformation: 𝑧 2 𝐹(𝑧) − 𝑧𝑦(0) − 𝑦 ′ (0) + 𝜔2 𝐹(𝑧) = 0
𝑧𝑦(0) + 𝑦 ′ (0)
𝑧+𝜋
𝑧
𝜋
𝐹(𝑧) =
= 2
= 2
+ 2
2
2
2
2
𝜔 +𝑧
𝜔 +𝑧
𝜔 +𝑧
𝜔 + 𝑧2
𝜋
𝑦(𝑥) = cos 𝜔𝑥 + sin 𝜔𝑥
𝜔
Die Lösung ist eindeutig nach obigen Satz.
Beispiel 2: System von gewöhnlichen Differentialgleichungen
Transformatorschaltung
R
U
L
R
M
i1
i2
Trafo mit induktiven Widerstand M. 𝑀 < 𝐿
141
auf
lineare
Bei 𝑡 = 0 wird der Schalter geschlossen
1)
𝑅𝑖1 + 𝐿(𝑖1 )′ + 𝑀(𝑖2 )′ = 𝑈 Primärstromkreis
2)
𝑅𝑖2 + 𝐿(𝑖2 )′ + 𝑀(𝑖1 )′ = 0 Sekundärstromkreis
𝑖1 (0) = 𝑖2 (0) = 0 ℒ[𝑖l ] = Fl (z) l = 1,2
1)
𝑅𝐹1 (𝑧) + 𝐿𝑧𝐹1 (𝑧) − 𝑖1 (0) + 𝑀𝑧𝐹2 (𝑧) − 𝑖2 (0) = 𝑈ℒ[1]
𝑈
𝑅𝐹1 (𝑧) + 𝐿𝑧𝐹1 (𝑧) + 𝑀𝑧𝐹2 (𝑧) =
𝑧
2)
𝑀𝑧𝐹1 (𝑧) + (𝑅 + 𝐿𝑧)𝐹2 (𝑧) = 0
𝑅 + 𝐿𝑧
𝑀𝑧
𝐴=(
) det 𝐴 = (𝐿2 − 𝑀2 )𝑧 2 + 2𝑅𝐿𝑧 + 𝑅 2
𝑀𝑧
𝑅 + 𝐿𝑧
1 𝑅 + 𝐿𝑧 −𝑀𝑧
𝐴−1 =
(
)
det 𝐴 −𝑀𝑧 𝑅 + 𝐿𝑧
𝑈
1
1
𝐹1
−1
( ) = 𝐴 (𝑧) =
( 𝑈(𝑅 + 𝐿𝑧))
𝐹2
det 𝐴 𝑧
0
−𝑀𝑈
1
𝑈(𝑅 + 𝐿𝑧)
𝐹1 (𝑧) =
𝑧 (𝐿2 − 𝑀2 )𝑧 2 + 2𝑅𝐿𝑧 + 𝑅 2
−𝑀𝑈
𝐹2 (𝑧) = 2
(𝐿 − 𝑀2 )𝑧 2 + 2𝑅𝐿𝑧 + 𝑅 2
Nullstellenbestimmung aus Nenner für Partialbrüche
𝐿𝑅
𝐿2 𝑅 2
𝑅 2 (𝐿2 − 𝑀2 )
𝐿𝑅
𝑅𝑀
√
±
−
=− 2
± 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(𝐿 − 𝑀 )
(𝐿 − 𝑀 )(𝐿 − 𝑀 )
𝐿 −𝑀
𝐿 −𝑀
𝐿 − 𝑀2
𝑅
𝑅
𝑧1 = −
𝑧2 = −
𝐿+𝑀
𝐿−𝑀
𝑈 1
𝑈 1
𝑈
𝐹1 (𝑧) = −
−
+
2𝑅 𝑧 − 𝑧1 2𝑅 𝑧 − 𝑧2 𝑅𝑧
𝑈 1
𝑈 1
𝐹2 (𝑧) = −
+
2𝑅 𝑧 − 𝑧1 2𝑅 𝑧 − 𝑧2
𝑧1,2 = −
Rücktransformation
𝑅
𝑈 𝑧𝑡
𝑈
𝑈 − 𝑅 𝑡
𝑈
(𝑒 1 + 𝑒 𝑧2 𝑡 ) + = −
𝑖1 (𝑡) = −
(𝑒 𝐿+𝑀 + 𝑒 −𝐿−𝑀𝑡 ) +
2𝑅
𝑅
2𝑅
𝑅
𝑅
𝑅
𝑈 𝑧𝑡
𝑈
−
𝑡
−
𝑡
(𝑒 1 − 𝑒 𝑧2 𝑡 ) = −
𝑖2 (𝑡) = −
(𝑒 𝐿+𝑀 − 𝑒 𝐿−𝑀 )
2𝑅
2𝑅
i
i1(t)
i2(t)
t
Beispiel 3: Anwendung bei speziellen variablen Koeffizienten
𝑥𝑦 ′′ (𝑥) + 𝑦 ′ (𝑥) + 2𝑥𝑦(𝑥) = 0 𝑦(0) = 1 𝑦 ′ (0) = 0
𝑑𝑙
𝑙
𝑙
ℒ[𝑡 𝑦(𝑡)] = (−1)
ℒ[𝑦(𝑡)]
𝑑𝑧𝑙
ℒ[𝑥𝑦 ′′ (𝑥)] + ℒ[𝑦 ′ (𝑥)] + 2ℒ[𝑥𝑦(𝑥)] = 0
𝑑
𝑑
− (𝑧 2 𝐹(𝑧) − 𝑧𝑦(0) − 𝑦 ′ (0)) + 𝑧𝐹(𝑧) − 𝑦(0) − 2 𝐹(𝑧) = 0
𝑑𝑧
𝑑𝑧
142
−2𝑧𝐹(𝑧) − 𝑧 2 𝐹 ′ (𝑧) + 1 + 𝑧𝐹(𝑧) − 1 − 2𝐹 ′ (𝑧) = 0
(𝑧 2 + 2)𝐹 ′ (𝑧) + 𝑧𝐹(𝑧) = 0
𝑑𝐹
𝑧
=− 2
𝑑𝑧
𝐹
𝑧 +2
1
ln 𝐹 = − ln(𝑧 2 + 2) + 𝑐
2
𝑘
𝐹=
√𝑧 2 + 2
𝑦(𝑧) = 𝐽0 (√2𝑥) Besselfunktion mit 𝐽0 (0) = 1
7.7
Systeme linearer Differentialgleichungen
konstanten Koeffizienten
7.7.1
Formulierung, Eliminationsmethode
mit
𝑦̇ 1 (𝑡) = 𝑎11 𝑦1 (𝑡) + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑦𝑛 (𝑡) + 𝑠1 (𝑡)
𝑦̇ 2 (𝑡) = 𝑎21 𝑦1 (𝑡) + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑦𝑛 (𝑡) + 𝑠2 (𝑡)
⋮
𝑦̇𝑛 (𝑡) = 𝑎𝑛1 𝑦1 (𝑡) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 𝑦𝑛 (𝑡) + 𝑠𝑛 (𝑡)
𝑎𝑖𝑗 ∈ ℝ si Störfunktion, gesucht 𝑦1 , … , 𝑦𝑛
Wenn 𝑠1 (𝑡) = ⋯ = 𝑠𝑛 (𝑡) = 0, dann ist System homogen, sonst inhomogen.
Anfangsbedingung: 𝑦1 (𝑡0 ) = 𝑦10 , … , 𝑦𝑛 (𝑡0 ) = 𝑦𝑛0 (nur andere Schreibweise, yn0 ist Zahl
keine Funktion)
𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑦10
𝑦1 (𝑡)
𝑠1 (𝑡)
⋱
⋮ ) 𝑦0 = ( ⋮ )
𝑦(𝑡) = ( ⋮ ) 𝑠(𝑡) = ( ⋮ ) 𝐴 = ( ⋮
𝑎
⋯
𝑎
𝑦𝑛0
𝑦𝑛 (𝑡)
𝑠𝑛 (𝑡)
𝑛1
𝑛𝑛
𝑦̇ (𝑡) = 𝐴𝑦(𝑡) + 𝑠(𝑡) 𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0
Eliminationsmethode
3
𝑢̇ = −3𝑢 − 𝑣 + 𝑡 𝑢(0) = −
8
1
𝑣̇ = 𝑢 − 𝑣 + 𝑡 2 𝑣(0) =
8
𝑡
−3 −1
𝐴=(
) 𝑠(𝑡) = ( 2 )
𝑡
1 −1
Differenzieren die erste Gleichung:
𝑢̈ = −3𝑢̇ − 𝑣̇ + 1 = −3𝑢̇ − (𝑢 − 𝑣 + 𝑡 2 ) + 1 |−𝑣 = 3𝑢 − 𝑡 + 𝑢̇
= −3𝑢̇ − 𝑢 − 𝑡 2 − 𝑢̇ − 3𝑢 + 𝑡 + 1 = −4𝑢̇ − 4𝑢 − 𝑡 2 + 𝑡 + 1
𝑢̈ + 4𝑢̇ + 4𝑢 = 1 + 𝑡 − 𝑡 2
Lösung der homogenen Gleichung:
(rechte Seite = 0) 𝑢𝐻 (𝑡) = 𝑐1 𝑒 −2𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 −2𝑡 |𝜆2 + 4𝜆 + 4 = 2(𝜆 + 2) = 𝑝(𝜆)
spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung:
𝑢𝑃 (𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡 2 𝑝(0) ≠ 0
Einsetzen { 𝑢̇ 𝑃 (𝑡) = 𝑏 + 2𝑐𝑡
𝑢̈ 𝑃 (𝑡) = 2𝑐
143
2𝑐 + 4(𝑏 + 2𝑐𝑡) + 4(𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡 2 ) = 4𝑐𝑡 2 + (4𝑏 + 8𝑐)𝑡 + 2𝑐 + 4𝑏 + 4𝑎 = 1 + 𝑡 − 𝑡 2
Koeffizientenvergleich:
1
4
3
𝑡1 :
4𝑏 + 8𝑐 = 1
𝑏=
4
3
𝑡 0 : 2𝑐 + 4𝑏 + 4𝑎 = 1 𝑎 = −
8
3 3
1 2
𝑢𝑃 (𝑡) = − + 𝑡 − 𝑡
8 4
4
𝑡2:
4𝑐 2 = −1
𝑐=−
Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung:
3 3
1
𝑢(𝑡) = 𝑢𝐻 + 𝑢𝑃 = 𝑐1 𝑒 −2𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 −2𝑡 − + 𝑡 − 𝑡 2 (∗)
8 4
4
3
𝑢(0) = 𝑐1 − ⟶ 𝑐1 = 0
8
3
1
𝑢̇ (0) = 3𝑢(0) − 𝑣(0) + 0 = −3 (− ) − = 1
8
8
3
1
Wir differenzieren (*) und setzen 𝑡 = 0 ⟹ 𝑢̇ (0) = 𝑐2 + 4 ⟶ 𝑐2 = 4
1
3 3
1
𝑢(𝑡) = 𝑡𝑒 −2𝑡 − + 𝑡 − 𝑡 2
4
8 4
4
1
1
−2𝑡
𝑣(𝑡) = − (1 + 𝑡)𝑒
+ (3 − 6𝑡 + 6𝑡 2 )
4
8
7.7.2
Die Matrixmethode
𝑦̇ = 𝐴𝑦 + 𝑠 𝑦(0) = 𝑦0 (A-Matrix)
Lösen des homogenen Gleichungssystems:
Schritt 1:
Bestimmung aller Eigenwerte von A und deren Vielfachheit aus 𝑝(𝜆) = det(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0
mit E = Einheitsmatrix 𝑛 × 𝑛 (p = Polynom n-ten Grades)
Es gibt reelle oder komplexe Nullstellen der Ordnung 1 oder höher:
λ1 mit Vielfachheit n1, …, λr mit Vielfachheit nr
Schritt 2:
Ansatz: 𝑦(𝑡) = 𝑒 𝜆1 𝑡 𝑝1 (𝑡) + ⋯ + 𝑒 𝜆𝑟 𝑡 𝑝𝑟 (𝑡)
𝑝𝑖 (𝑡) Vektoren (n-dimensional) bestehen aus Polynomen vom grad ≤ 𝑛𝑖 − 1.
𝑝𝑖1
Falls 𝜆𝑖 = 1, so ist 𝑝𝑖 (𝑡) = ( ⋮ ) 𝑝𝑖𝑙 ∈ ℝ mit l = Index
𝑝𝑖𝑛
Schritt 3:
Einsetzen des Ansatzes und Koeffizientenvergleich
144
Beispiel 1:
𝑢̇ = 𝑢 + 𝑣
𝑢(0) = 0
1 1
⟹𝐴=(
)
𝑣̇ = 4𝑢 − 2𝑣 𝑣(0) = 5
4 −2
1−𝜆
1
|
| = 0 = 𝜆2 + 𝜆 − 6 𝜆1,2 = −0,5 ± 2,5
4
−2 − 𝜆
𝑢(𝑡) = 𝐴𝑒 −3𝑡 + 𝐵𝑒 2𝑡
𝑢(𝑡)
𝐴
𝐵
Ansatz:
⟹(
) = ( ) 𝑒 −3𝑡 + ( ) 𝑒 2𝑡
𝑣(𝑡)
𝐶
𝐷
𝑣(𝑡) = 𝐶𝑒 −3𝑡 + 𝐷𝑒 2𝑡
Einsetzen und Koeffizientenvergleich
𝑢̇ = −3𝐴𝑒 −3𝑡 + 2𝐵𝑒 2𝑡 = 𝑢 + 𝑣 = (𝐴 + 𝐶)𝑒 −3𝑡 + (𝐵 + 𝐷)𝑒 2𝑡
𝑣̇ = 3𝐶𝑒 −3𝑡 + 2𝐷𝑒 2𝑡 = 4𝑢 − 2𝑣 = (4𝐴 − 2𝐶)𝑒 −3𝑡 + (4𝐵 − 2𝐷)𝑒 2𝑡
Koeffizientenvergleich: 𝑒 −3𝑡 und 𝑒 2𝑡 sind linear unabhängig
−3𝐴 = 𝐴 + 𝐶 ⟶ 𝐶 = −4𝐴
2𝐵 = 𝐵 + 𝐷
−3𝐶 = 4𝐴 − 2𝐶
2𝐷 = 4𝐵 − 2𝐷 ⟶ 𝐵 = 𝐷
⟹ 𝑢(𝑡) = 𝐴𝑒 −3𝑡 + 𝐵𝑒 2𝑡 𝑣(𝑡) = −4𝐴𝑒 −3𝑡 + 𝐵𝑒 2𝑡
𝑢(0) = 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴 = −1
}
Anfangsbedingungen
𝑣(0) = −4𝐴 + 𝐵 = 5 𝐵 = 1
𝑢(𝑡) = −𝑒 −3𝑡 + 𝑒 2𝑡 𝑣(𝑡) = 4𝑒 −3𝑡 + 𝑒 2𝑡
Beispiel 2:
𝑢̇ = 3𝑢 − 4𝑣 𝑢(0) = 3
3 −4
⟹𝐴=(
)
𝑣̇ = 𝑢 − 𝑣
𝑣(0) = 1
1 −1
3−𝜆
−4
|
| = 0 = 𝜆2 − 2𝜆 + 1 𝜆 = 1 Vielfachheit 2
1
−1 − 𝜆
Ansatz:
𝑢(𝑡) = 𝑒 𝑡 (𝐴 + 𝐵𝑡)
𝑢(𝑡)
𝐴 + 𝐵𝑡
⟹(
) = 𝑒𝑡 (
)
𝑡 (𝐶
⏟
𝑣(𝑡)
𝐶 + 𝐷𝑡
𝑣(𝑡) = 𝑒
+ 𝐷𝑡)
𝑝(𝑡)
Einsetzen des Ansatzes in das System:
𝑢̇ = 𝑒 𝑡 (𝐴 + 𝐵𝑡) + 𝐵𝑒 𝑡 = 3(𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒 𝑡 − 4(𝐶 + 𝐷𝑡)𝑒 𝑡
𝑣̇ = 𝑒 𝑡 (𝐶 + 𝐷𝑡) + 𝐷𝑒 𝑡 = (𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒 𝑡 − (𝐶 + 𝐷𝑡)𝑒 𝑡
Koeffizientenvergleich:
𝐴 𝐵
𝑢̇ , 𝑡 0 : 𝐴 + 𝐵 = 3𝐴 − 4𝐶 ⟶ 𝐶 = −
2 4
1
𝑡 :
𝐵 = 3𝐵 − 4𝐷
𝑣̇ , 𝑡 0 :
𝐶+𝐷 =𝐴−𝐶
𝐵
𝑡1 :
𝐷 =𝐵−𝐷 ⟶𝐷 =
2
𝑢(𝑡) = (𝐴 + 𝐵𝑡)𝑒 𝑡
𝐴
𝐵
𝐵
𝑣(𝑡) = ( 2 − 4 + 2 𝑡) 𝑒 𝑡 mit den Anfangsbedingungen 𝐴 = 3, 𝐵 = 2
Beispiel 3:
𝑢̇ = 3𝑢 + 2𝑣
𝑣̇ = −5𝑢 + 𝑣
𝑢(0) = 2
3 2
⟹𝐴=(
)
𝑣(0) = 2
−5 1
145
3−𝜆
|
−5
2
| = 0 = 𝜆2 − 4𝜆 + 13 𝜆1,2 = 2 ± 3𝑗
1−𝜆
𝑢(𝑡) = 𝐴𝑒 2𝑡 cos 3𝑡 + 𝐵𝑒 2𝑡 sin 3𝑡
Ansatz:
𝑣(𝑡) = 𝐶𝑒 2𝑡 cos 3𝑡 + 𝐷𝑒 2𝑡 sin 3𝑡
𝑢(𝑡) = 2𝑒 2𝑡 (cos 3𝑡 + sin 3𝑡)
Ergebnis:
𝑣(𝑡) = 2𝑒 2𝑡 (cos 3𝑡 − 2 sin 3𝑡)
Lösung des inhomogenen Systems: Variation der Konstanten
Beispiel 4:
𝑥̇ = 4𝑥 + 𝑦 − 36𝑡
𝑦̇ = −2𝑥 + 𝑦 − 2𝑒 𝑡
𝑥𝐻 = 𝐶1 𝑒 3𝑡 + 𝐶2 𝑒 2𝑡
Allgemeine Lösung des homogenen Systems
𝑦𝐻 = −𝐶1 𝑒 3𝑡 − 2𝐶2 𝑒 2𝑡
partikuläre Lösung des inhomogenen Systems:
𝑥 (𝑡) = 𝐶1 (𝑡)𝑒 3𝑡 + 𝐶2 (𝑡)𝑒 2𝑡
Ansatz: 𝑃
𝑦𝑃 (𝑡) = −𝐶1 (𝑡)𝑒 3𝑡 − 2𝐶2 (𝑡)𝑒 2𝑡
𝑥̇ 𝑃 = 𝐶1̇ 𝑒 3𝑡 + 3𝐶1 𝑒 3𝑡 + 𝐶2̇ 𝑒 2𝑡 + 2𝐶2 𝑒 2𝑡 = 4(𝐶1 𝑒 3𝑡 + 𝐶2 𝑒 2𝑡 ) − 𝐶1 𝑒 3𝑡 − 2𝐶2 𝑒 2𝑡 − 36𝑡
𝐶1̇ 𝑒 3𝑡 + 𝐶2̇ 𝑒 2𝑡 = −36𝑡
𝑦̇ 𝑃 = −𝐶1̇ 𝑒 3𝑡 − 2𝐶2̇ 𝑒 2𝑡 = −2𝑒 𝑡
Unbekannte: 𝐶1̇ , 𝐶2̇
𝐶1̇ = (−72𝑡 − 2𝑒 𝑡 )𝑒 −3𝑡
𝐶2̇ = 36𝑡𝑒 −2𝑡 + 2𝑒 −𝑡
𝐶1 (𝑡) = 24𝑡𝑒 −3𝑡 + 8𝑒 −3𝑡 + 𝑒 −2𝑡
𝐶2 (𝑡) = −18𝑡𝑒 −2𝑡 − 9𝑒 −2𝑡 − 2𝑒 −𝑡
Partikuläre Lösung des Systems
𝑥𝑃 (𝑡) = (24𝑡𝑒 −3𝑡 + 8𝑒 −3𝑡 + 𝑒 −2𝑡 )𝑒 3𝑡 + (−18𝑡𝑒 −2𝑡 − 9𝑒 −2𝑡 − 2𝑒 −𝑡 )𝑒 2𝑡 = 6𝑡 − 1 − 𝑒 𝑡
𝑦𝑃 (𝑡) = 12𝑡 + 10 + 3𝑒 𝑡
Allgemeine Lösung:
𝑥(𝑡) = 𝑥𝐻 (𝑡) + 𝑥𝑃 (𝑡)
𝑦(𝑡) = 𝑦𝐻 (𝑡) + 𝑦𝑃 (𝑡)
7.8
Rand- und Eigenwertprobleme
7.8.1
Randprobleme
Beispiele: 𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 𝑥 ∈ [0,1] Differentialgleichung
𝑦 ′ (0) + 𝑦(0) = 1 𝑦 ′ (1) = 0 Randbedingungen
𝜆2 − 1 = 0 𝜆1 = 1 𝜆2 = −1
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥
mit Randbedingungen:
1
𝐶1 − 𝐶2 + ⏟
𝐶1 + 𝐶2 = 1 ⟶ 𝐶1 =
⏟
2
′ (0)
𝑦
𝑦(0)
𝑦 ′ (1) = 𝐶1 𝑒 1 − 𝐶2 𝑒 −1 = 0 ⟶ 𝐶2 =
1 2
𝑒
2
146
1
𝑦(𝑥) = (𝑒 𝑥 + 𝑒 2−𝑥 ) Die Lösung existiert und ist eindeutig
2
Beispiel: 𝑦 ′′ = 0 𝑥 ∈ [0,1]
𝑦(0) = 0 𝑦 ′ (1) − 𝑦(1) = 0 Randbedingungen
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑦(0) = 𝐶2 = 0
𝑦 ′ (1) − 𝑦(1) = 𝐶1 − (𝐶1 − 𝐶2 ) = 0 ⟶ 𝐶2 = 0, C1 ist beliebig
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑥 ist die allgemeine Lösung unseres Problems
Das Randwertproblem ist nicht eindeutig lösbar.
Beispiel: 𝑦 ′′ = 1 𝑥 ∈ [0,1], zweimal integrieren, nicht über eλx
𝑦(0) = 0 𝑦 ′ (1) − 𝑦(1) = 0
𝑥2
𝑦(𝑥) =
+ 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 𝑦(0) = 𝐶2 = 0
2
1
1
𝑦 ′ (1) − 𝑦(1) = 1 + 𝐶1 − 2 − 𝐶1 − 𝐶2 ≠ 2 nicht lösbar
(1) 𝐿[𝑦] = 𝑦 ′′ + 𝑓1 (𝑥)𝑦 + 𝑓2 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
(2) 𝑅𝑗 [𝑦] = 𝛼𝑗 𝑦(𝑎) + 𝛽𝑗 𝑦 ′ (𝑎) + 𝛾𝑗 𝑦(𝑏) + 𝛿𝑗 𝑦 ′ (𝑏) = 𝜀𝑗 𝑗 = 1,2 𝛼𝑗 , 𝛽𝑗 , 𝛾𝑗 , 𝛿𝑗 ∈ ℝ
Allgemeine Lösung hat die Form:
(3) 𝑦 = 𝑦0 (𝑥) + 𝐶1 𝑦1 (𝑥) + 𝐶2 𝑦2 (𝑥)
𝑦0 (𝑥) ist eine spezielle Lösung des inhomogenen Problems (1) und 𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥) sind ein
Fundamentalsystem des homogenen Problems 𝐿[𝑦] = 0. Wir setzen (3) in (2) ein:
𝑅𝑗 [𝑦] = 𝑅𝑗 [𝑦0 + 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 ] 𝑗 = 1,2
𝐶 𝑅 [𝑦 ] + 𝐶2 𝑅1 [𝑦2 ] = 𝜀1 − 𝑅1 [𝑦0 ]
(4) Gleichungssystem für 𝐶1 , 𝐶2 { 1 1 1
𝐶1 𝑅2 [𝑦1 ] + 𝐶2 𝑅2 [𝑦2 ] = 𝜀2 − 𝑅2 [𝑦0 ]
𝑅1 [𝑦1 ] 𝑅1 [𝑦2 ]
det |
| kann Null werden oder verschieden von Null sein.
𝑅2 [𝑦1 ] 𝑅2 [𝑦2 ]
Satz:
Die Funktionen f1, f2, g seien in [a, b] stetig. Dann ist das inhomogene Randwertproblem (1),
(2) genau dann eindeutig lösbar, wenn 𝐷 ≠ 0 ist.
Im Fall 𝐷 = 0 besitzt das homogene Randwertproblem nichttriviale Lösungen, während das
inhomogene Randwertproblem entweder nicht oder nicht eindeutig lösbar ist.
Beispiel: 𝑦 ′′ − 𝑦 = 0 Fundamentalsystem 𝑦1 (𝑥) = 𝑒 𝑥 𝑦2 (𝑥) = 𝑒 −𝑥
𝑅1 [𝑦] = 𝑦 ′ (0) + 𝑦(0) = 1
𝑅2 [𝑦] = 𝑦 ′ (1) = 0
𝑅1 [𝑦1 ] = 𝑦1′ (0) + 𝑦1 (0) = 1 + 1 = 2
𝑅1 [𝑦2 ] = 𝑦2′ (0) + 𝑦2 (0) = −1 + 1 = 0
𝑅2 [𝑦1 ] = 𝑦1′ (1) = 𝑒
𝑅2 [𝑦2 ] = 𝑦2′ (1) = −𝑒 −1
2
0
𝐷=|
| = −2𝑒 −1 ≠ 0 ⟶ Randwertproblem ist eindeutig lösbar
𝑒 −𝑒 −1
7.8.2
Eigenwertprobleme
(1) 𝐿[𝑦] − 𝜆𝑦 = 0 in [a, b]
(2) 𝑅𝑗 [𝑦] = 0 𝑗 = 1,2 L, Rj wie 7.8.1
147
y und λ sind gesucht. Insbesondere sind diejenigen λ gesucht, für die das Randwertproblem
nichttriviale Lösungen y besitzt. Jedes solche λ heißt Eigenwert des homogenen
Randwertproblems und jede zugehörige Lösung y heißt Eigenfunktion (oder Eigenlösung).
Beispiel: 𝑦 ′′ + 𝜆𝑦 = 0 in [0, l]
𝑦(0) = 0 𝑦(𝑙) = 0
𝑝(𝜏) = 𝜏 2 + 𝜆 = 0 𝜏1,2 = ±√−𝜆
𝜆 < 0 ⟶ Fundamentalsysteme 𝑒 𝜏1 𝑥 , 𝑒 𝜏2 𝑥
𝜆 = 0 ⟶ Fundamentalsysteme 1, x
𝜆 > 0 ⟶ Fundamentalsysteme cos √𝜆𝑥, sin √𝜆𝑥
Für 𝜆 < 0 allgemeine Lösung 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 𝜏1 𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝜏2 𝑥
𝑦(0) = 0 𝐶1 𝑒 0 + 𝐶2 𝑒 0 = 0
𝑦(𝑙) = 0 𝐶1 𝑒 𝜏1 𝑙 + 𝐶2 𝑒 𝜏2 𝑙 = 0
1
1
| 𝜏1 𝑙
| = 𝑒 𝜏2 𝑙 − 𝑒 𝜏1 𝑙 ≠ 0 𝐶1 = 𝐶2 = 0
𝑒
𝑒 𝜏2 𝑙
𝑦(𝑥) ≡ 0 ist interessant, da keine Eigenwerte ermittelt wurden.
Für 𝜆 = 0 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 allgemeine Lösung
𝑦(0) = 0 = 𝐶1
𝑦(𝑙) = 𝐶1 + 𝐶2 𝑙 = 0 ⟶ 𝐶2 = 0
𝑦(𝑥) ≡ 0 keine Eigenwerte sind vorhanden, 𝜆 = 0 ist kein Eigenwert.
Für 𝜆 > 0 𝑦(𝑥) = 𝐶1 cos √𝜆𝑥 + 𝐶2 sin √𝜆𝑥
𝑦(0) = 𝐶1 cos 0 + 𝐶2 sin 0 = 𝐶1 = 0
𝑘𝜋
𝑙
𝑦 ∈ ℕ, 𝐶𝑘 ∈ ℝ die
𝑦(𝑙) = 𝐶1 cos √𝜆𝑙 + 𝐶2 sin √𝜆𝑙 = 0 ⟶ sin √𝜆𝑙 = 0 ⟶ √𝜆𝑙 = 𝑘𝜋 ⟶ √𝜆 =
𝑘 2 𝜋2
⟹ 𝜆𝑘 = 𝑙2 𝑘 = 1,2, … ∈ ℕ sind Eigenwerte und 𝑦𝑘 (𝑥) = 𝐶𝑘 sin
zugehörige Eigenfunktion.
7.9
Lineare Differentialgleichungen
Koeffizienten
7.9.1
Formulierung und Lösungsverhalten
𝑘𝜋𝑥
𝑙
mit
variablen
Wir betrachten lineare DGL 1. Ordnung
𝑦1′ (𝑥) = 𝑎11 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + ⋯ + 𝑎1𝑛 (𝑥)𝑦𝑛 (𝑥) + 𝑏1 (𝑥)
⋮
𝑦𝑛′ (𝑥) = 𝑎𝑛1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + ⋯ + 𝑎𝑛𝑛 (𝑥)𝑦𝑛 (𝑥) + 𝑏𝑛 (𝑥)
𝑎𝑖𝑗 (𝑥), 𝑏𝑖 (𝑥) gegeben, 𝑦𝑖 (𝑥) gesucht
Kürzere Schreibweise
𝑦1 (𝑥)
𝑎11 (𝑥) ⋯ 𝑎1𝑛 (𝑥)
𝑏1 (𝑥)
⋱
⋮ ) 𝑏(𝑥) = ( ⋮ ) ⟹ 𝑦 ′ = 𝐴(𝑥)𝑦 + 𝑏(𝑥)
𝑦(𝑥) = ( ⋮ ) 𝐴(𝑥) = ( ⋮
𝑦𝑛 (𝑥)
𝑎𝑛1 (𝑥) ⋯ 𝑎𝑛𝑛 (𝑥)
𝑏𝑛 (𝑥)
148
𝑦10
Dazu Randbedingung: 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 = ( ⋮ )
𝑦𝑛0
Existenz und Eindeutigkeit
Satz:
Das lineare Anfangswertproblem 𝑦 ′ = 𝐴(𝑥)𝑦 + 𝑏(𝑥), 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 mit stetigen
Koeffizientenfunktionen aij, bi besitzt auf (−∞, ∞) genau eine Lösung 𝑦(𝑥). Globale Existenz
+ Eindeutigkeit. Wir haben gesehen, dass DGL höherer Ordnung zu Systemen äquivalent
sind. Folglich können wir auch folgende Gleichung behandeln:
𝑦 (𝑛) + 𝑎𝑛−1 (𝑥)𝑦 (𝑛−1) + ⋯ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) mit den Anfangsbedingungen
0
𝑦(𝑥0 ) = 𝑦00 , 𝑦 ′ (𝑥0 ) = 𝑦10 , …, 𝑦 (𝑛−1) (𝑥0 ) = 𝑦𝑛−1
⟶ mit stetigen Koeffizienten ist bei
gegeben Anfangswerten eindeutig lösbar.
7.9.2
Homogene lineare Systeme 1. Ordnung
𝑦 ′ = 𝐴(𝑥) = 𝑦 homogenes System
offensichtlich gilt: Sind 𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑘 (𝑥) Lösungen des homogenen Systems, so ist auch
𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑦1 (𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑘 𝑦𝑘 (𝑥) Lösung, wobei 𝐶𝑖 ∈ ℝ beliebig gewählt werden können.
Frage: Wie viele verschiedene Lösungen hat das homogene System?
Beispiel: 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 𝑦1 = 𝑦 𝑦2 = 𝑦 ′
𝑦′ + 𝑦 = 0
𝑦 ′ = 𝑦2
⟹ 2 ′ 1
⟺ ′1
𝑦1 = 𝑦2
𝑦2 = −𝑦1
0 1
𝐴(𝑥) = (
)
−1 0
Lösung der DGL 𝑦 ′′ + 𝑦 = 0 sind 𝑦 = cos 𝑥 und 𝑦 = sin 𝑥.
cos 𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
sin 𝑥
Lösung des Systems: 𝑦1 = ((cos 𝑥)′ ) = (
) 𝑦2 = ((sin ′ ) = (
)
− sin 𝑥
𝑥)
cos 𝑥
Diese sind linear unabhängig:
cos 𝑥 sin 𝑥
|
| = cos2 𝑥 + sin2 𝑥 = 1
− sin 𝑥 cos 𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
𝛼(
)+𝛽(
)=0
− sin 𝑥
cos 𝑥
Da det ≠ 0 ⟶ 𝛼 = 𝛽 = 0 ⟹ 𝑦 (1) und 𝑦 (2) sind linear unabhängig.
Definition:
Die Vektorfunktionen 𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑘 (𝑥) heißen linear unabhängig auf [a, b], falls aus
𝛼1 𝑦1 (𝑥) + ⋯ + 𝛼𝑘 𝑦𝑘 (𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] folgt 𝛼1 = ⋯ = 𝛼𝑘 = 0. Andernfalls heißt das
System von Funktionen 𝑦1 , … , 𝑦𝑘 linear abhängig.
Satz 3:
Die Elemente 𝑎𝑖𝑗 (𝑥) von 𝐴(𝑥) seien stetig auf [a, b], dann hat das homogene System 𝑦 ′ =
𝐴(𝑥)𝑦 n linear unabhängige Lösungen.
149
Definition:
Eine Funktionensystem von n linear unabhängigen Lösungen von 𝑦 ′ = 𝐴(𝑥)𝑦 heißt
Fundamentalsystem.
Wie erkennt man ein Fundamentalsystem?
Definition:
Gegeben sei ein Funktionensystem 𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥). Wir bilden die Matrix 𝑌(𝑥) =
[𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥)].
𝑊(𝑥) = det 𝑌(𝑥) heißt Wronski-Determinante des Systems 𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥).
Satz 4:
Seien 𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥) Lösungen der homogenen Gleichung 𝑦 ′ = 𝐴(𝑥)𝑦 mit stetigem 𝐴(𝑥)
auf [a, b], dann gilt (i). Entweder 𝑊(𝑥) = 0 oder 𝑊(𝑥) ≠ 0 ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥) bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn 𝑊(𝑥) ≠ 0 ∀𝑥 ∈
[𝑎, 𝑏].
Beweisidee zu i):
Wäre 𝑊(𝑥0 ) = 0 für nur ein 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏] ⟹ 𝛼1 𝑦1 (𝑥0 ) + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑦𝑛 (𝑥0 ) = 0, dann sind
𝑦1 (𝑥0 ), … , 𝑦𝑛 (𝑥0 ) linear abhängig in x0, 𝛼 = (𝛼1 , … , 𝛼𝑛 ) ≠ 0. Damit löst 𝑦(𝑥) = 𝛼1 𝑦1 (𝑥0 ) +
⋯ + 𝛼𝑛 𝑦𝑛 (𝑥0 ) das homogene DGL-System mit dem Anfangswert 𝑦0 = 0. Dieses hat immer
die eindeutige Lösung 𝑦 = 0 ⟶ 𝑊(𝑥) = 0.
i)
−1
1
𝑥(𝑥 2 + 1) 𝑥 2 (𝑥 2 + 1)
Beispiel: 𝑛 = 2 𝐴(𝑥) =
𝑥>0
−𝑥
2𝑥 2 + 1
[ 𝑥2 + 1
𝑥(𝑥 2 + 1) ]
1
𝑦1
𝑦1′
1
−
(1)
(2)
( ′ ) = 𝐴(𝑥) (𝑦 ) ⟶ 𝑦 = ( ) 𝑦 = ( 𝑥 )
𝑦2
2
𝑥
𝑥2
1
1 −𝑥
𝑊(𝑥) = |
| = 𝑥 2 + 1 ≠ 0 ∀𝑥 ⟹ 𝑦 (1) , 𝑦 (2) bilden ein Fundamentalsystem auf (0, ∞).
2
𝑥 𝑥
Satz 5:
Ist 𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥) auf [a, b] ein Fundamentalsystem der homogenen Gleichung 𝑦 ′ = 𝐴(𝑥)𝑦,
so lässt sich jede Lösung auf [a, b] in der Form 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑦1 (𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) schreiben.
7.9.3
Inhomogene lineare Systeme 1. Ordnung
𝑦 ′ = 𝐴(𝑥)𝑦 + 𝑏(𝑥) Allgemeine Lösung hat die Darstellung 𝑦 = 𝑦𝐻 + 𝑦𝐼 .
𝑦𝐻 ist allgemeine Lösung des homogenen Systems
𝑦𝐼 ist spezielle Lösung des inhomogenen Systems
150
Satz:
Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems lässt sich mit Hilfe des
Fundamentalsystems 𝑦1 (𝑥), … , 𝑦𝑛 (𝑥) des homogenen Systems 𝑦 ′ = 𝐴(𝑥)𝑦 und einer
beliebigen speziellen Lösung 𝑦𝐼 des inhomogenen Systems in der Form: 𝑦(𝑥) = 𝑦𝐼 (𝑥) +
𝐶1 𝑦1 (𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑦𝑛 (𝑥) 𝐶𝑖 ∈ ℝ beliebig darstellen.
Die Bestimmung einer speziellen Lösung: Variation der Konstanten
Ansatz:
𝑦𝐼 (𝑥) = 𝐶1 (𝑥)𝑦1 (𝑥) + ⋯ + 𝐶𝑛 (𝑥)𝑦𝑛 (𝑥) = 𝑌(𝑥) ⋅ 𝐶(𝑥)
Fundamentalmatrix.
𝑦𝐼′ = 𝐴(𝑥)𝑦𝐼 + 𝑏
′
(𝑌 ⋅ 𝐶) = 𝐴(𝑥)𝑌𝐶 + 𝑏
′
𝑌 ⋅ 𝐶 + 𝑌 ⋅ 𝐶 ′ = 𝐴(𝑥)𝑌𝐶 + 𝑏
Es gilt 𝑌 ′ = 𝐴𝑌 ⟶ 𝑌 ′ 𝐶 = 𝐴𝑌𝐶
𝑌(𝑥)𝐶 ′ (𝑥) = 𝑏(𝑥) ⟶ 𝐶 ′ (𝑥) = 𝑌 −1 (𝑥)𝑏(𝑥)
𝑌 −1 existiert, da 𝑊 ≠ 0
𝐶(𝑥) = ∫ 𝑌 −1 (𝑥)𝑏(𝑥)𝑑𝑥 ⟶ Einsetzen in Ansatz
−1
𝑥(𝑥 2 + 1)
Beispiel: 𝐴(𝑥) =
−𝑥 2
[ 𝑥2 + 1
1
1
𝑥 2 (𝑥 2 + 1)
𝑏(𝑥) = (𝑥 )
2𝑥 2 + 1
1
𝑥(𝑥 2 + 1) ]
1
1
−𝑥
1 −𝑥
1
(1)
(2)
Fundamentalsystem: 𝑦 = ( ) 𝑦 = ( ) 𝑌(𝑥) = [
]
𝑥
𝑥2
𝑥 𝑥2
𝑥2
1
𝑇
2
𝑥
−𝑥
2
2
1
det 𝑌 = 𝑥 2 + 1 𝑌 −1 =
[1
] = 𝑥 + 1 𝑥(𝑥 + 1)
2
1
1+𝑥
−𝑥
1
𝑥
2
[𝑥 2 + 1
𝑥 +1 ]
2
𝑥
1
𝑥
1
1
1
2
2
+
𝑥
+
1
𝑥(𝑥
+
1)
−1
2
2
𝑌 𝑏=
(𝑥) = (𝑥 + 1 𝑥(𝑥 + 1)) = (𝑥)
−𝑥
1
1
0
0
[𝑥 2 + 1
𝑥2 + 1 ]
1
ln|𝑥|
−1 (𝑥)𝑏(𝑥)𝑑𝑥
𝐶(𝑥) = ∫ 𝑌
= ∫ (𝑥 ) 𝑑𝑥 = (
)
0
0
spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung:
1
ln 𝑥
𝑦𝐼 (𝑥) = (ln|𝑥|)𝑦1 (𝑥) + 0𝑦2 (𝑥) = (ln|𝑥|) ( ) = (
) für 𝑥 > 0
𝑥
𝑥 ln 𝑥
Allgemeine Lösung:
𝑦(𝑥) = (
1
1
ln 𝑥
) + 𝐶1 ( ) + 𝐶2 (− 𝑥)
𝑥
𝑥 ln 𝑥
𝑥2
151
mit
𝑌(𝑥)
als